特殊化与一般思想

俞新龙

第一篇：特殊化思想概述

一、特殊化思想的含义

特殊化思想是一种重要的数学思想，也是一种辩证的认知规律.历史上一些重大的科学发现时常是由特殊引发的.著名数学家华罗庚认为：善于“退”，一直“退”到原始而不失重要性的地方，是学习数学的一个诀窍.波利亚说：特殊化是以考虑一组给定的对象集合过渡到考虑该集合的一个较小的子集，或仅一个对象.希尔伯特说：在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用.我们寻找一个答案而未能成功的原因，就在于这样的事实，即有一些比手头的问题更简单、更容易的问题没有完全解决，这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并且用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们.

“特殊化思想”是中学数学里很重要的一种思想方法，在各级各类试题里有许多能够利用特殊化思想解决的问题.那么什么是特殊化思想？它是指在解题时采用特殊的判断、特殊的数值、特殊的几何图形等来解题的策略，并且在客观题中所求得的结果就是问题的结果;或者先解决数学问题的特殊情形或从解决特殊情形的方法或结果应用或推广到一般问题之中，从而获得一般性问题的解决的思想.显而易见，相对于“一般”而言，“特殊”往往显得简单、直观和具体，且容易解决.

二、特殊化思想解题的一些思路

在解答数学问题时，特殊化方法常常表现为将一般问题特殊化处理或从特殊出发探索解题方向，以获得问题的解决，它是一种以“退”为“进”的解题策略.用问题最特殊情形的解来得到一般问题的解，因此在选择题和填空题等客观问题中一定要特别注意特殊化思想的应用.一些定点、定值类问题常可用特殊化解题.总之，就是从问题的简单化、特殊化入手解答.尤其是当我们解题束手无策时一定不能忘了特殊化思想这个“大救星”.

从形式上看，将一般性问题特殊化是不困难的，但某个一般性问题经过不同的特殊化处理会得到多个不同的特殊化命题.因此，特殊化思想的关键是能否找到一个最隹的特殊化问题，因为，较为理想的特殊问题是极易解决的.

三、特殊化思想解题易范错误

为了弄清这个问题先请同学们看下面的问题：

对于x∈[0，1]的一切值， +b>0是使ax+b>0恒成立的（     ）

A. 充要条件                B. 充分不必要条件

C. 必要不充分条件       D. 既不充分又不必要条件

同学们你做好了吗？答案为C.因为 +b>0推不出ax+b>0恒成立，而对于x∈[0，1]的一切值ax+b>0成立时，取x= ，就应该有 +b>0. 因此，特殊化思想解题实际上是在用问题的必要条件解题，但因为在选择题和填空题中又是充分的，所以，在客观题中用这种思想解题是等价的，即是充分必要条件关系，但如果是解答题，则这种做法是不完备的，犯了“以部分代替全体，特殊代替一般”的错误，有时甚至是错误的.例如，我们知道数列an=（n2-5n+5）2并不是常数列{1}，但有的同学在计算了a1=1，a2=1，a3=1，a4=1后就得出结论an=1，如果从这四个特殊的例子就得出结论毫无疑问是错误的，因为a5=25≠1.又如对于问题：已知数列{an}满足an=n·2n -1（x∈N*），是否存在等差数列{bn}使等式an=b1C1n+b2C2n+…+bnCnn对一切正整数n成立？并证明你的结论.绝大多数同学都能这样做：假设存在等差数列{bn}使等式an=b1C1n+b2C2n+…+bnCnn对一切正整数n成立，则当n=1时得1=b1C11，所以b1=1;当n=2时得4=b1C12+b2C22，所以b2=2;当n=3时得12=b1C13+b2C23+b3C33，所以b3=3.如果由此就给出结论存在等差数列{bn=n}满足题意，我们认为是不完备的.因为在之前的解答中仅证明了n=1，2，3是成立的，而n=4，5，6，…更多的时候还没有证明.因此接下去需证明等式n·2n -1=1C1n+2C2n+…+nCnn是否成立？若成立，则问题解决.

第二篇：集合中的特殊化思想

集合问题虽说大多简单，但如果能用好特殊化思想也能节省不少解题的时间.

例1. 已知集合M={（x，y）│2x-y=3}，N={（x，y）│x+y=0}，那么集合M∩N=（  ）

A. x=1，y=-1      B. （1，-1）      C. {1，-1}      D. {（1，-1）}

解析：通过联立方程组2x-y=3，x+y=0，解得x=1，y=-1，所以集合M∩N={（1，-1）}.

但实际上，我们可以从判断A、B、C、D四个选择项的形式上直接给出答案D，因为所求结果必须是一个点坐标为元素的集合，而题中只有D是这种形式的.

第三篇：函数与导数中的特殊化思想

函数与导数是高中数学的重点内容之一，题型复杂，难度大，但是如果能够合理利用好特殊化思想，则往往能给我们解题带来良好的效果，达到巧妙的解决问题.

一、取特殊值巧妙解题

例1. 设a∈R，若x>0时均有[（a-1）x-1]（x2-ax-1）≥0，则a=____________.

