浅谈《经济数学》教学中形象思维的运用

王美华

【摘要】对任何概念和概念体系的接受过程，都是抽象思维与形象思维的共同作用。在目前的教学教育中，存在着偏重抽象思维、忽视形象思维的倾向。事实上，形象思维对数学学习有着非常重要的辅助作用，它与抽象思维相辅相成。在我所教的《经济数学》这门课的教学中，形象思维的培养与训练往往也容易被忽视。本文拟通过说明形象思维在经济数学教学中的作用，谈一点不成熟的想法，力图阐述形象思维能力对经济数学学习的重要性。

【关键词】形象思维；经济数学；教学

形象思维作为人类的一种思维方式，正如马克思在论述政治经济学中的研究方法时所说的“整体，当它在头脑中作为被思维的整体而出现时，是思维中的头脑的产物”^[1]，它被运用于许多领域的研究与创作中。提到经济数学，人们往往立刻会联想到一些抽象的公式、定理、结论以及一大堆枯燥的符号、计算、证明。“抽象几乎是数学的同义语”^[2]。的确，经济数学是一门非常抽象的学科，数学思维只有摆脱了具体形象，才能给出简洁而有用的结论。由于这样，形象思维常常被看成是思维的低级阶段，因此，在经济数学教学中形象思维也容易被忽视，许多老师也热衷培养学生的抽象思维，对于形象思维则不闻不问、听之任之。但是从思维的过程来看，这种看法带有片面性，在我们思考问题时，当抽象思维不能继续下去时就必须借助于形象，其实数学教学中形象思维与抽象思维是并重的，找到抽象的方向，发现新的解决问题的契机。经济数学的许多抽象概念和过程可以作形象化的解释，因此在经济数学教学中利用形象思维帮助学生增强学生的学习兴趣、提高学习效率是有一定意义的。

一、形象思维的概念

哲学中所说的形象思维，主要是指人们在认识世界的过程中，对事物表象进行取舍时形成的，是只要用直观形象的表象解决问题的思维方法。具有形象性、非逻辑性、粗略性、想象性等特点。形象思维是反映和认识世界的重要思维形式，是培养人、教育人的有力工具，在科学研究中，科学家除了使用抽象思维以外，也经常使用形象思维。在企业经营中，高度发达的形象思维，是企业家在激烈而又复杂的市场竞争中取胜不可缺少的重要条件。爱因斯坦是一个具有极其深刻的逻辑思维能力的大师，但他却反对把逻辑方法视为唯一的科学方法，他十分善于发挥形象思维的自由创造力，他所构思的种种理想化实验就是运用形象思维的典型范例。这些理想化实验并不是对具体的事例运用抽象化的方法，舍弃现象，抽取本质，而是运用形象思维的方法，将表现一般、本质的现象加以保留，并使之得到集中和强化。例如，爱因斯坦著名的广义相对论的创立实际上就是起源于一个自由的想象。一天，爱因斯坦正坐在伯尔尼专利局的椅子上，突然想到，如果一个人自由下落，他是会感觉不到他的体重的。爱因斯坦说，这个简单的理想实验“对我影响至深，竟把我引向引力理论”。在数学学习中，不光需要抽象思维，逻辑思维，形象思维也是必不可少的。

二、形象思维的种类

对数学形象思维中的“形象”，人们的认识仅仅局限于几何图形，从而对数学形象思维能力的培养也存在着一定的局限性。事實上，数学形象包括很多类：

1．直观形象

直观形象包括平面几何图形、立体几何图形、函数图像等，常用于研究具有直观特点的几何问题。如：画出文字语言所表示的图形，添加几何证明中的辅助线以及把实际问题转化为数学几何问题等皆属于直观形象思维。

2．经验形象

解代数题时，根据代数式的结构特征，联想与之对应的几何图形，把代数题转化到几何领域，通过研究几何图形的性质解决代数问题的方法是一种经验形象，就是我们平时所说的“数形结合”。另外，代数公式、命题及命题推理论证等的整体形象也属于经验形象范畴。

3．创新形象

创新形象就是对一个新的问题情景，在经验形象的基础上创造出一种新的形象。笛卡儿在创立解析几何时，进行的就是创新形象思维。

4．意会形象

意会形象则因人而异，它只存在于个人的头脑中，是个人对数学对象的一种整体把握。我们在思考的时候，往往会有各自对数学语言独特的理解和思维方式，这种时而清楚时而模糊的把握和联想，就应该属于意会形象了。

三、形象思维在经济数学教学中的运用

数学形象思维是人们通过形象反映数学对象间关系的过程，它既具有形象性，又具有抽象概括性，它不仅活跃在几何教学里，而且在代数中也有广泛的作用。因此数学形象思维与抽象思维具有互补关系，在学习中，二者应互相配合，相辅相成。在数学教学中，两种思维的训练均不可轻而视之，更不可缺少任一方面。然而对于每个不同的学生来说，存在着倾于形象和倾于抽象思维两种不同的风格。

