构建模式直观揭示数学本质

朱明侠

【摘要】模式直观是理解数学概念、原理、方法的本质的有效途径，本文给出了构建模式直观的五种具体方法.

【关键词】模式直观；生活实例；图形；运动状态；情景；实验

西南大学张广祥教授曾就中学代数教学中如何揭示、把握数学本质做了深入的探讨，提出了“模式直观”的概念.笔者认为，“模式直观”不仅对于改变目前中学代数教学过于强调运算而忽视对其本质揭示的倾向有着重要的引领作用，而且对中学数学教学中存在的“去数学化”现象也是一剂良药.下面笔者就“模式直观”的理解和想法谈一点体会，与同行交流.

1.用生活实例构建模式直观

数学中的许多概念、原理，若仅从纯数学角度讲授，学生一时很难理解，这时，教师可静心思考、推敲，寻找学生身边熟悉的，与所学知识的结构、哲理类同的生活实例，借以启迪学生思维的闸门，引爆思维的火花，诱发其顿悟，以帮助其理解，把握所学数学知识的本质.如对于三垂线定理，由于涉及三条直线，学生往往无所适从，很难理解，这时可借助学生熟悉的削铅笔过程构建模式直观，展示其原理.先将可折叠小刀的刀刃略打开（使刀刃与刀把不在一条直线上），这时铅笔（平面内的一条直线）与刀把（斜线在平面内射影）垂直时，很明显这时铅笔就和刀刃（平面的斜线）垂直；反之，若铅笔与刀刃垂直，铅笔也就自然和刀把垂直.实际上，数学知识中的许多原理都是从实践中归纳总结出来的，只要我们去认真挖掘，就一定能够找到合适的生活实例去构建相应的数学模式直观，疏通制约学生思维的瓶颈，帮助学生真正理解所学知识的本质.

2.用图形构建模式直观

图形具有较强的直观性，若将数学原理能用图形表示出来，这对于帮助学生理解知识，把握本质是非常有益的.如对于证明不等式a+b2≥ab（a>0，b>0）的证明过程，语言表述学生都觉得没有问题，但对其反映的两正数间基本规律的实质却感到朦胧，导致在解题中难以灵活应用.针对这一情况，我们可构建一长方形，使其长为a，宽为b，则其面积为ab，而ab表示与其面积相等的正方形的边长，这样不等式a+b2≥ab就表示以长为a，宽为b的矩形两相邻边长度的一半不小于其等积的正方形的边长，这样学生便依托图形加深了对这一不等式本质的把握.用同样的方法，可构建长方体帮助学生理解不等式a+b+c3≥3abc的实质.

3.用运动状态构建模式直观

数学中的许多原理与某些运动中所固有的规律是类同的，对于这些数学知识，我们可构建某些运动状态来展示其规律和实质.数学归纳法证题两个步骤的实质学生往往不理解，他们做题只是形式上的模仿.为了帮助学生理解证题中各个步骤的原理，我们可用磁带盒做实验.数学归纳法证题第一步（证明n=1或第一个自然数成立），就相当于证实第一个磁带盒是能够倒下的，而第二步（假设n=k成立时再去证n=k+1时也能成立）就相当于证实当前一个磁带盒倒下时要保证紧随其后的这个磁带盒也能倒下.显然，如果我们能做到这两点，不论竖立的磁带盒有多少就一定会全部倒下.正是基于这一有序传递原理，用数学归纳法证有关自然数的命题就必须经过这两个步骤才能完成.

4.用情境构建模式直观

数学中许多概念、原理看似难以信服，不可想象，但若使学生置于创设的情境中去联系，去思考，便可眼前一亮，马上产生顿悟.极限的概念与思想学生理解有困难，因为它是从常量数学向变量数学过渡的第一个明显的拐点，这时我们可用“一尺之棰，日取其半，万世不竭”情境诱发学生去思考.将一根粉笔用小刀进行切割，第一次切割后剩余总长的12，第二次切割后剩余量为12×12=122，第三次切割后剩余量为12×12×12=123，这样继续下去，第n次切割后剩余量显然为12n，当切割次数不断增加时，粉笔剩余长度显然不断减少（即趋近于0），但这一切割活动是可以永远进行下去的（而学生看到的是到一定阶段后由于粉笔太短不能再继续切割，但这只是切割技术层面上的问题），每切割一次，剩余长度便向零接近一步，但无论经过多少次切割，剩余长度是永远不会等于零的.从这一切割情境中，学生便会意识到，极限的本质只是有规律变化趋势的一种预测和描述，但其永远不会到达预测的结果（稳定点）.

5.用实验构建模式直观

初等数学中有许多概念、原理由于受知识限制，没有办法向学生加以有理有据的论证和说明（如数学归纳法证题原理、球的表面积与体积公式、球面两点间的距离等），对这类知识，为了使学生消除疑虑，我们可通过实验来展示和验证结论的正确性，从而使他们从思想上认可和接受它.对于球面两点间距离的概念，学生往往很难接受，他们认为球面两点间的距离应是过这两点的小圆的劣弧长，而不应当是过这两点大圆的劣弧的长，其理由是小圆半径小，故对应劣弧短，而大圆半径大，故对应劣弧较长.为了使同学们能够接受这一概念，我们可在篮球表面的缝合线（大圆）上用粉笔任意取两点，让学生再过这两点画出他们认为最小的圆，并用线绳量出所画圆被这两点分成的劣弧的长，再用线绳量出过这两点的大圆（缝合线）上被这两点分成的劣弧的长，并把二者加以比较后，从中发现无论过两点怎么去画小圆，其对应劣弧的长总大于过这两点的大圆的劣弧的长，在反复实验的基础上，他们便会信服这一结论并乐于接受，在实验的基础上也掌握了如何求球面两点间距离的方法.

以上所列仅是构建数学模式直观常用的几种方法，在教学中，我们应细心体会，反复琢磨，大胆联想，寻找和构建合适的数学模式直观，借以暴露和展示数学概念、原理的本质，以帮助学生真正理解所学的知识，提高数学课的学习质量和效率.