解析：原问题等价于函数f（x）=（a-1）x-1和g（x）=x2-ax-1在x>0上的符号相同，显然需要对f（x）的单调性进行讨论.

（1）当a=1时，f（x）=-1<0，g（x）=x2-x-1的零点为x= ，x= ∈（0，+∞），故g（x）≤0在x>0上不成立.

（2）当a<1时，f（x）=（a-1）x-1<0对x>0成立，g（x）=x2-ax-1的零点为x= ，x= ∈（0，+∞），故g（x）≤0在x>0上不成立.

（3）当a>1时，f（x）和g（x）均过定点（0，-1），且f（x）的零点为x= ，g（x）的对称轴x= >0，所以要使命题成立，f（x）和g（x）的图像必须如图所示，即g（x）也过点（ ，0），所以（ ）2-a· -1=0，整理得2a2-3a=0，解得a= ，或a=0（舍）.

综上所述，a= .

特殊方法：注意到不等式对x>0都成立，所以对任意x>0的值均成立，即x=1时成立，有（a-2）（-a）≥0，解得0≤a≤2;x=2时成立，有（2a-2）（3-2a）≥0，解得a= ，于是得a= .

例2. 设f（x）=ax5+bx3+cx+7（其中a，b，c为常数），若f（-7）=16，则f（7）的值为（     ）

A. 31          B. 17          C. -2          D. 2

解析：由f（-7）=a（-7）5+b（-7）3+c（-7）+7=16得a·75+b·73+c·7=-9，从而f（7）=a·75+b·73+c·7+7=-9+7=-2，故选答案C.

其实我们完全可以取a、b、c的特殊值来解决，如不妨取a=0、b=0、c=- ，则f（-7）=16成立，故f（7）=- ×7+7=-2.

例3. 已知f（x）=x2-2014x，若f（m）=f（n）（m≠n），则f（m+n）=______.

解析：由f（m）=m2-2014m、f（n）=n2-2014n及f（m）=f（n）得（m-n）（m+n-2014）=0，又因为m≠n，所以m+n=2014，则f（m+n）=f（2014）=20142-2014×2014=0. 实际上，我们可以取m=0，n=2014这一组特殊值来求解，直观简洁.

点评：一般的解法往往计算量比较大，如果能用特殊的数值来代替一般的计算就能大大节省解题时间，从而达到巧妙解题.

例4. 已知函数f（x）= （x≠- ）满足f[f（x）]=x，求实数c的值.

解析：因为f[f（x）]= = = =x，所以（2c+6）x2+9x=c2x，故2c+6=0，9=c2，得c=-3.

对于本题，也可用特殊值法求解如下：因为f[f（-1）]=f（-c）= =-1，c2+2c-3=0，c=1或c=-3……①.怎么多解了呢？问题出在哪儿？如何解决或避免？

我们知道，从一般到特殊是必成立的，但从特殊到一般是不一定成立的，所以需要检验！例如对于例5，求得c=1或c=-3后，我们还应分c=1或c=-3两种情况进行检验如下：

当c=1时，f[f（x）]= = ≠x，不满足;当c=-3时，

f[f（x）]= = =x，满足， 所以c=-3.

当然，如果我们能再用一次特殊值法求c的话，问题也能解决.

又因为f[f（-2）]=f（2c）= =-2，c2+4c+3=0，c=-1或c=-3……②，故由①②得c=-3.

例5. 设函数f（x）=x3-ax2-bx+a2在x=1处有极值10，则a，b的值为（     ）

A. a=3，b=-3或a=-4，b=11     B. a=3，b=1或a=-4，b=11

C. a=-1，b=5                       D. 以上都不对

解析：在得到f′（x）=3x2-2ax-b后，一般都会利用取特殊值得方程组f（1）=1-a-b+a2=10，f′（1）=3-2a-b=0，解得a=3，b=-3或a=-4，b=11，从而选A. 实际上当a=3，b=-3时，f′（x）=3x2-6x+3=3（x-1）2≥0，所以f（x）在R上是增函数，不存在极值！当a=-4，b=11时符合.因此答案应为D.

点评：当用特殊值法求出的结果有多个时，需要通过检验来验证是否都是问题的解，否则极易形成多解.

二、取特殊函数巧妙解题

例6. 设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f′（x）>f（x）成立，则（     ）

A. 3f（ln2）>2f（ln3）       B. 3f（ln2）=2f（ln3）

C. 3f（ln2）<2f（ln3）       D. 3f（ln2）与2f（ln3） 的大小不确定

解析：乍看题目，本题比较难找解题思路，但我们可以联想导数求导法则中的商的导数公式（ ）′= ，f′（x）>f（x）等价于f′（x）-f（x）>0，故可构造函数h′（x）=[ ]′= >0，只要考虑g′（x）=g（x）即可，在中学阶段这样的函数容易想到是g（x）=0或g（x）=ex，故可以构造函数h（x）= ，并且知h（x）是R上增函数，从而h（ln2）

另一方面，我们也可以从选择子特征进行联想. 3f（ln2）与2f（ln3）的大小比较等价于 与 的大小比较，从而可以联想到考虑函数h（x）= 的单调性，由f′（x）>f（x）知f′（lnx）>f（lnx），所以h′（x）= = >0，故h（x）= 是增函数，由h（2）

上述两种思路要求都非常高，既然该题没有具体解析式，那么可以通过特殊函数来解决.例如取f（x）=-1，则f′（x）=0>f（x），而此时3f（ln2）=-3，2f（ln3）=-2，所以3f（ln2）<2f（ln3） . 显然，这种方法比前面两种方法都简单得多.

