数形结合思想

李启龙

第一篇：数形结合思想概述

一、数形结合思想的含义

数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述.因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义;而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法.简言之，就是把数学问题中的数量关系和空间形式相结合起来加以考察的处理数学问题的方法，称之为数形结合的思想方法.

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化.在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围.

二、应用数形结合思想的途径

（1）“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性.

（2）“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征.

（3）“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系.

三、运用数形结合思想分析解决问题时，应把握以下三个原则

（1）等价性原则

数与形的转化，无论是“由数转化为形”还是“由形转化为数”都必须保证是等价的，特别是由数与式向形转化，一定要注意，变量的范围，建立在范围内作图.否则，产生结果与真正的结论会有所差别.

（2）直观性原则

为什么要将数或式转化为形？目的只有一个，就是通过图形的直观产生结论，如果将数与式转化为形之后，不能保证直观，就失去转化的意义，也就没有必须再用数形结合了.

（3）简单化原则

图形的直观性是一目了然的，但图形也有不足之处.首先，它将所有的信息，通过一个图形全部展示在我们面前，有用的、没用的通通出现.其次，一个问题的细微之处是我们无法看清的.于是，转化数就显得很有必要，但如果转化后的数与式非常复杂，欲准确、透彻地分析很困难，那就没有必要了.

四、运用数形结合思想分析解决问题时的常规步骤

（1）通过坐标系的建立，引入变量，化静为动，以动求解.

（2）借助转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等.

（3）构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等.

第二篇：数形结合思想在集合中的应用

在集合运算中常常借助于数轴、Venn图来处理集合的运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了.

一、集合的基本运算

例1. 已知集合A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，C={x|x是正方形}，D{x|x是菱形}，则（  ）

A. A？哿B   B. C？哿B   C. D？哿C   D. A？哿D

解析：处理集合问题首先应该看看集合的元素，本题是以平行四边形、矩形、菱形和正方形为元素，这样它们的关系可以表式为下面的关系图.再看看问题的选项是要判定包含关系，因此，选项A、C、D错误，选项B正确.故选B.

例2. 若集合A={x|2x-1>0}，B={x||x|<1}，则A∩B=        .

解析：集合的运算如果是无限的数集，我们可以最好借用数轴表示数集.本题可以分为三步：第一步：化简集合;第二步：用数轴表示集合;第三步：观察、分析写出结果.

得2x-1>0，|x|<1？圯x> ，-1

二、集合的范围与最值

例3. 设集合A={（x，y）|y≥ |x-2|，x≥0}，B={（x，y）|y≤-x+b}，A∩B≠？覫，（1）b的取值范围是        ;（2）若（x，y）∈A∩B，且x+2y的最大值为9，则b的值是         .

解析：集合A={（x，y）|y≥ |x-2|，x≥0}的点构成的图形，如右图所示，结合图形，可得：

（1）A∩B≠？覫时，b的取值范围是[1，+∞）;

（2）若（x，y）∈A∩B时，b≥1要使x+2y取得最大值，z=x+2y必过定点（0，b），此时，b= .

点评：点集A是一个具体的集合，可以画出它表示的区域;点集B由于b的不定性，致使区域也在变化，结合图形再注重条件可产生问题的结论.

例4. 设m为实数，若（x，y）x-2y+5≥0，3-x≥0，mx+y≥0？哿{（x，y）|x2+y2≤25}，则m的取值范围是            .

解析：集合{（x，y）|x2+y2≤25}是坐标平面内以原点为圆心，以5为半径的圆面;集合（x，y）x-2y+5≥0，3-x≥0，mx+y≥0表示的图形如右图所示的三角形区域内及其边界;欲满足题设条件只需A、B、C三点在圆的内部即可.由于A（- ，- ），B（3，-3m），C（3，4）.

由（- ）2+（- ）2≤25及32+（-3m）2≤25，得0≤m≤ .

点评：通过画出两个点集所表示的图形，问题很快转化为解方程组与不等式组;画图是本题求解的关键.

三、集合中的区域问题

例5. 设平面点集A={（x，y）|（y-x）（y- ）≥0}，B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为（  ）

A.  ？仔   B.  ？仔   C.  ？仔   D.

解析：我们首先应该注意到：集合是平面点集，它的元素是点，点是坐标形式;然后集合B中的点集大家是十分熟悉的——圆及其内部.下面需要化简集合A.

∵（y-x）（y- ）≥0，∴y-x≥0，y- ≥0或y-x≤0，y- ≤0，这是平面上的区域.

又∵（x-1）2+（y-1）2≤1，

∴满足上述条件的区域为如图所示的圆内部分Ⅰ和Ⅲ.

∵y= ，（x-1）2+（y-1）2=1的图像都关于直线y=x对称，

∴Ⅰ和Ⅳ区域的面积相等，Ⅱ和Ⅲ区域的面积相等，即圆内部分Ⅰ和Ⅲ的面积之和为单位圆面积的一半，为 .故选D.

点评：本题有三个难点：其一是化简集合A，其二要熟悉二元不等式组的解集是一个平面区域，其三求不规则平面图形的面积用几何性质，这正是数形结合的妙用！

例6. 在平面直角坐标系xOy中，已知平面区域A={（x，y）|x+y≤1且x≥0，y≥0}，则平面区域B={（x+y，x-y）|（x，y）∈A}的面积为（  ）

A. 2   B. 1   C.     D.

解析：设集合B={（u，v）}，那么x+y=u，x-y=v？圯x= （u+v），y= （u-v）.

结合集合A得u≤1，u+v≥0，u-v≥0，此时，u，v确定的区域如图所示，得答案为B.

点评：本题通过替换使集合B“现身”，从而完成由“数”到“形”的转化，使计算可以顺利的进行，替换在本题中起到了重要作用.

跟踪练习：

1. 函数f（x）= + 的定义域为（  ）

A. [-2，0）∪（0，2]     B. （-1，0）∪（0，2]

C. [-2，2]          D. （-1，2]

2. 某校高一（1）有学生50人，参加数学小组的有35人，参加英语小组的有26人，求既参加数学小组又参加英语小组的人数的最大值与最小值.

答案：1. B;2. 两个小组都参加的人数最大值为26，最小值为11.

第三篇：数形结合思想在函数问题中的应用

函数图像的几何特征与数量关系紧密结合，体现了数形结合的特征与方法.特别地，数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数.用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决.

一、解不等式

例1. 设奇函数f（x）定义域为[-5，5]，若当x∈[0，5]时，f（x）图像如下图，则不等式f（x）<0的解集是                   .

解析：由奇函数的图像关于原点对称，补充完成f（x）在定义域内的图像，再由f（x）<0找出使f（x）图像在x轴下方的区域，从而得到不等式f（x）<0的解集为（-2，0）∪（2，5].

点评：用数形结合的方法去分析解决问题除了能读图外，还要能画图.绘制图形既是数形结合方法的需要，也是培养我们动手能力的需要.

例2. 设奇函数f（x）满足f（3）=0，且f（x）在（0，+∞）是单调递增，求满足不等式 >0的x的集合.