具有形象思维倾向的学生能迅速的把可以形象化的抽象的式子、结论等与脑中的形象联系起来，进行类比，然后把类比的结果抽象化，从而得出结论。但是这类学生往往无法表达出他们的思维过程。带有形象思维倾向的学生的特点是具有较多的形象储备。因此在教学过程中教师应该根据学生的不同情况在课程设计中安排相关内容，逐步培养学生的形象思维能力，增加他们进行形象思维的经验和将抽象体形象化的联想、类比能力。

1．概念教学中形象思维的广泛应用

人们认识事物一般是从感性认识开始，数学概念也是如此由感性到理性逐步深化，通过数与形的对比引导学生认识概念，从具体图形的感知中进行抽象；从图形结构的变化中掌握概念的实质。例如微积分学中间断点类型的概念教学，教师首先通过图表的形式让学生对间断点的分类有一个直观的感受：

再例举各种常见类型间断点的函数图像，可以进一步深化学生对概念的理解：

第一类间断点（跳跃间断点），如 在 处，作图1

第一类间断点（可去间断点），如 在 处，作图2

第二类间断点，如 在 处，作图3

图1                图2              图3

通过直观形象，学生不仅理解了本概念，对连续的概念也可以有进一步的体会。

再如，《经济数学》中闭区间上连续函数的最大、最小值定理的教学，为了区别极值点与最值点的不同，可以形象地作图演示，让学生首先有个感官上的认识，从而更明确地掌握最大、最小是定理的两个条件：（1）区间是闭的；（2）函數是连续的。

如果函数 满足这两个条件，那么在区间[ ]上一定能找到两点 ，使得 分别是 在区间[ ]上的最大值和最小值。

在经济数学的概念教学中，可以利用直观形象帮助学生理解的地方还有很多：函数的极限、凹凸性、介值定理、导数的几何意义等等，当这些直观形象被学生接受，就可以转化为经验形象，从而达到长久记忆、灵活运用的目的。

2．解题中形象思维的体现

我们经常提到的便是数形结合，用数形结合的思想方法研究问题，就是注意数与形的结合，或者把几何图形转化成相应的数量关系问题，运用代数知识去讨论；或者把数量关系转化成相应的图形性质问题，借助于几何知识加以解决。后者利用图形直观的各种优势，往往能使我们更快的找到解决途径或简化解题过程。这种数形结合的思想方法一般是利用数学经验形象构图解题：

例：求定积分 的值

分析：这个形式的积分，一般归类为第二类换元积分中的三角替换。但 很容易联想到圆： ，于是利用定积分的几何意义：

形象思维不仅仅局限于图像，利用以往解题的经验帮助拓宽思路，达到解题目的也属于此范畴。例如构造函数法：

例：求极限

解：令 ，由于 在[1，2]上连续，则有

3． 形象思维在数学建模中也有着重要的作用

建模就是由实际问题提炼出数学模型的过程。每一种数学模型都是形象思维与抽象思维的完美结合。建模是发展学生数学形象思维，培养创造才能，促进数学发现的有效方法，在教学中应引起足够的重视。

比如，在经济学中，通常用“平均”和“边际”这两个概念来形象地描述一个经济变量相对于另一个经济变量的变化程度。在经济管理中，企业为了达到最佳的经济效果，需要研究一定条件下的最大利润问题。

例：设生产某种型号彩电的总成本函数为 通过市场调查，预计该彩电的年需求量为 其中 （单位：元）是销售价， （单位：台）是需求量，试求使利润最大的销售量和销售价格。

分析：由此实际问题找到数学模型，先列出总利润函数，再利用极值最值等数学知识，求出边际利润，找到驻点，从而解决问题。

解：总收入函数为

利润函数 =

因为 ，令 得到唯一的驻点

由问题的实际意义可知， 是利润函数 的极大值点，也是它的最大值点，最大利润为 （元）

当销售量 （台）时，彩电的销售价格为 （元）。

运用形象思维给我们的解题带来了许多方便，也将优美的解题过程形象的展现在我们面前。而与此同时，由于不注意构作图形的准确性、合理性、全面性及数形转换的等价性，形象思维也会导致解题的错误。如：因草率画图致误、因忽视图形的制约范围而致误、未分析图形的存在性，未讨论图形的特殊情形，图形选取不合理等等，这些都是在教学过程中值得我们注意的。

例：比较定积分 与 的大小

错解：由定积分的性质：令 ，

则只需比较 在[0，1]上的大小

由图知 ，故

剖析：草率的作图，没有注意到函数图像的相对位置，导致了错误的产生。

综上，形象思维在抽象的《经济数学》中也无处不在，并且有着举足轻重的地位。长期以来我们习惯了教师讲、学生听的教学方法，即使是经过改革后的启发式教学也存在着把学生的思维限制在教师所规定的范围内的弊病。我们在进行数学设计时，应尽可能的考虑不同类型学生的特征，合理安排教学内容，将形象思维渗透到日常教学中，培养学生的综合能力，优化学生的思维品质，并在学生的认知结构中有机地沟通数学各分支的内在联系。

参考文献：

[1]《马克思选集》第2卷 第104页

[2]郭思乐，俞伟.数学思维教育论[M].上海：上海教育出版社

[3]经济数学 江苏教育出版社