分类讨论思想
2015-05-30 15:56:01李昭平
广东教育·高中 2015年2期
李昭平
我们知道，分类讨论是数学中一种重要的解题思想，是考生逻辑思维、理性思维能力高低的体现.有人说，会分类的人容易当上CEO，这很有道理.近几年的数学高考，无论是选择题、填空题，还是解答题，都非常重视对分类讨论思想的考查，不少试题具有背景新、结构新、解法新的特点，既关注数学主干知识的覆盖，又关注试题的效度、深度、难度和区分度，将分类水平层次不同的考生明显区分开来. 看来，学会了分类，不仅能大大提高数学解题能力，而且能为今后成为行业领军人物奠基.为了让大家更好、更系统地把握分类讨论思想，后面将从分类讨论思想概述、函数与导数中的分类讨论思想、三角与向量中的分类讨论思想、数列中的分类讨论思想、解析几何中的分类讨论思想、立体几何中的分类讨论思想、不等式中的分类讨论思想和概率统计中的分类讨论思想等八个方面予以介绍.
第一篇：分类讨论思想概述
一、分类讨论思想的含义
（1）分类讨论，就是对问题所给的对象不能进行统一研究时，要根据研究对象的性质差异，按某个标准分成各种情形，即分类，然后对每一类进行处理，最后综合各类结果得到整个问题的解答.它是解决数学问题的一种逻辑方法，也是一种数学思想.
（2） 分类讨论思想，实质上是 “化整为零，逐个击破”的解题策略.对问题实行分类与整合，确定分类标准后等于增加了一个条件，实施转化处理.将目标分解为一个个子目标，降低难度，最后通过反思整合，实现解题目标.
二、分类讨论的途径
（1）由参数不同取值分类，如函数f（x）=ax2+2x-a（a∈R）中可以是零、也可以不是零，需要分类.在函数与导数、数列与不等式中，这种分类居多.
（2）由概念内涵分类，如绝对值、直线的斜率、指数和对数函数、直线与平面所成的角等的定义中都包含了分类.
（3）由公式条件分类，如运用等比数列的前n项和公式时对q=1和q≠1分类、an与Sn的关系是“n=1时，a1=S1;n≥2时，an=Sn-Sn-1”，对n分类. 在数列、三角、平面向量中，这种分类居多.
（4）由图形的位置或形状分类，如半径为1，且与两坐标轴都相切的圆，有四种位置（圆心分别在第一、二、三、四象限），又如直角三角形ABC，可以分成∠A是直角或∠B是直角或∠C是直角. 在三角、平面向量、解析几何、立体几何中，这种分类居多.
（5）由实际意义分类，如“A、B两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：若掷出的点数之和是3的倍数，则由原掷骰子的人继续掷;若掷出的点数之和不是3的倍数，就由对方接着掷. 第一次由A开始掷，设第n次由A掷的概率为Pn，求Pn与Pn-1的关系.” 注意第n次由A掷应该有两种情况：①第n-1次由A掷，第n次继续由A掷，此时概率为 Pn-1= Pn-1; ②第n-1次由B掷，第n次由A掷，此时概率为（1- ）（1-Pn-1） = （1-Pn-1）由于这两种情况是互斥的，因此，Pn= Pn-1+ （1-Pn-1）， 即Pn=- Pn-1+ .在应用题、排列组合、概率统计、线性规划中，这种分类居多.
三、分类讨论的原则
（1）互斥性原则：每类之间不重复、不包含.
（2）无漏性原则：各种可能的情形一一考虑，没有遗漏.
（3）优化性原则：分类方式比较简单，遵循以简驭繁的要求.
四、分类讨论的四步曲
（1）选择分类对象，即对什么东西进行分类，明确讨论的对象.
（2）确定分类标准，即怎样分类，选择一个统一的标准，合理分类.
（3）深化分类层次，即每类中是否还要分类（二级分类），逐步讨论.
（4）总结概括结论，即对各类情况进行整合，得出整个问题的结论.
注意：（1）（2）（4）是必须步骤，（3）可能有也可能没有.