三、取特殊图像巧妙解题

例7. 若函数是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是减函数，且f（2）=0，则使得f（x）<0的x的取值范围是（     ）

A. （-∞，2）

B. （-2，2）

C. （-∞，-2）∪（2，+∞）

D. （2，+∞）

解析：本题是没有具体解析式的一个抽象函数，如果仅在大脑中凭空想象，比较难理解.我们可以取一个特殊的函数图像来形象直观的帮助解题.如图是一个符合题意的图像，从图上可以直观观察出f（x）<0的x的取值范围是（-2，2）.

第四篇：平面向量中的特殊化思想

平面向量是“既有数又有形”的一个比较特殊的概念，相关问题的求解具有一定的挑战性，但是，如果能够用好“特殊化思想”，则同样可以相对容易地解决.

一、根据所求值的象限来巧妙解题

例1. 若将向量 =（2，1）围绕原点按逆时针旋转 得到向量 ，则 的坐标为（     ）

A. （- ，- ）         B.（ ， ）

C. （- ， ）           D. （ ，- ）

解析： 如图，cos？琢= ，sin？琢= ，由于 向量在旋转前后的模不发生变化，所以 的横坐标为 cos？茁= cos（？琢+ ）= （cos？琢cos -sin？琢sin ）= （ · - · ）= ;同理可求得 的纵坐标为 sin？茁= sin（？琢+ ）= （sin？琢cos +cos？琢sin ）= （ · + · ）= ，所以 =（ ， ）.

但实际上，我们可以从判断A、B、C、D四个选择项的点的所在象限上直接给出答案B，因为 =（2，1）与x轴的正向所成的角？琢< ，所以围绕原点按逆时针旋转 得到的向量 在第一象限，而四个选择项中只有B表示第一象限的点，故选B.

二、根据图像或图形的可变性来来巧妙解题

例2. 已知D是？驻ABC的边AC上一点，且 =2+2 ，∠C=45°，∠ADB=60°，则 · 的值为（     ）

A. 2           B. 0

C.        D. 1

解析：该题的解法还是比较多的，这里仅提供以下的方法.设DC=a，则AD=（2+2 ）a，AC=（3+2 ）a.又∠C=45°，∠ADB=60°，所以∠DBC=15°，由正弦定理得DB= ·sin45°=（ +1）a，再由余弦定理得AB2=DB2+AD2-2DB·ADcos60°=（12+6 ）a2，而AB2+DB2=（16+8 ）a2=AD2，所以AB⊥DB，则 · =0.

但实际上，我们可以从判断A、B、C、D四个选择项的形式上和？驻ABC形状的可变性上直接给出答案B，因为？驻ABC中的边长和角度之间的比例等关系是确定不变的，但的大小（只要相似即可）是可变的，具体地就是AB、DB的长度可按比例同时伸长或缩短，但∠ABD的大小在这个过程中却是不变的，由选择子结果看， · 得到的应该是一个不会变的定值，所以只能是 · =0.

三、根据特殊值或特殊图形来巧妙解题

例3. 设？驻ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B= AB，且对于边AB上任一点P，恒有 · ≥ · ，则（     ）

A. ∠ABC=90°   B. ∠BAC=90°    C. AB=AC   D. AC=BC

解析：不妨设AB=4，则P0 B=1，P0 A=3.

本题解题方法比较难寻找，一种解法：可以根据向量坐标运算直接判断三角形形状.如例3图，A（-2，0），B（2，0），P0（1，0），P（t，0）（-2≤t≤2），C（n，m），则 · =t2-（n+2）t+2n， · =n-1，所以 · - · =t2-（n+2）t+n+1=（t-1）[t-（n+1）]≥0对-2≤t≤2恒成立，故1=n+1，即n=0，所以点C在y轴上，故AC=BC.

可以从不同的特殊角度采用排除法巧解题.

特殊解法1：可以根据向量投影的概念，对选项采用排除法.设点C在直线AB上的投影为点D.对于选项A，如例3图-1，则 · = · cos∠BPC= 2， · = 2当点P落在点P0的右侧时， 2< 2，不符合;对于选项B，如例3图-2，则 · = · cos∠BPC=-  ， ·  =-  =-3，当点P为AB中点时， · =-4， · <  · ，不符合;对于选项C，如例3图-3，假设∠BAC=120°，则AD=2， · = · cos∠BPC=-  ， · =- · =-5，当点P落在A点时， · =-8， · <  · ，不符合. 故选D.