解析：这是求不等式的解的问题;我们需要化简不等式 >0;不等式可以转化为下面的不等式 >0;又等价于不等式 >0的解;又等价于不等式xf（x）>0的解;事实上问题变为自变量与函数值同号，我们从函数图像上很直观地可以得到不等式的解集是（-∞，-3）∪（3，+∞）.

点评：本题可以说是抽象函数的不等式问题，解不等式的关键是函数的零点.

二、方程根的个数的判定

例3. 已知函数y=x3-3x+c的图像与轴恰有两个公共点，则c=（  ）

A. -2或2  B. -9或3  C. -1或1  D. -3或1

解析：本题三次函数的图像是一般形式，它的简图我们十分熟悉.与轴有两个不同的交点的问题根据图像可以转化为——该函数的极大值点或者极小值点有一点在轴时满足要求（如图所示）.

∵y=x3-3x+c，∴y′=3x2-3=3（x+1）（x-1）.

∴当x=±1时，函数取得极值.

由yx=1=0或yx=-1=0可得c-2=0或c+2=0，即c=±2.故选A.

点评：三次函数是初等数学中的高次函数，三次函数的图像有两种情况，一种是单调的，没有拐点;一种是有两个拐点，也就是有两个极值点.熟练地画出它的简图用数形结合的思想方法可以快速地解答这类问题.

例4. 已知函数f（x）=x3-3x2+1，g（x）=x+ ，x>0-x2-6x-8，x≤0则方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的根的个数不可能为（  ）

A. 3个   B. 4个   C. 5个   D. 6个

解析：由f ′（x）=3x2-6x=3x（x-2），易得x∈（-∞，0）上递增，在x∈（0，2）上递减，在x∈（2，+∞）上递增，且fmax（x）=f（0）=1，fmin（x）=f（2）=-3，f（x），g（x）的图像分别为下图中的左、右两图.

结合图像可以看出：

（1）若a>1，则方程g（x）=a有两解x1，x2，且0 此时，看f（x）图像可知，方程f（x）=x1有三解.

若

若x2=1，f（x）=x2有两解，此时，方程g[f（x）]=a共5解.

若x2>1，f（x）=x2有一解，此时，方程g[f（x）]=a共4解.

（2）若a=1，则方程g（x）=a有两解x1=-3，x2= ，此时，看f（x）图像可知，方程f（x）=x1有两解，f（x）=x2有三解，因此，方程g[f（x）]=a共5解.

（3）若a<1，则方程g（x）=a有两解x1，x2，且x1<-3，-3

综上，得方程g[f（x）]=a的解的个数可以是：4个、5个、6个，不可能是3个.

点评：数形结合可用于解决方程的解的问题，准确合理地作出满足题意的图像是解决这类问题的前提.把方程转化为两个熟悉的初等函数是解决这类问题的关键.

三、函数的单调区间

函数的单调性是函数的一条重要性质，也是高考中的热点问题之一.在解决有关问题时，我们常需要先确定函数的单调性及单调区间，数形结合是利用函数单调性常用的数学思想，函数的单调区间形象直观地反映在函数的图像中.

例5. 确定函数y=x|x|-2|x|的单调区间.

解析：由y=x|x|-2|x|=x2-2x，（x≥0）-x2+2x，（x<0）画出函数的图像，如图.

由图像可知，函数的单调递增区间为（-∞，0]，[1，+∞）函数的单调递减区间为[0，1].

点评：确定函数的单调区间，必须准确地找到函数的拐点（极值点）.如果用数形结合的方法，一定要注意拐点的准确性.

例6. 已知实数a>b>e（e为自然对数的底），证明：ab

解析：本题直接证较难，利用函数单调性，进行数形结合转化为函数问题，以数助形可轻松获证.

∵a>b>e>2，∴ab

考虑函数f（x）= 在（e，+∞）上的单调性，∵f ′（x）= ，当x>e时f ′（x）<0.

即f（x）= 在（e，+∞）上单调递减，∴ < 即ab

点评：比较大小有很多方法，数形结合——利用函数的单调性是众多方法中最体现智慧的！本题还要构造一个函数，具有很大的挑战性.这类问题大致可以分为：已知自变量的大小确定函数值的大小;已知函数值的大小确定自变量的大小.

四、函数值的大小比较

例7. 已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列三个条件：①对任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）;②对任意的0≤x1≤x2≤2，都有f（x1）

解析：由①可知：y=f（x）是一个周期为4的函数;由②可知：f（x）在[0，2]上是增函数;由③可知：f（-x-2）=f（x+2），从而f（x）的图像关于直线x=2对称.由此，画出示意图便可比较大小.

显然，f（4.5）

点评：一般地，比较函数值的大小，总是将自变量调整到同一个单调区间，再利用函数的单调性确定大小关系.

例8. 试判断0.32，log2 0.3，20.3三个数间的大小顺序.

解析：这三个数我们可以看成三个函数：y1=x2，y2=log2 x，y3=2x在x=0.3时，所对应的函数值.在同一坐标系内做出这三个函数的图像，从图像可以直观地看出当x=0.3时，所对应的三个点P1，P2，P3的位置， 从而可得出结论：20.3>0.32>log2 0.3.

点评：比较函数值的大小还有另一种情况，函数值对应多个不同函数的图像，这是数形结合的另外一种奇观！

五、求参数的取值范围

例9. 若不等式 >ax的解集是{x|0

A. [0，+∞）  B. （-∞，4]  C. （-∞，0）  D. （-∞，0]

解析：令f（x）= ，g（x）=ax，则f（x）= 的图像是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆的上半部分，包括点（4，0），不包括点（0，0）;g（x）=ax的图像是通过原点、斜率为a的直线，由已知 >ax的解集是{x|0

即要求半圆在直线的上方，由图可知a<0，所以选C.

点评：本题属于含参数的无理不等式，代数方法求解要分类讨论;我们还要注意到：待定系数法处理不等式问题远比方程问题困难！我们考虑数形结合思想在解题中的应用.问题容易转化为直线与圆的位置关系.

例10. 当0

A. （0， ） B. （ ，1） C. （1， ） D. （ ，2）

解析：设f（x）=4x，g（x）=logax作出图像.

∵当0 .

∴a的取值范围是（ ，1），故选B.

点评：本题也可以归类为恒成立问题.对于恒成立问题的一般方法是把问题的分属类搞清楚，例如：g（x）=logax是一个分类，都是对数函数.对于同类问题较多地都是讨论参数.

六、函数的零点

例11. 设二次函数f（x）=-ax2+bx+c（a，b，c∈R且a≠0）满足条件：①当x∈R时，f（x-4）=f（2-x）且f（x）≥x;②x∈（0，2）时，f（x）≤（ ）2;③f（x）在R上的最小值为0;求最大的m（m>1）使得存在t∈R，只要x∈[1，m]就有f（x+t）≤x成立.

解析：由f（x-4）=f（2-x）得对称轴方程为x=-1，又由③知f（x）=a（x+1）2.

再由x≤f（x）≤（ ）2，令x=1得：

f（1）=1因此a= ，∴f（x）= （x+1）2.

由于f（x+t）的图像是由f（x）的图像向左（或向右）平移|t|个单位，欲使存在t使x∈[1，m]时，有f（x+t）≤x，则必须向右移且1和m分别是方程f（x+t）=x的两根.