第二篇：函数与导数中的分类讨论思想
函数是贯穿于高中数学的一条主线，它的思想丰富、交汇性大、综合性强，绝对值函数、指数对数函数、幂函数、三角函数以及它们的复合型函数仍然是高考考查的重点.导数的引入，成为研究函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性、图像、极值、最值等性质的有力工具，拓宽了高考对函数问题的命题空间.近年来的高考中，函数与导数中的分类讨论问题，成为考查的热点、难点和创新点.
一、函数中参数的不同取值引起分类讨论
例1.“a≤0”是“函数f（x）=| x（ax+1） |在区间（-∞，0）内单调递减”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：作正反两个方面的推理.
充分性：当a=0时，f（x）在（-∞，0）内单减; 当a<0，x∈（-∞，0）时，f（x）=-ax2-x，f（x）在（0，+∞）内单减. 所以a≤0是f（x）在（-∞，0）内单减的充分条件.
必要性：当a=0时，f（x）=-x在（-∞，0）内单减;当a<0时，f（x）在（-∞，0）内单减;当a>0时，f（x）在（-∞，- ），（- ，0）内单减，在（- ，- ）内单增. 所以a≤0是f（x）在（-∞，0）内单减的必要条件. 正确答案是C.
点评：本题主要考查逻辑语言、绝对值函数的单调性判断、分类讨论思想和数形结合思想.这里，充分性的讨论，从“a≤0”出发，分成a=0和a<0两类. 必要性的讨论，必须分成a=0、a<0和a>0三类讨论. 本题不涉及到二级分类.
二、导函数中参数的不同取值引起分类讨论
例2. 设函数f（x）=a（2x-1）+（2a2+1）lnx， a∈R.
（Ⅰ）讨论f（x）在其定义域上的单调性;（Ⅱ）判断f（x）在 ，1上的零点个数.
解析：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）， f′（x）=2a+ = .
令f′（x）=0，得2ax+2a2+1=0.（1）若a≥0，则f′（x）= >0，此时f（x）在定义域（0，+∞）上单增.（2）若a<0， 则x=-a- ，此时f（x）在（0，-a- ）上单增，在（-a- ，+∞）上单减.
（Ⅱ）f（1）=a，f（ ）=-（2a2+1）ln2.
（1）若a=0，则f（1）=a=0，f（ ）=-ln2<0. 而f（x）在 ，1上单增，所以f（x）在 ，1上只有一个零点1. （2）若a>0，则f（1）=a>0，f（ ）=-（2a2+1）ln2<0. 而f（x）在 ， 1上单增， 所以f（x）在 ，1上只有一个零点x0∈ ，1.（3）若a<0，则f（1）=a<0，f（ ）=-（2a2+1）ln2<0. 而x=-a- ≥ ， f（x）在 ，1上单增，此时f（x）在 ，1上没有零点.
点评：本题主要考查函数的求导法则和求导公式，利用导数这个工具来判断函数的单调性和零点个数，并考查分类讨论思想、逻辑推理能力和运算求解能力. 第一问入手易，但第二问对字母a的讨论较难. 对字母a的讨论不全面或不知如何讨论是失分的主要原因. 从难度、新颖性、综合性、运算量和思维力等几个方面来看，此题是一道解法基础、体现导数应用和注重考查分类讨论思想的好题.
这里x>0， f′（x）= . 值的符号与分子有关. 解2ax+2a2+1>0时必须两边除以2a，自然引起对a=0，a>0，a<0三种情况的讨论. 在（Ⅱ）中考察闭区间 ，1上的零点个数，必须依赖于第（Ⅰ）问的函数的单调性，仍然要分成a=0，a>0，a<0三类. 本题没有涉及到二级分类.
三、对绝对值函数中绝对值的零点的大小引起分类讨论
例3. 若函数f（x）=| x+1| + | 2x+a |的最小值为3，则实数a的值是 .
解析：由| x+1|=0，得x=-1;由| 2x+a |=0，得x=- .
当-1≤- ，即当a≤2时，f（x）在x=- 处取得最小值，此时f（- ）=| - +1| + | 2（- ）+a |=1- =3，解得a=-4. 适合a≤2.
当-1>- ，即a>2时，f（x）在x=- 处取得最小值，此时f（- ）=| - +1| + | 2（- ）+a |= -1=3， 解得a=8. 适合a>2.
故实数a 的值为-4或8.