特殊解法2：可以根据向量坐标运算，对选项采用排除法.对于选项A，如例3图-4，因为∠BP0C为锐角，所以 · >0，若P取为B点，则 · =0，不符合;对于选项B、C，如例3图-5，在？驻ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，若取P为AB中点，则C（4，0），B（0，4），P（0，2），P0（0，3），所以 · =（0，2）·（4，-2）=-4， · =（0，1）·（4，-3）=-3，不符合;故选项正确.对于选项D，如例3图-6，A（-2，0），B（2，0），P0（1，0），P（t，0）（-2≤t≤2），C（0，m），则 · =t2-2t≥-1， · =-1，故 · ≥ · .

例4. 如图，在？驻OAB中，C为OA上的一点，且 =  ，D是BC的中点，过点A的直线l∥OD，p是直线l上的动点，若 =？姿1 +？姿2 ，则？姿1-？姿2=__________.

解析：该题的解题入口：向量共线定理较难发现，因为 = - =  -（？姿1 +？姿2 ）=-？姿1 +（ -？姿2） ， =  +  ， ∥ ，所以-？姿1= -？姿2，则？姿1-？姿2=- .但是，同学们可以将其特殊化来降低难度，简单化求解，例如例4图-1，取OA⊥OB，A（3，0），B（0，2），则C（2，0），D（1，1），所以直线l∶y=x-3，设P（x，x-3），则由 =？姿1 +？姿2 得（x，x-3）=（2？姿2，2？姿1），从而x=2？姿2，x-3=2？姿1，所以？姿1-？姿2=- .当然最简单的应该是取A点即为P点，此时？姿1=0，？姿2= ，则？姿1-？姿2=- .

第五篇：三角中的特殊化思想

三角虽说知识点并不难，但公式非常多，而且对公式的变用、灵活运用的要求都非常高，解题具有一定的难度，如果解题中能够多尝试应用特殊化思想解题，则会收到事半功倍的效果.

一、根据所求值的特殊符号来巧妙解题

例1. 已知tanx=m（？仔

A. m            B. -m

C. ±m           D.

解析：通过tanx=m的值，利用同角三角基本关系式的商数关系tanx= 得cosx= sinx，再利用平方关系sin2x+cos2x=1得sin2x= ，再结合角x的范围？仔0，sinx<0，所以sinx=-m  .

但实际上，我们可以从判断A、B、C、D四个选择项的符号上直接给出答案B，因为？仔0，sinx<0，而m >0，±m 不小于0， >0，只有-m <0，故只有B符合正弦值的符号.

二、根据所求值的特殊范围来巧妙解题

例2. 若2sin2？琢+sin2？茁-2sin？琢=0，则cos2？琢+cos2？茁的取值范围是（   ）

A. [1，5]      B. [1，2]      C. [1， ]      D. [-1，2]

解析：除了找不到解题思路外，一般解法为：由2sin2？琢+sin2？茁-2sin？琢=0得sin2？茁=-2sin2？琢+2sin？琢，所以cos2？琢+cos2？茁=cos2？琢+1-sin2？茁=cos2？琢+1+2sin2？琢+2sin？琢=（sin？琢-1）2+1，又因为sin2？茁=-2sin2？琢+2sin？琢≥0，所以0≤sin？琢≤1，故1≤（sin？琢-1）2+1≤2，即1≤cos2？琢+cos2？茁≤2.

但实际上，我们可以从判断A、B、C、D四个选择项的大致范围上直接给出答案B，因为根据平方数的性质和余弦的范围必有0≤cos2？琢+cos2？茁≤2，所以只能选B.

注：本题还要注意错误的认为sin？琢的范围为 [-1，1]，从而错选答案A.

三、取特殊值来巧妙解题

例3. 函数y=asinx-bcosx的一条对称轴方程是x= ，则直线ax-by+c=0的倾斜角为（    ）

A. 45°     B. 135°     C. 60°     D. 120°

解析：本题是三角问题中有关对称性问题的一类，常规方法求解比较繁杂且极易做错：y=asinx-bcosx= sin（x-？琢），其中cos？琢= ，sin？琢= ，由sin（ -？琢）= cos？琢- sin？琢=± 化简得（a+b）2=0，故 =-1，因此直线ax-by+c=0的倾斜角为135° . 而如果能用特殊化思想来解，则显得比较容易多了. 因为f（x）=asinx-bcosx关于x= 对称，所以f（0）=  f（ ），则-b=a，故 =-1，因此直线ax-by+c=0的倾斜角为135°，选B.

四、取特殊图形来巧妙解题

例4. 在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P是线段CD的中点，则 =（     ）

A. 2         B. 4         C. 5         D. 10

解析1：将？驻PAB补成平行四边形PAEB，如例4图-1，因为平行四边形对角线的平方和等于四条边平方和，所以在平行四边形PAEB中，PA2+PB2= [（2PD）2+AB2]=

（4PC2+4CD2）= （4PC2+16PC2）=10PC，则 =10.

解析2：注意到？驻ABC是几何图形，所以放入直角坐标系中解也是一种非常不错的选择.如例4图-2建立平面直角坐标系，则C（0，0），设B（0，2a），B（2b，0），其中a，b>0，故D（b，a），P（ ， ），所以PA2=（ ）2+（ ）2，PB2=（ ）2+（ ）2，PC2=（ ）2+（ ）2，故PA2+PB2= + =10PC2，于是得 =10.