即 （x+t+1）2=x的两根分别为1和m，得：t=-4，m=9.

点评：本题先要探求f（x）的解析式，有了解析式再利用数形结合结论会逐步明晰.

跟踪训练：

1. 已知函数f（x）是定义在（-3，3）上的奇函数，当0

A. （- ，1）

B. （- ，-1）∪（0，1）∪（ ，3）

C. （- ，-1）

D. （- ，-1）∪（0，1）

2. 关于x的方程（x2-1）2-|x2-1|+k=0，给出下列四个命题：（  ）

①存在实数k，使方程恰有2个不同的实根;

②存在实数k，使方程恰有4个不同的实根;

③存在实数k，使方程恰有5个不同的实根;

④存在实数k，使方程恰有8个不同的实根.

其中假命题的个数是（  ）

A. 0   B. 1   C. 2   D. 3

3. 设函数f（x）=x2+bx+c，   x≤02，               x>0若f（-4）=f（0），f（-2）=-2则关于x的方程f（x）=x的解的个数为（  ）

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

4. 设定义域R为函数f（x）=lgx-1，x≠10，             x=1则关于x的方程f  2（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解的充要条件是（  ）

A. b<0，c>0   B. b>0，c<0   C. b<0，c=0   D. b≥0，c=0

5. 已知函数f（x）=ax3-2ax+3a-4在区间（-1，1）上有唯一零点，求实数a的取值范围.

答案：1. B;2. C;3. C;4. C;5. 1≤a≤2或a= 或a= .

第四篇：数形结合思想在三角函数问题中的应用

有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图像来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法.

一、范围与最值中的数形结合

例1. 求满足sinx< ，且cosx≥ 的角x的范围.

解析：如图，在单位圆中，分别作出sinx= 与cosx= 的角x的终边位置，从正弦线、余弦线出发可知满足sinx< 且cosx≥ 的角x所在的范围为2k？仔- ≤x<2k？仔+ （k∈Z）.

点评：可以看出将数（或式）“sinx< ，且cosx≥ ”置于形“单位圆”之中，充分利用形的直观性，可以很顺利的求出所要的结论.

例2. 已知？驻ABC的三内角A，B，C均满足asin2x+bcosx+c=0，则cos（A-B）的最大值为          .

解析：由题意得asin2A+bcosA+c=0，asin2B+bcosB+c=0，asin2C+bcosC+c=0，显然，三点（sin2A，cosA），（sin2B，cosB），（sin2C，cosC）均在直线ax+by+c=0上，而此三点同时又在y2+x=1抛物线上.于是此三点是直线与抛物线的公共点.由于直线与抛物线的公共点最多只有两个，可得上述三点至少有两点重合.

于是A=B或B=C或A=C，故A=B当时，cos（A-B）的最大值为1.

点评：此题的题设隐藏着一种代数对称关系：条件asin2x+bcosx+c=0对三内角A，B，C都成立，进而挖掘方程式的几何意义.数形结合的图像是隐含的，虽然没有图像，但思路还是建立在联想图像的基础上产生.

二、三角求值中的数形结合

例3. 已知sin？琢+sin（？琢+？茁）+cos（？琢+？茁）= ，且？茁∈[ ， ]，求cos？茁+sin？茁的值.

解析：由已知得（sin？茁+cos？茁）cos？琢+（1+cos？茁-sin？茁）sin？琢- =0.

显然，点Q（cos？琢，sin？琢）在直线（sin？茁+cos？茁）x+（1+cos？茁-sin？茁）y- =0上，取点P（0，0），由d≤|PQ|，即 ≤ ？圯cos？茁≥sin？茁.

由？茁∈[ ， ]知cos？茁≤sin？茁，于是cos？茁=sin？茁= 或cos？茁=sin？茁=- .

故cos？茁+sin？茁= 或- .

例4. 设在（0，？仔）内有两相异角？琢，？茁满足方程acosx+bsinx+c=0，求cos2 的值.

解析：由已知得acos？琢+bsin？琢+c=0，acos？茁+bsin？茁+c=0，因此两点（cos？琢，sin？琢），（cos？茁，sin？茁）在直线ax+by+c=0上.

而过两点（cos？琢，sin？琢），（cos？茁，sin？茁）的直线方程为 = 即cos ·x+sin ·y-cos =0，显然，两线重合，那么原点到两直线的距离相等，于是|cos |= ，得cos2 = .

点评：经过两点竟然有两个直线方程，那么这两个方程所表示的直线一定是重合直线.既然重合，实际上就是同一直线，于是很圆满地产生了结论，感觉一个字—“爽”.

三、值域与定义域中的数形结合

例5. 函数f（x）= （0≤x≤2？仔）的值域是_______________.

解析：原式可化为y=- =- =- （sinx≠1），由数形结合思想得 可理解为动点（sinx，cosx）与定点（1，1）连线斜率的取值范围，可求取值范围是[0，+∞），由此可求得- 的值域为[-1，0），当sinx=1时，f（x）=0，所以值域是[-1，0].

点评：本题主要考查利用数形结合研究函数的最值，变形技巧很强，应加强变形能力和运算能力的培养.

例6. 求函数y=lgcosx- 的定义域.

解析：欲使函数有意义，则cosx>0，25-x2≥0？圯cosx>0，-5≤x≤5.

由图像立得函数的定义域为{x|-5≤x<- 或-

点评：做出余弦函数图像，再注意到-5≤x≤5，函数的定义域昭然若揭.

四、方程实根判定中的数形结合

例7. 方程 =sinx的实根个数为               .

解析：分别作出函数y= 与y=sinx的图像，如下图所示：

由于两函数都是奇函数，图像都关于原点对称，

因此，只需考查[0，+∞），由图像可以看出，在x∈[0，+∞）时，直线y= 与函数y=sinx有四个交点，因此，方程有7个实数根.

点评：此方程若不借助图形，用传统的方法很难产生结果，而这里却显得轻松、自然.

例8. 设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2？仔的偶函数，f ′（x）是f（x）的导函数，当x∈[0，？仔]时，00，则函数y=f（x）-sinx在[-2？仔，2？仔]上的零点个数为（  ）

A. 2   B. 4   C. 5   D. 8

解析：由当x∈（0，？仔）且x≠ 时，（x- ）f ′（x）>0，知x∈[0， ）时，f ′（x）<0，f（x）为减函数;x∈（ ，？仔]时，f ′（x）>0，f（x）为增函数.

又x∈[0，？仔]时，0

五、探索性试题中的数形结合

例9. 是否存在锐角？琢，？茁，使cos？琢+cos？茁-cos（？琢-？茁）= 成立，若存在，求出？琢，？茁的值;若不存在，请说明理由.

解析：若存在锐角？琢，？茁的值，使cos？琢+cos？茁-cos（？琢-？茁）= 成立.

也就是（1-cos？琢）cos？茁+sin？琢sin？茁+cos？琢- =0成立.

显然，点Q（cos？茁，sin？茁）在直线（1-cos？琢）·x+sin？琢·y+cos？琢- =0上，取点P（0，0），由d≤|PQ|得： ≤ =1.

化简得（cos？琢- ）2≤0即cos？琢= 得：？琢= 代入原式易得？茁= .