点评：本题主要考查含参数的绝对值函数的最值，以及分类讨论思想、逻辑推理能力和运算求解能力，有一定的难度. 这里| x+1| 和 | 2x+a |的零点-1和- 的大小不定，与a的取值有关，因此要对a分类讨论. 从-1<- ，-1=- ，-1>- ，综合成a≤2和a>2两种情况，数形结合得到方程求a的值.本题不涉及到二级分类.
四、导函数的零点与区间位置关系引起分类讨论
例4. 设函数f（x）=1+（1+a）x-x2-x3， 其中a>0. 当x∈[0， 1]时，求f（x）取得最大值和最小值时的x的值.
解析：f（x）的定义域为R，f′（x）=1+a-2x-3x2. 令f′（x）=0，因为a>0，解得x1= ，x2= ，所以f（x）在（-∞， ）和（ ，+∞）内单减，在（ ， ）内单增.
因为x1<0，x2>0，所以只要考察x2与区间[0， 1]的位置关系.
（1）由x2≥1，得 a≥4， 此时f（x）在[0， 1]内单增， 所以f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值.
（2）由x2<1，得0 又f（0）=1，f（1）=a，所以当0 点评：本题主要考查幂函数的求导法则和求导公式，利用导数求函数最值的基本知识和基本技巧，需要较强的逻辑推理能力和运算求解能力，尤其要善于分类讨论. 这里应考虑x2= 与所给区间[0， 1]的位置关系，显然位置关系与字母a的取值有关，因此选择对字母a进行分类讨论.因为x2= >0，所以x2与区间[0， 1]的位置关系有两种：x2在区间[0， 1]右边和内部，即x2≥1或x2<1. 由此解不等式得到，分成a≥4和0 五、不等式中系数的取值引起分类讨论 例5. 若对任意实数x，函数f（x）=sin4x-tsin2x-2的图像恒在x 轴下方，则实数t 的取值范围是（ ） A. （-1，+∞） B. [-1，+∞） C. （1，+∞） D. [1，+∞） 解析：对任意实数x，函数f（x）=sin4x-tsin2x-2的图像恒在x 轴下方，即不等式sin4x-tsin2x-2<0对于任意实数x恒成立，亦即tsin2x>sin4x-2对任意x∈R恒成立. ①当sinx=0时，0>-2，不等式成立，所以t∈R. ②当sinx≠0时，由于sin2x>0，所以t>sin2x- . 问题转化为求t大于函数g（x）=sin2x- 的最大值问题. 令sin2x=m，0 综合①②可知，t>-1. 正确答案是A. 点评：本题主要考查三角恒成立不等式、换元法求函数的最值、正弦函数的有界性和分类讨论的思想， 综合性较强，有一定的难度.这里对不等式tsin2x>sin4x-2中t的系数sin2x是否为零进行分类讨论，分成sinx=0和sinx≠0两类.对于含有参数的三角恒成立不等式，用常规方法往往不易求解，分离变量是一种有效途径. 分离变量法是将不等式中的参数（t）与未知数（x）分离出来，得到g（t）>f（x）或g（t） 六、函数零点个数的多少引起分类讨论 例6. 若函数f（x）=x2+（m-1）x+1在区间（0， 2）内有零点，求实数m的取值范围. 解析：①当在区间（0， 2）内有两个零点时，应满足（m-1）2-4>0，0<- <2，f（2）=4+2（m-1）+1>0，解得 - ②当在区间（0， 2）内只有一个零点时， 有两种情况：f（0）·f（2）<0或？驻=（m-1）2-4=0. 由f（0）·f（2）<0，得由？驻=（m-1）2-4=0，得m=3或m=-1. 但m=3时，f（x）=x2+2x+1，零点-1？埸（0， 2），不符合，舍去. m=-1时，f（x）=x2-2x+1，零点1∈（0， 2），符合题意. 综合①②知，实数m的取值范围是m≤-1且m≠- . 点评： 本题主要考查含函数的零点、零点存在定理、解方程和解不等式等相关知识，并考查数形结合思想和分类讨论思想. 这里函数f（x）=x2+（m-1）x+1在区间（0， 2）内有零点，要分类讨论零点的个数，否则会得出错误答案（常常由f（0）·f（2）<0得到m<- ）.由于二次函数最多两个零点，因此只有“两个零点”和“一个零点”两种情况. 在“一个零点”中，又分f（0）·f（2）<0或？