精选典型例题提高复习效率

李桂英

著名科学家牛顿提出：“在教学中的例子比定律更重要”。在高三总复习中精选一些涉及面广、思路开阔、解法灵活、应用广泛且具有代表性的典型题目，引导学生积极思考，主动探究，是扎实“三基”，开拓思路，培养创新思维能力，摆脱“题海”战术，提高复习效果的有效途径之一。在复习解析几何直线这部分内容时，我精选例题，通过多角度、多层次、全方位的思考，探索出了解题的多种途径和方法，激发了学生浓厚的学习兴趣，培养了学生多向思维的能力。

题目：设直线L经过点A（2，4），它被二平行线x-y+1=0，x-y+2=0所截线段的中点在直线x-2y+3=0上，求此直线方程。

下面以分析思路，介绍解题方法为主，解题过程从简。如图，设直线x-y+1=0，x-y+2=0，x+2y-3=0依次为L1，L2，L3，所求直线为L。显然，点A在直线L2上。

解法1：（点斜式）设L的方程为y=k（x一2）+ 4，L与L1，L3分别相交于点B、M，解L、L1对应的方程组，得点B的坐标，由中点公式得点M的坐标（含K），再代入L3的方程，求得 ，从而得出的方程为 5x-4y+6=0。

由此，学生立刻想到下面两种方法。

解法2：（斜截式）设L的方程为y=kx+b，将点A的坐标带入，得4=2k+b，b=4-2k，∴y=kx+4-2k。以下解法同解法1（略）。

解法3：（截距式）设L的方程 ，以下同解法2（略）。

问：直线方程还有什么形式？考虑片刻，学生异口同声：两点式和一般式。本题用一般式，显然十分复杂，于是有：

解法4：（设点法）设B（x0，y0），由中点公式得点M的坐标（ ），分别带入L1、L3的方程，解方程组得点B的坐标，再由两点式求得L的方程。

解法5：（设点法）设M（ ），由对称性得点B的坐标（2x-2，2y-4），以下类解法4。

以上解法都要解方程组，尤其含参数的方程组，计算量很大。同学们思考，有没有避免求交点的其他方法？

心理学原理提出：在人的心灵深处都有一个根深蒂固的需要，这就是自己是一个发现者、研究者。上述问题的提出，如一石击起千层浪，激荡着学生的想象力和好奇心。经过短暂的讨论和思索，很快就有不少学生提出“用同一字母表示点的坐标”——科学设点法。

解法6；（科学设点法）设B（x0，x0+1），由中点公式及点M的坐标，代入L3的方程，只需解一个一元一次方程，简洁明快、赏心悦目。

解法7：（科学设点法）设M（x0， ，由对称性即点B的坐标，代入L1的方程，轻而易举地得x0的值，问题迎刃而解。

在学生的想法产生奇效，得到老师肯定，品尝自己劳动的甜果，求知欲处于亢奋状态的时刻，教师不失时机地稍加点拨，学生的思维触角必然伸向一个新的领域。

请大家考虑：AB的中点还在哪一条特殊直线上？又一个问题的提出，将本来活跃的气氛推向新的高潮，人人想成为“新大陆”的发现者。纷纷举手回答；在平行于直线L1，L2且与两直线距离相等的直线L4上，问题的焦点又集中到求L4上。

在解法8-14中，求出L4的方程后，尚需解方程组求点M的坐标。能否找到绕过交点的解法？学生借图思解，注意到L是经过L3和L4交点的直线这个事实，答案自然成竹在胸。

解法15：（利用直线系方程）设L的方程x+2y-3+ =0 ，将点A的坐标代入，得 的值，直赴目标，引人入胜。

在学生激情犹酣、思维活跃、浮想联翩、欲要不能的情况下，及时引导他们解后反思，归纳出规律性的东西。

由解法6、7的巧妙设点，联想二次曲线中，抛物线上的点能否同一字母设出？回答是肯定的。而圆和椭圆上的点用x或y来表示就困难了。同学们有什么好的设法？他们在“最近发现区”让自己的思维驰骋，很快想到参数方程。如椭圆 上的点可以设为（ ， ）。从而总结出曲线上设点的技巧：

若曲线方程的变量中至少有一个是一次，则曲线上的点可用“科学设点”法；若方程中的两个变量都是二次，则可考虑用参数法设点。这样设点，常常可以把一些复杂的、运算量大的，以至难以解决的问题变得简单了，易解了。这也从一个侧面突出了学习参数方程的必要性和采用参数法解决问题的优越性，充分体现了数学的简单性原则。

仅一道习题的解答，覆盖了直线一章的多方面知识，涉及到求直线方程的多种方法，并通过横向联想，勾通了解析几何各章内容之间的联系，使问题的解决得到升华，还为后继内容的复习作了铺垫。面对浩瀚“题海”，繁多资料，复习中，精选精讲典型习题，调动学生的参与意识，在生动活泼的情景中，使学生不仅牢固地掌握了知识内容，方法技巧，更重要的是提高了学生的创新思维品质，提高了复习效率。