故存在锐角？琢=？茁= 使cos？琢+cos？茁-cos（？琢-？茁）= 成立.

点评：本题我们采用的方法是平面内任意一点到直线上一点的距离与该点到直线距离之间的大小关系产生基本关系式，通过这个基本关系式产生结论.

例10. 若Sn=sin +sin +…+sin （n∈N？鄢），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（  ）

A. 16   B. 72   C. 86   D. 100

解析：依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项：在S1，S2，…，S100中，分成7部分n∈（i，2i，…，14i）（i=1，2，…，7），加上S99，S100.在7部分中，每一部分正数的个数是相同的.

讨论一个周期的情况：

如图，n∈（1，2，…，14）中，当n=1，2，…，7时，sin ≥0，所以Sn均为正数;当n=8，9，…，12时，由于正弦函数的性质，知Sn也为正数;当n=13，14时，由于正弦函数的性质，知Sn为0.因此共有12个正数.另S99=S1，S100=S2为正数.∴在S1，S2，…，S100中，正数的个数是12×7+2=86.故选C.

六、证明问题中的数形结合

例11. 若？琢∈（0， ），证明：sin？琢<？琢

证明：如图，设单位圆交x轴正方向于A，过A作单位圆的切线AT，角？琢的终边交单位圆于P，交AT于T，由于S？驻POA

即 ×1×1·sin？琢< ×1·？琢< ×1·tan？琢，也就是sin？琢<？琢

点评：看看这个问题的证明，有多么漂亮，几乎只要图形就可以了.

例12. 若 + =1，求证： + =1.

解析：由已知得直线L1： ·x+ ·y=1过点A（cos2？琢，sin2？琢）与B（cos2？茁，sin2？茁），而A、B又都在直线L2：x+y=1上，于是L1与L2重合或点A与点B重合，无论L1与L2重合还是点A与点B重合均有cos2？琢=cos2？茁及sin2？琢=sin2？茁.

故 + = + cos2？琢+sin2？琢=1.

点评：这个条件等式的证明，从构思到应用都非常巧妙，没有画图，但求解确与图形有着密切的关系.

七、综合问题中的数形结合

例13. 如图是函数f（x）=Asin（？棕x+？覬）（A>0，？棕>0，0<？覬<？仔）的一个周期的图像.

（1）写出f（x）的解析式.

（2）若g（x）的图像与f（x）的图像关于直线x=2对称，写出g（x）的解析式.

解析：（1）由图像可知A=2，T=7-（-1）=8，又由 =8，得？棕= ，得f（x）=2sin（ +？覬），又f（-1）=0，即2sin（- +？覬）=0，得？覬= ，那么f（x）=2sin（ + ）.

（2）注意对称时最值不变、周期不变，于是g（x）=2sin（ +？覬1）.

由于（-1，0）关于直线x=2的对称点为（5，0），于是g（5）=0，即2sin（ +？覬1）=0，得？覬1=- ，故g（x）=2sin（ - ）.

跟踪练习：

1. 如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（ ，- ），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图像大致为（  ）

2. 设an= sin ，Sn=a1+a2+…+an，在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（  ）

A. 25    B. 50    C. 75    D. 100

3. 已知函数f（x）=Asin（？棕x+？渍）（A>0，？棕>0，|？渍|< ）的图像在y轴上的截距为1，在相邻两最值点（x0，2），（x0+ ，-2）（x0>0）上f（x）分别取得最大值和最小值.

（1）求f（x）的解析式;

（2）若函数g（x）=af（x）+b的最大值和最小值分别为6和2，求a，b的值.

答案：1. C;2. D;3.（1）f（x）=2sin（ x+ ）;（2）a=±1，b=4.

第五篇：数形结合思想在圆锥曲线问题中的应用

解析几何的基本思想方法就是数形结合，研究问题的基本方法是用代数的方法研究直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线等基本图形的几何性质.而代数方法的特点是引入坐标.用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何对像，然后对坐标和方程进行代数讨论;最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.

一、直线斜率的应用

例1. 某棵果树前n年的总产量s与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高.m值为（  ）

A. 5   B. 7   C. 9   D. 11

解析：实际上，前n年的年平均产量就是前n年的总产量S（n）与n的商： ，在图像上体现为这一点的纵坐标与横坐标之比.

因此，要使前m年的年平均产量最高就是要这一点的纵坐标与横坐标之比最大，即这一点与坐标原点连线的倾斜角“最大”.图中可见.当n=9时，倾斜角“最大”.从而m值为9.故选C.

点评：本题的意义就是研究变化率，变化率问题一般情况下用导数，但导数要求函数是连续的，这一点一定要注意！另外变化率问题也可以用直线的斜率，但也要注意斜率的范围.

例2. 已知有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P（-1，1），Q（2，2）.若直线l∶x+my+m=0与有向线段PQ延长相交，求实数m的取值范围.

解析：直线l的方程x+my+m=0可化为点斜式：y+1=- （x-0），易知直线l过定点M（0，-1），且斜率为- .∵ l与PQ的延长线相交，由数形结合可得：当过M且与PQ平行时，直线l的斜率趋近于最小;当过点M，Q时，直线l的斜率趋近于最大.

kPQ= = ，kMQ= = ，设直线l的斜率为k1，

由kPQ

点评：含有一个变量的直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点的直线系方程.本题是化为点斜式方程后，可看出交点M（0，-1）和斜率- .此类题目一般结合图形可判断出斜率的取值范围.

二、距离公式的应用

例3. 求y=（cos？兹-cos？琢+3）2+（sin？兹-sin？琢-2）2的最大值与最小值.

解析：求最值的式子可看成求两动点P（cos？兹，sin？兹）与Q（cos？琢-3，sin？琢+2）之间距离的最值问题，而两动点的轨迹方程分别为：x2+y2=1和（x+3）2+（y-2）2=1，于是问题转化为求两曲线上两点之间距离的最值问题.如图：

|PQ|max= +2，|PQ|min= -2.

故所求的最大值与最小值分别为 +2与 -2.

点评：如能联想到点到直线的距离公式，数形结合，以形助数，则简洁明了.

例4. 函数f（x）= - 的最大值为      .

解析：∵f（x）= - 可以构造为动点（x，x2）到两定点（3，2），（0，1）的距离之差，由于动点（x，x2）的轨迹为抛物线y=x2，作图易得最大值为 .

点评：目标函数与两点间的距离 十分接近.赶紧将目标函数进行变形，你会发现是三点之间的关系.

三、圆锥曲线定义中的数形结合

例5. 设P是曲线y2=4x上的一个动点，

（1）求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值.

（2）若B（3，2），求|PB|+|PF|的最小值.

解析：（1）如图，易知抛物线的焦点为F（1，0），准线是x=-1，由抛物线的定义知：点P到直线x=-1的距离等于点P到焦点F的距离;于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A（-1，1）的距离与点P到F（1，0）的距离之和最小;显然，AF连交曲线与P点.故最小值为 ，即为 .

（2）自B作BQ垂直准线于Q交抛物线于P1，此时，|P1Q| = |P1F |，那么|PB|+|PF |

≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4即最小值为4.