特殊方法：注意到？驻ABC是是否为等腰三角形不会影响所求结果，所以不妨取？驻ABC是为等腰直角三角形，如例4图-3，则AD=BD=2PC=2PD，所以PA2+PB2=2PA2=2（PD2+AD2）=2（PC2+4PC2）=10PC2，故 =10.

例5. 设P是？驻ABC内任意一点，S？驻ABC表示？驻ABC的面积，？姿1= ，？姿2= ，？姿3= ，定义f（P）=（？姿1，？姿2，？姿3），若G是？驻ABC的垂心，f（Q）=（ ， ， ），则（     ）

A. 点Q在？驻GAB内       B. 点Q在？驻GBC内

C. 点Q在？驻GCA内       D. 点Q与点G重合

解析：该题能难倒同学们不知从何下手.其实，我们可以考虑？驻ABC是正三角形，如例5图，点O是正？驻ABC的中心，则O点就是G点，因为 = ，所以Q在O过点且平行于CA的直线MN上，又因为 = ，所以Q在O过点且平行于BC的直线RS上方，从而Q点在线段OM上，因此Q在在虑？驻GAB内，从而选A.

例6. 在？驻ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果a，b，c，成等差数列，则 =__________.

解析：同学们会由2b=a+c得2sinB=sinA+sinC尝试解本题，立马被否决，思维易停止.本题的一种解法是余弦定理代入，cosA= = = ，同理cosC= ，将两式代入目标式得 = = ，计算、化简要求较高，而如果同学们想到用特殊三角形来解，则比较方便，如可以是边长为3、4、5的直角三角形，当然取正三角形是最简单的， = = .

点评：显然特殊法中“特殊”的程度会影响解题的快慢，所以，用特殊法解题时应尽可能取最特殊的情况.

第六篇：数列中的特殊化思想

数列是一种具有递推关系的量，给人的感觉是“无穷无尽”，容易造成难解题的错觉.其实如果能够从特殊化思想考虑便能马到成功.

一、取特殊值来巧妙解题

例1. 已知a，b，c成等比数列，如果a，x，b和b，y，c都成等差数列，则 + =（     ）

A. 1         B. 2         C. 3         D. 4

解析：本题常规解法是由b2=ac，2x=a+b，2y=b+c得 + = + = = =2，但不如用特殊化思想来得简捷，若取a=1，b=2，c=4，则x= ，y=3，故 + = + =2，当然取a=b=c=1时可更简洁直观得结果，故选B.

例2. 等差数{an}列中，am=n，an=m（m≠n），则它的第m+n项为（     ）

A. mn     B. m+n    C. m-n    D. 0

解析：常规方法为由公差d= =-1，得am+n=am+nd=0，但特殊化思想的应用则更胜许多，若不妨取m=1，n=2，则a1=2，a2=1，故a3=0，选D.

二、从特殊情形解决中感悟一般解法

例3. 已知二次方程ax2+bx+c=0的两根n次方的和为Sn，求证：Sn=- （n=3，4，5，…）.

解析：同学们直接找出该题的解法一般是非常困难的，但我们可以从n=3的这种特殊情形的解决过程来探求解题途径.设方程两根为x1，x2则x1+x2=- ，x1x2= ，S1=x1+x2，S2=x12+x22，S3=x13+x23=（x12+x22）（x1+x2）-x1x2（x1+x2）=S2=（- ）- S1=- .由S3的启示，我们找到了解题的途径，即可沿着这条途径

“进”到Sn，Sn=（x1n-1+x2n-1）（x1+x2）-x1x2（x1n-2+x2n-2）=Sn-1（- ）- Sn-2=- .

点评：特殊化情形的解决过程有助于发现或得到一般性问题的解法.

第七篇：解析几何中的特殊化思想

解析几何是高中数学的重点和热点内容之一，繁杂的计算、平面几何性质的应用和较高的分析问题能力一直是同学们最头痛的，但是，如果我们能够合理利用好特殊化思想，则解决问题也会有“小菜一碟”的感觉.

一、根据所求结果的个数来巧妙解题

例1. 已知平行四边形三个顶点的坐标分别为（-1，0），（3，0），（1，-5），则第四个点的坐标为（     ）

A. （1，5）或（5，-5）        B. （1，5）或（-3，-5）

C. （5，-5）或（-3，-5）     D. （1，5）或（-3，-5）或（5，-5）

解析：设第四个点的坐标为D（x，y），记A（-1，0），B（3，0），C（1，-5），则当AB为对角线时有（解法1）： = ，即（x+1，y）=（2，5），所以x=1，y=5;（解法2）： AB中点与CD中点重合，即-1+3=x+1，0+0=y+（-5）所以x=1，y=5，所以第四个点的坐标为（1，5）.

用同样的方法可以求得当AC为对角线、BC为对角线时第四个点的坐标为（-3，-5）、（5，-5）.

但实际上，我们可以从判断A、B、C、D四个选择项的点的个数上直接给出答案D，因为根据三个顶点的坐标可以作三个平行四边形，因此第四个点应该有三种情况，而只有D是三种.

