浅析初中数学“证明直线是圆的切线”

陆浩杰

在初中数学教学中，相切是直线和圆的位置关系内容的重中之重. 判定直线与圆是否相切是学习圆时经常遇到的问题. 怎样证明一条直线是圆的切线呢？现在我将介绍两种常用的思路与方法：一是“连半径，证垂直”，二是“作垂直，证半径”.

一、“连半径，证垂直”

当直线与圆有明确的公共点时，连接该点和圆心，证明直线垂直于经过这点的半径.

例1 如图1，已知AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD = OB，点C在圆上，∠CAB = 30°. 求证：DC是⊙O的切线.

思路 要想证明DC是⊙O的切线，只要我们连接OC，证明∠OCD = 90°即可.

【评析】 一定要分清圆的切线的判定定理的条件与结论，特别要注意“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则直线就不是圆的切线.

二、“作垂直，证半径”

当不能确定直线与圆有公共点时，则作圆心到直线的垂线段，证明圆心到直线的距离等于半径长.

例2 如图2，已知OC平分∠AOB，D是OC上任意一点，⊙D与OA相切于点E. 求证：OB与⊙D相切.

思路 连接DE，过D作DF⊥OB于点F，证明DE = DF即可. 这可由角平分线上的点到角两边的距离相等证得.

【评析】 一定要防止出现错将圆上的一点当作公共点而连接出半径. 同学们一定要认真体会证明切线时常用的这两种方法，作辅助线时一定要注意表述的正确性.

例3 如图3，已知AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，连接OC，弦AD∥OC. 求证：CD是⊙O的切线.

思路 本题中既有圆的切线是已知条件，又证明另一条直线是圆的切线. 也就是既要注意运用圆的切线的性质定理，又要运用圆的切线的判定定理. 欲证明CD是⊙O的切线，只要证明∠ODC=90°即可.

【评析】 本题综合运用了圆的切线的性质与判定定理，一定要注意区分这两个定理的题设与结论，注意在什么情况下可以用切线的性质定理，在什么情况下可以用切线的判定定理. 希望同学们通过本题对这两个定理有进一步的认识. 本题若作OD⊥CD，就判断出了CD与⊙O相切，这是不对的， 这样做相当于还未探究、判断，就已经得出了结论，显然是错误的.

综上所述，我们可以看出，在证明一条直线是圆的切线时，往往需要添加适当的辅助线. 添加辅助线的一般规律是：无点作垂线，有点连圆心.