点评：此两小题有一个共性，都是利用抛物线的定义，将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，从而构造出“两点间线段距离最短”，使问题获解.

例6. 已知A（3，0），B（-2，1）是椭圆 + =1内的一点，M是椭圆上的一动点，则|MA|+|MB|的最大值与最小值之和等于

.

解析：易知A为椭圆的右焦点，设左焦点为F1，由a2=25，知|MF1|+|MA|=10，因此|MA|+|MB|=10+|MB|-|MF1|.连B，F1并延长交椭圆与两点，其一使|MB|-|MF1|最大，另一个使|MB|-|MF1|最小，得最大值为10+ ;最小值为10- .于是，最大值与最小值之和等于20.

例7. 设圆C与两圆（x+ ）2+y2=4，（x- ）2+y2=4中的一个内切，另一个外切.若C的圆心轨迹为L，已知点M（ ， ），F（ ，0），且P为L上动点，求||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标.

解析：设F′（- ，0），F（ ，0）并设圆C的半径为r，则||CF′|-|CF ||=|（2+r）-（r-2）|=4，又4<2 ，所以C的圆心轨迹是以F′，F为焦点的双曲线，且a=2，c= ，从而b=1，故C的圆心轨迹方程为 -y2=1.

如图，||MP|-|FP||≤|MF|=2等号成立当且仅当P为直线MF与双曲线的位于线段MF延长线上的那个交点处取得.直线MF的方程为2x+y-2 =0.

将直线方程代入双曲线方程中整理得（3 x-14）（ x-6）=0？圯x1= ，x1= = > ，因此，点P的横坐标应取 = ，代入得其纵坐标为- .

综上所述，得||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标（ ，- ）.

四、焦点三角形

圆锥曲线上的一点与两焦点构成的三角形，称为焦点三角形，此三角形是圆锥曲线中的一个特殊图形，抓住这个特殊图形.应用正、余弦定理，再结合三角函数的有界性及其它性质可以使很多看似复杂的问题迎刃而解.

例8. 设P是离心率为 的椭圆b2x2+a2y2=a2b2（a>b>c）上一点，F1，F2为椭圆的两个焦点，若∠PF1F2=？琢，∠PF2F1=？茁，求tan +tan 的范围.

解析：设 |PF1|=m，|PF2|=n，|F1F2|=2c.

由 = = = = ，

得： = = ？圯sin？琢+sin？茁=2sin（？琢+？茁）？圯2sin cos =4sin cos ？圯tan +tan = ，∵tan >0，tan >0.

故tan +tan ≥2 = ，当且仅当？琢=？茁时等号成立.

例9. 椭圆 + =1的左焦点为F，直线x=m与椭圆相交于点A、B，当？驻FAB的周长最大时，？驻FAB的面积是        .

解析：画图，结合图得到？驻FAB的周长最大时对应的直线所在位置，即可求出结论.

如图，设椭圆的右焦点为E.由椭圆的定义得：？驻FAB的周长：

AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE.

∵AE+BE≥AB，∴AB-AE-BE≤0，当AB过点E时取等号.

∴AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a.

即直线x=m过椭圆的右焦点E时？驻FAB的周长最大，此时？驻FAB的高为：EF=2，直线x=m=c=1.把x=1代入椭圆 + =1得y=± ，∴AB=3.

∴当？驻FAB的周长最大时，？驻FAB的面积是 ×3×EF= ×3×2=3.

点评：我们使用数形结合的最高境界是“形”“数”互助.例如：AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE，把焦点三角形和圆锥曲线的定义结合起来，形成转化.

五、参变量范围中的数形结合

例10. 问实数p在什么范围内，关于x，y的方程组p+x+y=1，p2+x2+y2=1有实数解？

解析：由p+x+y=1，显然，点Q（x，y）在直线x+y+p-1=0上，取点P（0，0）由d≤|PQ|即 ≤ = ？圯3p2-2p-1≤0？圯- ≤p≤1.

即- ≤p≤1时，原方程组有实数解.

例11. 设直线l的参数方程为x=t，y=b+mt（t为参数），椭圆E的参数方程为x=1+acos？兹，y=sin？兹（a≠0，？兹为参数），问a，b应满足什么条件才能使得对于任意m值来说，直线和椭圆总有公共点.

解析：易得直线的普通方程为y=mx+b，椭圆的普通方程为 +y2=1.

由y=mx+b？圯am·（ ）-y+b+m=0，显然，点Q（ ，y）在直线amx-y+b+m=0上，取P（0，0），由d≤|PQ|即 ≤ =1？圯（a2-1）m2-2bm+1-b2≥0对任意m均成立.

因此，a2-1=0，b=0或a2-1>0，（-2b）2-4（a2-1）（1-b2）≤0？圯- ≤b≤ .

六、数形结合的综合应用

例12. 如果实数x，y满足等式（x-2）2+y2=3，求u= 的最大值.

解析：由u= ？圯ux-y=0，得u（x-2）-y+2u=0.

显然，点Q（x-2，y）在直线ux-y+2u=0上，取P（0，0），由d≤|PQ|即 ≤ = ？圯- ≤u≤ ，因此，u= 的最大值为 .

例13. 如果实数x，y满足 + =1，求（1）t=2x+y的最大值与最小值;（2）求t= 的最小值.

解析：（1）由t=2x+y？圯10·（ ）+4·（ ）-t=0，显然，点Q（ ， ）在直线10x+4y-t=0上，取P（0，0），由d≤|PQ|即 ≤ =1？圯-2 ≤t≤2 ，因此，t=2x+y的最小值为-2 ，最大值为2 .

（2）由t= ？圯t（x+5）-（y+1）=0？圯5t·（ ）-4·（ ）+5t-1=0.

显然，点Q（ ， ）在直线5tx-4y+5t-1=0上，取P（0，0），由d≤|PQ|即 ≤ =1？圯t≥- ，因此，t= 最小值为- .

例14. 已知|a|≤1，|b|≤1，且a +b =1，求a2+b2的值.

解析：由a +b =1.

显然，点Q（ ，b ）在直线ax+by=1上，取P（0，0），由d≤|PQ|即 ≤ = ，即（a2+b2）（2-a2-b2）≥1.

而（a2+b2）（2-a2-b2）≤[ ]2=1.

因此，（a2+b2）（2-a2-b2）=1，此时，a2+b2=2-a2-b2？圯a2+b2=1.

七、数与形对称转化的应用

例15. 如图，AB是平面？琢的斜线段，A为斜足，若点P在平面？琢内运动，使得△ABP的面积为定值，求动点P的轨迹.

解析：我们可以先猜想P点的轨迹是中学阶段常见的五种曲线之一.但是困难之处是不能建立适当的坐标系，因此，数量关系△ABP的面积为定值和几何图形缺乏联系.冷静的思考之后，我们注意到：等底等面积的三角形的第三个顶点的轨迹在平面内是两条AB与平行的直线.大多数同学不愿意把等底等面积的三角形的第三个顶点的运动情况放在空间中考虑.我们又注意到它是一个无上、下底的圆柱.这时你会发现这种“数”与“形”的对称关系很美！因为AB是平面？琢的斜线段，所以动点P的轨迹是椭圆.