二、根据特殊位置来巧妙解题

例2. 过抛物线y=ax2（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF与QF的长分别是p，q则 + 等于（     ）

A. 2a         B.           C. 4a         D.

解析：许多同学在做这题时都用常规方法求解，因此比较费时，可以说是“小题大做”.其实，该问题我们只要考虑它的一种特殊情形即可，即当PQ∥x轴时的情形，此时p=q= ，从而 + =4a，选C. 当然也可以考虑PQ的极限位置y轴.

例3. 已知P、Q是椭圆 + =1（a>b>0）上的两点，若连结A（-a，0）与Q的直线平行于直线OP，且与y轴交于点R，则 的值是_____________.（O为坐标原点）

解析：该题解题入口很宽，同学们基本都能入手解答，而真正计算时却又实在太难进行下去，从而不愿（其实也不能）解答下去.其实，掌握了特殊化思想这个武器后，想要解决本问题绝对是“小菜一碟”.请看：不妨取P（a，0），Q（a，0），则R（0，0），此时 = =2，多么轻松啊！同学们应该看出来了，我们是利用了OP、OQ都重合于x轴的这种特殊位置.

例4. 在平面直角坐标系中，已知？驻ABC的顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆 + =1上，求 的值.

解析：该题除了能利用正弦定理 = = = 外，一般比较难解决，但是我们可以利用顶点B在椭圆上的特殊位置来解决.

不妨取B（0，3），则sinA=sinC= ，cosB= =- ，所以sinB= = ，故 = × = .

例5.（2014高考辽宁理科15）已知椭圆C∶ + =1，点M与C的焦点不重合. 若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|+|BN|=__________.

解析：该题最大的难点是很难根据题意作出解题用图，就算作出了也难以发现其中隐含的图形性质.如图，由三角形中位线性质知，|AN|+|BN|=2|DF1|+2|DF2|=12.但是发现不了这些性质完全没有关系，我们可以取M点的特殊位置来解题.例如取M（0，0），则A（-2 ，0），B（2 ，0），不妨取N（0，4），则|AN|+|BN|=6+6=12.

三、根据特殊来指导一般巧妙解题

人教A版必修二4.2.3《直线与圆的方程的应用》练习4：

例6. 在等边？驻ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且|BD|= |BC|，|CE|= |CA|，AD，BE相交于点P. 求证：AP⊥CP.

解析：因为是解析几何中的题，所以肯定会想到用坐标法解决.

如图，以B为原点，BC边所在直线为x轴建立直角坐标系，若设C（6，0），则A（3， 3 ），由已知得D（2，0），E（5， ）.直线AD的方程为y=3 （x-2），直线BE的方程为y= （x-5）+ . 联立两直线方程得P（ ， ），所以直线PC的斜率为 =- ，故直线PC、AD的斜率满足- ×3 =-1，所以AP⊥CP.

注：从上面的解答过程我们可以得到|DP|= ，|DA|=2 ，故|DP|= |DA|，同理|BP|= |BE|.

那么，能否用其他方法解决呢？下面我们用平面向量的方法来求证.

设边长为a， =？姿 =，则 = + = -  ， = + =-  +？姿 =-  +？姿（ + ）=-  +？姿（ +  ）=  +  ，因为 ∥ ，所以1× -（- ）× =0，解得？姿= .于是 = + =-  + =  -  ，同理 =-  +  ，故 · =（  -  ）·（-  +  ）=- a2+ a2· - a2=0，因此， ⊥ ，则PA⊥PC.

注：仔细分析上述两种解法可以发现，当三角形为一般三角形时PA⊥PC就不成立了，但|DP|= |DA|，|BP|= |BE|仍成立.

以下两道题是适当改变、类比上面课本题的命题方式而得到的，我们可以在上述特殊三角形即正三角形的解决过程中发现或得到一般性三角形问题的解决方法.

变式1. 如图，已知？驻ABC面积为1，点D、E、F分别在边BC、CA、AB上，BD=2DC，CE=2EA，AF=2FB，AD、BE、CF两两相交，交点为P、Q、R. 求？驻PQR的面积.

解析：该题显然可以认为是课本练习题的变式，而且可以从课本题解决得到的“副产品”|DP|= |DA|，|BP|= |BE|（其他线段上的关系也成立）得到该题的一种解法：因为S？驻PQR= · S？驻EQC= · S？驻EQC= S？驻EQC，S？驻EQC= S？驻EBC，S？驻EBC= S？驻ABC，所以S？驻PQR= S？驻EQC= · · S？驻ABC= .

当然该题也可以用梅涅劳斯定理解：

由直线BPE截？驻ADC应用梅涅劳斯定理得 · · =1，故 · · =1， = ，所以S？驻APB= S？驻ABD= · S？驻ABC= ，同理S？驻BQC=S？驻ARC= ，故S？驻PQR=S？驻ABC-S？驻APB-S？驻BQC-S？驻ARC= .

变式2. 在？驻ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且|BD|= |BC|，|CE|= |CA|，AD，BE相交于点P， 则 =           .

