基于多项式的分形插值曲面构造方法

孙秀清��冯志刚

【摘要】由插值多项式出发，构造适当的迭代函数系，通过迭代得到分形插值曲面.该方法解除了边界插值节点共线和纵向尺度因子相等的限制，从而使得分形插值更具有实用价值.

【关键词】插值多项式；迭代函数系；分形插值曲面

【基金项目】国家自然科学基金项目（51079064）；中国矿业大学煤炭资源与安全开采国家重点实验室开放基金项目（SKLCRSM10KFA02）

1.引言

20世纪80年代美国数学家Barnsley首先提出了分形插值方法，根据给定的插值节点，可以构造适当的迭代函数系（IFS），使得迭代函数系的不变集是一个插值函数的图像.根据Barnsley分形插值的思想，Massopust给出了三角区域上分形插值曲面的构造方法，为了保证得到的分形插值曲面的连续性，附加了边界上插值节点共面的条件.Geronimo和Hardin通过将多边形区域分割成若干个三角形的方法，研究了多边形上的分形插值问题.Malysz在迭代函数系中引用反射变换，给出了任意插值节点的分形插值函数的构造方法，但在此方法中要求纵向尺度因子都相等.纵观以上研究可以发现，为了保证分形插值曲面的连续性，对插值节点或纵向尺度因子都附加了一些条件.Feng给出了矩形区域分形插值曲面连续的一般条件，但由于该条件需要考虑生成的分形插值曲面的边界曲线，因此它在曲面生成之前无法判断.对于矩形区域上任意插值节点的情形，Feng等在迭代函数系中引入了函数纵向尺度因子，从而保证了分形插值曲面的连续，但由于函数纵向因子的引入，使得这类分形插值曲面的维数难以控制.

本文讨论矩形区域格点上任意插值节点、一般常数纵向尺度因子的分形插值曲面的构造方法.其基本步骤是先构造过插值节点的二元插值多项式，根据这个多项式构造含有常数尺度因子的迭代函数系，该迭代函数系的不变集就是过插值节点的分形插值曲面.通过改变分形纵向尺度因子的大小可以调节分形插值曲面的粗糙程度.