点评：联想也是数学中的极高素养.从无形到有形，从平面到空间这是一种朴实的升华！

例16. 已知抛物线x2=4y，直线l：x-y-2=0.设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点. 当点P（x0，y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程.

解析：设A（x1，y1），B（x2，y2）（其中y1= ，y2= ），易知切线PA，PB的斜率分别为 x1， x2， 所以切线PA的方程为y-y1= （x-x1），即y= x- +y1，即x1x-2y-2y1=0，同理可得切线PB的方程为x2x-2y-2y2=0.

因为切线PA，PB均过点P（x0，y0），所以x1x0-2y0-2y1=0，x2x0-2y0-2y2=0.

所以（x1，y1），（x2，y2）为方程x0x-2y0-2y=0的两组解.

所以直线AB的方程为x0x-2y-2y0=0.

点评：解答本题需要很好的数学素养，是数形结合的极佳题材.值得仔细玩味！

跟踪练习：

1. 当0

A. 2   B. 2    C. 4   D. 4

2. AB为抛物线y=x2上的动弦，且|AB|=a（a为常数且a≥1），求弦AB的中点M离x轴的最近距离.

3. 点P是椭圆 +y2=1上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，A（2 ，0），则|PA|-|PF1|的最小值为________.

4. 已知双曲线 - =1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=4|PF2|，则双曲线的离心率e的范围为           .

答案：1. C;2.  a- ;3. -2;4.1

第六篇：数形结合思想在不等式中的应用

不等式广泛的联系性，决定了其求解的灵活性，其中，利用数形结合求解不等式问题即是常规又具新意，下面向你展示数形结合在不等式中的应用.

一、将条件中的数直接转化为形，利用数形结合

在不等式问题的求解中，有些问题条件中的数是可以直接转化为形的，这样就为数形结合的应用开了绿灯，请看：

例1. 在约束条件x≥0，y≥0，x+y≤s，y+2x≤4下，当3≤s≤5时，目标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是（  ）

A. [6，15]  B. [7，15]  C. [6，8]  D.[7，8]

解析：由x+y=s，y+2x=4？圯x=4-s，y=2s-4交点为B（4-s，2s-4），

又由直线x+y=s及y+2x=4得与坐标轴的交点为A（2，0），C（0，s），C′（0，4）.

（1）当3≤s≤4时可行域是四边形OABC，此时，7≤z≤8.

（2）当4≤s≤5时可行域？驻OAC′是此时， zmax =8故答案为D.

点评：线性规划是不等式中的特殊内容，这一内容涉及问题的解决方法都是数形结合，无论是试题中含有参数（例1）还是实际应用问题（例2），求解方法都是建立在条件中“数与式”的基础上，做出图形，结合图形产生最终结果.

二、转化条件中的数，然后利用数形结合

对条件中的数进行转化变形，对变形的结果进行分析、判断，这样可能一下子就找到了数与形的结合点.

例2. 实系数方程x2+ax+2b=0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2，求|a-2b-3|的取值范围.

解析：根据方程的实根分布，设f（x）=x2+ax+2b，则f（0）>0，f（1）<0，f（2）>0？圯b>0，1+a+2b<0，2+a+b>0易得满足此不等式组的点（a，b）在三角形ABC的边界及其内部，其中A（-3，1），B（-1，0），C像-2，0）.而|a-2b-3|= · ，由于 表示点（a，b）到直线l∶a-2b-3=0距离，由图像可知A点、B点到l的距离分别为最远和最近，即 ≤ ≤ 得4≤|a-2b-3|≤8.

故|a-2b-3|的范围为[4，8].

点评：与线性规划结合，求封闭区域上特殊式子的最值问题也是屡见不鲜的.比如：给出一个封闭区域还可以求x2+y2的最大及最小值、 的最大值及最小值等.这些问题无一例外的都是线性规划问题的创新点，求解时都要认真作出图形，利用数形结合进行分析、观察，然后产生结论.

例3. 已知正数a，b，c满足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则 的取值范围是              .

解析：条件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可化为：3· + ≥5， + ≤4， ≥e .设 =x，y= ，则题目转化为：已知x，y满足3x+y≥5，x+y≤4，y≥ex，x>0，y>0，求 的取值范围.

于是，作出（x，y）所在平面区域（如图）.求出y=ex的切线的斜率e，设过切点P（x0，y0）的切线方程为y=ex+m（m≥0），则 = =e+ ，要使它最小，须m=0.∴ 的最小值在P（x0，y0）处，为e.此时，P（x0，y0）在y=ex上A，B之间. 当（x，y）对应C点时，y=4-x，y=5-3x？圯5y=20-5x，4y=20-12x？圯y=7x？圯 =7，∴ 的最大值在C处取得，其值为7.

故 的取值范围为[e，7]，即 的取值范围是[e，7].

点评：本题初看无从下手，经过对条件进行转化，再适时的引入新的变量，相对于新变量问题变得异常清晰，求解当然也就方便了很多.

三、从条件中的数或式进行联想，然后利用数形结合

联想，是创造奇迹的前提，也许没有联想，奇迹还真的不易出现，观察条件中的式子特点，从这个特点出发展开联想，数形结合由此而生.

例4. 设a，b∈R，A={（x，y）|x=n，y=na+b，n∈N}，B={（x，y）|x=m，y=3m2+15，m∈N}，C={（x，y）|x2+y2≤144}是平面xOy面内的点集，讨论是否存在a和b使得：（1）A∩B≠？覬;（2）（a，b）∈C能同时成立.

解析：本题等价于是否存在实数a、b使na+b=3n2+15，a2+b2≤144有解.

由na+b-（3n2+15）=0，知点Q（a，b）在直线nx+y-（3n2+15）=0上，取P（0，0），由d≤|PQ|即 ≤ =12？圯（n2-3）2≤0？圯n2=3与n是正整数矛盾.

故满足条件的a，b不存在.

点评：本题的条件也许可以让我们隐隐约约地感觉到直线与圆的存在，于是，从直线与圆的位置关系角度展开联想、进行分析，最终完成求解.

例5. 设不等式组x>0，y>0，y≤-nx+4n（n≥1，n∈Z）所表示的平面区域为Dn的整点个数为an，则 （a1+a3+a5+…+a2015）=             .

解析：首先作直线y=-nx+4n，再结合x>0，y>0，可得可行域为如下图所示的三角形区域，显然，当x=1时，y=3n，此时整点的个数为3n;当x=2时，y=2n，此时整点的个数为2n;当x=3时，y=n，此时整点的个数为n.

故可行域内整点的个数为an=3n+2n+n=6n.

那么 （a1+a3+a5+…+a2015）= （6×1+6×3+…+6×2015）= ×6× ×1008=2016.

点评：本题的条件让我们可以看要首先作出可行域，然后再求整点的数量;稍留心会发现，整点其实就在三条直线x=1、x=2及x=3上，而在这三条线上的整点个数正好是3n、2n及n个;得到这三个数据之后，再求和就简单了.

四、从结论中的数或式进行联想，然后利用数形结合

从结论出发展开联想，也是我们常规分析问题的重要方法之一，有时结论会提供重要的解题信息，抓住这个信息，数形结合也许就此产生.