解析：由前面分析知，S？驻BDP= S？驻ABD= · S？驻ABC= S？驻ABC，S？驻AEP= S？驻AEB= · S？驻ABC= S？驻ABC，所以 = .

将三角形类比到四边形中可以命制和解决2014年高考广东理科15题：

变式3. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB=2AE，AC与DE交于点F，则 =              .

解析：通过D、F、E三点共线和A、F、C三点共线，用向量共线的方法可以得到 =  ， =  ，所以S？驻CDF= S？驻CDA，S？驻AEF= · S？驻ABC= S？驻ABC，故 =9.

当然，注意到？驻AEF与？驻CDF相似，且相似比为 = ，则易得 =9.

第八篇：概率统计中的特殊化思想

概率统计并不一定只能通过计算才能按部就班解决，也可以运用一些特殊的模型达到巧妙解题.

例1.（2014年高考浙江理科9）已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球（m≥3，n≥3），从乙盒中随机抽取i（i=1，2）个球放入甲盒中.

（1）放入i个球后，甲盒中含有红球的个数为？孜i（i=1，2）;

（2）放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为Pi（i=1，2）.

则（  ）

A. p1>p2，E（？孜1）E（？孜2）

C. p1>p2，E（？孜1）>E（？孜2）        D. p1

解析：一般肯定是列出随机变量？孜1，？孜2的分布列，计算期望值并比较大小，利用分步计数原理计算p1，p2并比较大小.

随机变量？孜1，？孜2的分布列如下：

所以E（？孜1）= + = ，E（？孜2）= + + = ，故E（？孜1）

因为p1= + · = ，p2= + · + · = ，p1-p2= >0，所以p1>p2.故应选A.

实际上，本题如果我们能从特殊的模型——溶液中的溶质与浓度来考虑，则问题很容易求解.可以把甲盒看成是含有 ×100%红球的溶液，把乙盒看成是含有红球的溶液，则E（？孜i）可以看成是甲盒中溶质的多少，显然多放一次溶液溶质一定是增加的，故E（？孜1）p2.

第九篇：立体几何中的特殊化思想

立体几何问题的解决需要有比较强的空间想象能力，但我们可以利用特殊化思想来弥补这一能力的不足.

例1.（2014年高考四川理科8）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点O为线段BD的中点.设点P在线段CC1上，直线OP与平面A1BD所成的角为？琢，则sin？琢的取值范围是（  ）

A. [ ，1]      B. [ ，1]

C. [ ， ]    D. [ ，1]

解析：一般方法比较麻烦，可以根据点P的特殊位置求解.

根据题意可知平面A1BD⊥平面A1ACC1且两平面的交线是A1O，所以过点P作交线A1O的垂线PE，则PE⊥平面A1BD，所以∠A1OP或其补角就是直线OP与平面A1BD所成的角？琢.设正方体的边长为2，则根据图形可知直线OP与平面A1BD可以垂直，即sin？琢可以取1.当点P与点C1重合时可得A1O=OP= ，A1C1=2 ，所以由等面积法得 × × ×sin？琢= ×2 ×2，解得sin？琢= ;当点P与点C重合时可得sin？琢= = .综上所述， ≤sin？琢≤1，选B.

特殊化与一般思想巩固练习

1. 已知函数f（x）=2ax2+4（a-3）x+5在区间（-∞，3）上是减函数，则a的取值范围是（  ）

A. （0， ）  B. （0， ]  C. [0， ）  D. [0， ]

2. （1）已知函数地f（x）的定义域为R，当x>0时，f（x）>1，且对任意的x，y∈R，f（x+y）=f（x）f（y），则不等式f（lnx）≤ 的解集为（  ）

A. （0， ]  B. [ ， ]  C. （0，e-1]  D. （0， ]

（2）函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），则f（1）=________.

3. （1）若函数f（x）=x-1，x>0a，x=0x+b，x<0是奇函数，则a+b=           .

（2）设f（x）=lg（ +a）是奇函数，则使f（x）<0成立x的取值范围是（  ）

A. （-1，0） B. （0，1） C. （-∞，0） D. （-∞，0）∪（1，+∞）

4. 已知函数f（x）=x2+2x-1，x≥0x2-2x-1，x<0则对于任意x1，x2∈R，若0<|x1|<|x2|，下列不等式成立的是（  ）

A. f（x1）+f（x2）<0   B. f（x1）+f（x2）>0

C. f（x1）-f（x2）>0   D. f（x1）-f（x2）<0

5. 已知cos（ -？兹）=a（|a|≤1），则cos（ +？兹）+sin（ -？兹）的值是________.

6. （1）数列0，1，0，-1，0，1，0，-1，…的一个通项公式是an等于（  ）

A.    B. cos   C. cos ？仔  D. cos ？仔

（2）已知数列{an}： ， + ， + + ，…， + + +…+ ，…，若bn= ，那么数列{bn}的前n项和Sn为（  ）

A.    B.    C.    D.

7.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则 · 的值为______________.