例6. 已知a，b∈R+且a+b=1，求证：（a+ ）2+（b+ ）2≥ .

证明：由a+b=1，显然，点Q（a，b）在直线x+y=1上，取点P（- ，- ），由d≤|PQ|即 ≤ ，由a，b∈R+得ab≤（ ）2= ？圯 ≥4，所以 = ≥ ，故（a+ ）2+（b+ ）2≥ .

点评：本题的结论（a+ ）2+（b+ ）2让我们联想到了两点间的距离，这一联想使思路还真的大开，结果一下子也就出现了.

例7. 实数a，b，c满足a+b+c=1，求证： + + ≥ .

证明：由a+b+c=1，显然，点Q（1，1）在直线ax+by+c-1=0上，取P（0，0），由d≤|PQ|即 ≤ ？圯 ≥ .

同理得： ≥ ， ≥ .

∴ + + ≥ + + ≥ = .

点评：本题结论中的 如果放在分母上，就可能出现点到直线的距离，于是，联想一下点到直线的距离，奇迹出现了.

五、分析函数图形，然后利用数形结合

一个不等式问题，仔细分析可以通过引入函数或者直接利用题目中的函数图形，借助这个图形产生结论.

例8. 函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），

（1）当b2>4a2时，f（-1）b？

（2）当a，b，c均为整数且方程f（x）=0在（0，1）内有两根，求证：|a|≥4.

解析：（1）由b2>4a2？圯- >1或- <-1，此时，f（x）在[-1，1]上单调.

由f（-1）b？圯f（x）>b或f（x）<-b，此时，必有f（1）>b或f（-1）<-b即a+c>0或a+c<0.

显然，a+c=0时，不存在;a+c≠0时，存在.

（2）设f（x）=0的两根分别为x1，x2，则0

由f（0）f（1）=a2x1x2（1-x1）（1-x2）≤a2（ ）2（ ）2= a2.

由于f（x）=0在（0，1）内有两根，因此f（0）>0，f（1）>0，又a，b，c均为整数，得f（0）≥1，f（1）≥1，则f（0）f（1）≥1，∴1≤ a2？圯|a|≥4.

点评：本题抓住函数的单调性与函数的零点分布，隐含的借助于图形，通过数形结合产生结论.

六、构造图形，利用数形结合

有些不等式问题通过构造一个图形，借助图形直观，结论可以一目了然的产生.

例9. 对于任意实数a，b，证证：（ ）2≤ .

证法一：由直线x+y=0过原点，因此点（a，b）到直线的距离不大于该点到原点的距离. ∴ ≤ ？圯（ ）2≤ .

证法二：设 =（a，b）， =（1，1），由于| · |≤| |·| |？圯|a+b|≤ · ？圯 ≤ ？圯（ ）2≤ .

证法三：构造如图所示的直角梯形ABCD，

AD=|a|，BC=|b|，AB=|a|+|b|，易知CD≥AB，

即 ≥|a|+|b|≥|a+b|，也就是：（ ）2≤ .

点评：本题涉及的不等式是基本不等式的重要变式，在很多问题的求解中都有很好的应用.其证明方法也很多，这里提供的三种方法都是构造图形，借助图形予以证明的.

例10. 设变量x、y、z在区间（0，1）中取值，试证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1.

证明：如图，正三角形ABC边长为1，设点A1、B1、C1分别在边BC、CA和AB上，且有AC1=x，CB1=y，BA1=z，则BC1=1-x，CA1=1-z，AB1=1-y.

S = x（1-y），S = y（1-z），S = z（1-y）.

S +S +S

即x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）<1，结论得证.

点评：本题直接证不好证明，由左边的轮换式可以联想到面积，由于变量x、y、z在区间（0，1）中取值构造一个边长为1的正三角形.将这些关系统一在一个不等式中，可得到如下简洁而优美的解法.

跟踪练习：

1. 已知两条直线l1∶y=m和l2∶y= （m>0），l1与函数y=

|log2x|的图像从左至右相交于点A，B，l2与函数y=|log2x|的图像从左至右相交于C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b当m变化时， 的最小值为（  ）

A. 16   B. 8   C. 8   D. 4

2. 已知实数x，y满足不等式组x2+y2≤4，x≥0，则z= 的值域为            .

3. 若0≤x≤1，0≤y≤1，试证： + + + ≥2 .

4. 设实数n≤6，若不等式2xm+（2-x）n-8≥0对任意x∈[-4，2]都成立，则 的最小值为                      .

答案：1. B;2. [ ，5];3. 提示：构造正方形即可;4. - .

第七篇：数形结合思想在平面向量中的应用

平面向量加法运算、减法运算、数乘运算、数量积等，既有几何意义又有代数意义.因此，在进行有关向量的运算时，将“数”与“形”有机地结合起来，有时数转化为形、有时是形转化为数，通过这种转化不仅可以产生结论，更重要的是有效地优化了运算过程，使结论既准又快地产生.

一、借助共线向量，应用数形结合

共线向量与共线时满足的基本关系式，正好是形与数的两个方面，显然，这两个方面的转化正是解此类问题的重要思路.

例1. 设I是？驻ABC的内心，AB=AC=5，BC=5，且 =m +n ，则m-n的值为            .

解析：如图，以BC所在直线为x轴，中垂线为y轴建立直角坐标系，由已知得A（0，4），B（-3，0），C（3，0），因为I是？驻ABC的内心且AB=AC，所以I在y轴上，设坐标为I（0，k），由于 =（3，4）， =（6，0），BI是∠ABC的平分线，因此 与 及 方向上的单位向量的和向量共线，即 =t（ + ），也就是（3，k）=t（ ， ）+t（1，0），得t= ，k= ，因此 =（0，- ），由（0，- ）=m（-3，-4）+n（6，0）解得m= ，n= 为所求.

点评：本题抓住共线向量与单位向量，很快完成了 的表示，当然，也就顺利地产生了所求的m，n的值.

例2. 若 ， 是两个不共线且起点相同的非零向量，问是否存在实数t，使 ，t ， （ + ）三向量的终点在同一直线上？若存在，请求出实数t;若不存在，请说明理由.

解析：若存在，则存在实数？姿使 -t =？姿[ - （ + ）]？圯（ ？姿-1） +（t- ） =0.

由于 ， 不共线，得 ？姿-1=0，t- =0？圯？姿= ，t= .

故存在t= 实数，使 ，t ， （ + ）三向量的终点在同一直线上.

点评：先假设结论存在，然后进行推理，出现矛盾，说明不存在，否则结论存在.这是求解探索性问题的常规思路;本题先假定三终点共线，产生“ -t =？姿[ - （ + ）]”，再结合 ， 不共线产生的值，从而肯定结论存在.

二、结合向量加减法的几何意义，应用数形结合

向量的加减法与平行四边形（或三角形）法则是向量基本运算的数与形两种类型，这两种类型的合理转化是求解与此相关问题的重要方法.

例3. 如图，平面内有三个向量 ， ， ，其中 与 的夹角为150°， 与 的夹角为60°，且| |=| |=1，| |=2.

若 =？姿 +？滋 （？姿，？滋∈R），则？姿2+？滋2的值为        .