8. 已知a>0，b>0，若不等式 - - ≤0恒成立，则m的最大值为（  ）

A. 4    B. 16   C. 9    D. 3

9. 直线2x-my+1-3m=0，当m变动时，所以直线都通过定点（  ）

A. （- ，3）  B. （ ，3）  C. （ ，-3）  D. （- ，-3）

10. 如图，圆F：（x-1）2+y2=1和抛物线x= ，过F的直线与抛物线和圆依次交于A、B、C、D四点，求|AB|·|CD|的值是（  ）

A. 1   B. 2   C. 3   D. 无法确定

11. 如图，P（4，3）为圆x2+y2=25上一点，点E，F为y轴上的两点，？驻PEF为以P为顶点的等腰三角形，直线PE，PF交圆于D，C两点，则直线CD的斜率是（  ）

A.     B.     C. 1   D.

参考解答：

1. 解析：可以根据选择项的特点，取特殊值代入验证.当a=0时，f（x）=-3x+5在区间（-∞，3）上是减函数;当a= 时，f（x）= x2-9x+5在区间（-∞，3）上是减函数.所以选择D.

2. 解析：（1）对于f（x+y）=f（x）f（y），我们可以取特殊函数指数函数f（x）=ax，又因为当x>0时，f（x）>1且有f（lnx）、 f（lnx+1），所以不妨取f（x）=ex，则f（lnx）=x， f（lnx+1）=ex，故不等式f（lnx）≤ 化为x≤ ，所以可以解得x≤- 或0

（2）对于f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），我们可以取特殊函数对数函数f（x）=logax，所以f（1）=0. 当然我们也可以取特殊的x1，x2的值来求解，例如x1=x2=1，则f（1·1）=f（1）+f（1），故f（1）=0.

注：对于题目中有类似条件f（x+y）=f（x）f（y）、f（x+y）=f（x）+f（y）、f（xy）=f（x）f（y）、f（xy）=f（x）+f（y）的函数，我们可以分别取特殊函数：指数函数、正比例函数、幂函数、对数函数对应解题.

3. 解析：（1）奇函数在0处有定义必有f（0）=0，故a=0，又由f（1）=-f（-1）得b=1，所以a+b=1.

（2）由f（0）=lg（2+a）=0，得a=-1，所以f（x）=lg <0，则0< <1，解得-1

4. 解析：不妨取x1=1，x2=2，则f（x1）=2，f（x2）=7，故B、D成立;当取x1= ，x2= ，则f（x1）=- ，f（x2）=- ，故只有D成立.

5. 解析：不妨取？兹=0，a= ，则cos（ +？兹）+sin（ -？兹）=cos +sin =- + =0.一般做法为cos（ +？兹）+sin（ -？兹）=-cos[？仔-（ +？兹）]+sin[ +（ -？兹）]=-a+a =0.

6. 解析：前几项特殊值验证即可.

（1）因为a1=0，故C不成立;a2=1，故B不成立;a4=-1，故A不成立，所以选D.

（2）因为a1= ，a2=1，所以b1=2，故S1=2，选择项中当n=1时只有B满足.

7. 解析：如图，可以用特殊位置法，因为E在AB边上的运动时 · 是定值，所以不妨取E为A，则 · =1×1×1=1.

8. 解析：不妨取a=b=1，则 -4≤0即m≤16恒成立，所以m的最大值可以为16.

而一般方法要这样解答： - - ≤0等价于m≤（ + ）（3a+b）=10+ + 恒成立，

所以m≤（10+ + ）的最小值.

又10+ + ≥10+2 =16，

所以m≤16恒成立，故的最大值可以为16.

9. 解析：把选择项具体代入直线方程2x-my+1-3m=0，只有D是满足的.

另一方面，我们也可以继续用下面的特殊化思想求解：当m=0时，直线2x+1=0要通过定点;

当m=1时，直线2x-y-2=0要通过定点，

所以定点只能是两直线2x+1=0，2x-y-2=0的交点（- ，-3）.

10. 解析：取直线为x=1，则易得AB=CD=1，故AB·CD=1.

当然，我们也可以用一般的方法求出来.

设A（x1，y1），D（x2，y2），则AB=AF-BF=x1+1-1=x1，

同理CD=x2，所以AB·CD=x1x2.

设直线方程为y=k（x-1），代入抛物线整理得k2x2-（2k2+4）x+k2=0，

所以由韦达定理得x1x2=1，

故AB·CD=1.

11. 解析：不妨让E取点（0，4），则点F（0，2），

所以直线PE方程为y=- x+4，PE方程为y= x+2，

联立直线PE方程和圆方程，可得D（- ， ），

联立直线PE方程和圆方程，可得C（- ， ），

于是由两点斜率公式得直线CD的斜率是 .

从上面的解答中我们可以看到实际上直线PE，PF的斜率是互为相反数，于是可以得到一般解法：设直线PE方程为y-3=k（x-4），

联立圆方程得（1+k2）x2+2k（3-4k）x+16k2-24k-16=0，

所以4·xD= ，则xD= ，

于是yD= .

同理xC= ，yC= ，

因此，由两点斜率公式得直线CD的斜率是 .

（作者单位：浙江省绍兴市柯桥区越崎中学）

责任编校 徐国坚