解析：延长OA、OB与过C且平行于OB 、OA的直线交于D、E，由题意？驻OCD得为直角三角形，且∠COD=60°，∠OCD=90°，又| |=2.

那么OD= =4、CD=ODsin60°=2 ，于是？滋=4，？姿=2 ，从而？姿2+？滋2=28.

点评：本题借助于平行四边形的法则，通过画平行四边形，发现了一个直角三角形，通过这个直角三角形产生最终结论.

例4. O为平面内一点，A，B，C是平面上不共线的三点，动点P满足 = +？姿（ + ），？姿∈（0，+∞）则动点P的轨迹一定通过？驻ABC的（  ）

A. 重心   B. 垂心   C. 外心   D. 内心

解析：O点的位置不明确，联想到向量的减法. - = =？姿（ + ），由于 是 方向上的单位向量， 是 方向上的单位向量，设 = ， = ，则 = + ，即四边形ADPE为平行四边形，又| |=| |，则四边形ADQE为菱形，AQ平分∠BAC，由于 =？姿 ，即 ， 共线，故动点P的轨迹一定通过？驻ABC的内心，故选D.

点评：本题从向量的减法入手转化已知条件，巧妙地抓住两个单位向量，再利用向量的加法的平行四边形法则得到菱形，进一步促使问题解决.

三、将条件中的数转化形，应用数形结合

由于平面向量的特殊性，建立在向量式子的基础上联想可能涉及的图形或作出可能涉及的图形是完全可能的，通过这些图形产生问题的结论.

例5. 已知O点为？驻ABC内的一点，且 +2 +3 = ，则？驻AOB，？驻AOC，？驻BOC的面积之比为（  ）

A. 9∶4∶1   B. 9∶3∶1   C. 3∶2∶1   D. 3∶ ∶1

解析一：由 +2 +3 = ？圯 + =-2（ + ）？圯 =-2 ，则O，D，E共线且OE= OD.

于是S？驻COD=2S？驻COE，那么S？驻COA=2S？驻COB，又S？驻OAB=6S？驻OEB即S？驻OAB=3S？驻OCB.

故？驻AOB∶？驻AOC∶？驻BOC=3∶2∶1.

解析二：如图，以BC为x轴，B为原点建立直角坐标系，

设C（a，0），A（b，c），O（x，y），由 +2 +3 = .

得c-y-2y-3y=0？圯y= ，于是S？驻COB= · = （ a·c）= S？驻ABC.

再以A为原点，以AC为x轴，建立直角坐标系，

同理可得S？驻COA= S？驻ABC，故？驻AOB∶？驻AOC∶？驻BOC=3∶2∶1.

解析三：以O为原点，OC所在直线为x轴，建立直角坐标系，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，0）.

由 +2 +3 = ？圯x1+2x2+3x3=0，y1+2y2=0.

则S？驻COA= x3y1，S？驻COB= x3（-y2）= （ x3y1）= S？驻COA.

S？驻OAB= （x1-x2）（y1-y2）- （-x2）（-y2）- [（-y2）+（y1-y2）]·x1= （-x2y1+x1y2）= （-x2y1- x1y1）= y1（-2x2-x1）= x3y1= S？驻COA.

故？驻AOB∶？驻AOC∶？驻BOC=3∶2∶1.

点评：本题的三种解法都非常漂亮，这些解法产生的基础就是源于对条件中式子 +2 +3 = 的准确认识与合理应用.

四、将条件中的形转化数，应用数形结合

我们时常遇到结合图形的向量问题，此时，我们要注意将形的问题转化为数的问题，通过代数进行求解.

例6. 在Rt？驻ABC中，∠C=90°，AB=AC=2，⊙C是直径为2的圆，求 · 的最大值及此时 与 的关系.

解析：设∠ACM=？琢，则 与 的夹角为？琢， 与 的夹角为 -？琢，

由于 = + ， = + ，又∠C=90°，AB=AC=MN=2，

· =（ + ）·（ + ）= · + · + · + · =| |·| |cos？琢+| |·| |cos（ -？琢）+| |·

| |cos？仔=2cos？琢+2sin？琢-1=2 sin（？琢+ ）-1.

显然，当？琢+ = 即？琢= 时， · 有最大值，其值为2 -1;当取得最大值时， 与 平行.

点评：本题建立在形的基础上，通过引入辅助角？琢将问题巧妙地转化为三角问题，通过三角变换产生结论，这样我们就避免了形的探讨.

例7. 在平行四边形ABCD中，∠A= ，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足 = ，则 · 的取值范围是（  ）

A. [1，4]  B. [2，4]

C. [2，5]  D. [1，5]

解析一：如图，由已知AB=2，AD=1，∠A= 可得AD⊥BD.又因为 = 可得|CN|=2|BM|，若设

|BM|=x（0≤x≤1），

则|CN|=2x， =（1-x） ， =x ， · =1.

可知 · =（ + ）·（ + ）=（ +x ）·[ +（1-x） ]=1+x（1-x）+4（1-x）+x=-x2-2x+5=-（x+1）2+6.

在0≤x≤1时，为减函数，所以2≤ · ≤5，答案为[2，5]，选C.

解析二：本题也可通过建系来解决，将给出的长度关系转化为坐标关系：如图建立平面直角坐标系xDy，设

|BM|=a（0≤a≤1）.

则|CN|=2a，|DN|=2（1-a），故A（0，1），C（ ，

-1），

M（ ，-a）， =（ ，-a-1），

= +（1-a） =（0，-1）+（1-a）（ ，-1）=（ - a，a-2），

可得 · =-a2-2a+5=-（a+1）2+6，可知2≤ · ≤5.

点评：本题建立在形的基础上，要求 · 的取值范围，引入一个变量，将 · 的函数关系式写出，通过函数来求其范围.两种解法中无论哪种解法，都完成了一个由形向数的转化.

跟踪练习：

1. 如图，平面内有三个向量 ， ， ，其中 与 的夹角为120°， 与 的夹角为30°，且| |=2，| |= ，| |=2 ，若 =？姿 +？滋 （？姿，？滋∈R），则？姿，？滋的值为（  ）

A. ？姿=4，？滋=2

B. ？姿= ，？滋=

C. ？姿=2，？滋=

D. ？姿= ，？滋=

2. 如图，在矩形ABCD中，AB= ，BC=2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 · = ，则 · 的值是（  ）

A.

B.

C. 2

D. 2

3. 如图，O是？驻ABC内一点，∠AOB=150°，∠AOC=120°，向量 ， ， 的模分别为2，1，3，若 =m +n ，则实数m，n的值分别为（  ）

A. -3，-3

B. -3 ，-3

C. - ，-3

D. -3，-

4. 已知？驻ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足 =？姿 ， =（1-？姿） ，？姿∈R，若 · =- ，则？姿=（  ）

A.    B.    C.    D.

答案：1.C;2.A;3.C;4.A.

在数形结合法的学习中，我们还应进一步看到运算、证明的简捷化与严格化是密切相关的.因为数学中每一步真正的进步都与更有力的工具和更简单的方法的发展密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧的复杂的东西抛到一边.数学科学发展的这种特点是根深蒂固的.

（作者单位：中山市第一中学）

责任编校    徐国坚