驻=（m-1）2-4=0两种情形，涉及到二级分类.要特别注意将m=3或m=-1代回方程检验. （作者单位：安徽省太湖中学） 第三篇：三角与向量中的分类讨论思想 陈俊国 三角与向量问题一直是高考考查的重点内容之一. 在角的位置、三角函数的零点分布、解三角形、向量线性运算、参数变化等问题中恰到好处地使用分类讨论思想，将能快速、有效地解决问题. 一、角的位置变化问题中的分类讨论 例1. 已知角？琢终边上一点P到x轴距离与其到y轴距离之比为3︰4，则2sin？琢+cos？琢= . 解析：依题意知，tan？琢=± ，sin？琢=± ，cos？琢=± . 角？琢可以在第一、第二、第三和第四象限内. 当？琢为第一象限角时，2sin？琢+cos？琢=2;当？琢为第二象限角时，2sin？琢+cos？琢= ;当？琢为第三象限角时，2sin？琢+cos？琢=-2;当？琢为第四象限角时，2sin？琢+cos？琢=- . 综上，2sin？琢+cos？琢=± 或±2. 点评：本题要对角？琢所在的象限进行分类讨论，有四种情况. 二、三角函数零点问题中的分类讨论 例2. 函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 解析：由f（x）=xcosx2=0，得x=0或cosx2=0. 当x=0时， f（0）=0，∴ x=0是函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的一个零点. 当cosx2=0时，∵ 0 则k=0，k=1，k=2，k=3，k=4，对应角分别为 ， ， ， ， 均满足条件，当k=5时， >16不满足条件. 综上，函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为6个， 故选C. 点评：在这类问题的分类讨论中切忌讨论不全面导致漏解. 三、三角形形状问题中的分类讨论 例3. 设a，b，c，m∈R+且满足am=bm+cm，问m取何值时，以a，b，c，为边可构成三角形，并判断三角形的形状. 解析：显然a>b，a>c. （1）当0 a=am·a1-m=（bm+cm）·a1-m=a1-mbm+a1-mcm≥b1-mbm+c1-mcm=b+c， 此时以a，b，c为边不能构成三角形，故当m>1时，a，b，c为边可构成三角形. （2）当m>1时，仿上可得a ①若0 ②若m=2，a2=b2+c2，此时以a，b，c为边构成直角三角形. ③若m>2，可得a2 点评：本题先将m分成0 四、平面向量问题中的分类讨论 例4. 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足| |=| |= · =2，则点集{P | =？姿 +？滋 ，| ？姿 |+| ？滋 | ≤1，？姿， ？滋∈R}所表示区域的面积是（ ）. A. 2 B. 2 C. 4 D. 4 解析：由| |=| |= · =2 ，得∠AOB=60°. （1）当？姿∈[0，1]是定值，0≤？滋≤1，且？姿+ ？滋≤1时，点P 的轨迹是？驻OAB中平行于OB的线段MN. （2） 当让？姿和？滋都变化起来，即0≤？姿≤1，0≤？滋≤1时， 线段MN不但作平行运动，而且保持点M、 N分别在线段OA与AB上，线段MN扫过的区域就是？驻OAB. 因此，从运动变化的观点可以看出，当0≤？姿≤1，0≤？滋≤1时，点集{P | =？姿 +？滋 ，| ？姿 |+| ？滋 |≤1，？姿， ？滋∈R}所表示的区域是？驻OAB. 根据对称性，不难得出所求面积为上图中矩形ABCD的面积S矩形ABCD=4S？驻OAB=4 . 故选答案D. 点评：在这个问题中，讨论（1）中让？姿固定（静），？滋变化（动），讨论（2）中？姿与？滋均变化（动），这样动静结合地分类讨论解题，十分精彩. 五、三角最值问题中的分类讨论 例5. 设a为实常数，求函数y=sin2x-acosx+1的最小值g（a）. 解析：y=sin2x-acosx+1=1-cos2x-acosx+1=-（cosx+ ）2+2+ . 令cosx=t，则y=-（t+ ）2+2+ ，其中-1≤t≤1. 由于抛物线的对称轴是t=- ，所以要对字母a进行分类讨论. （1）当- <-1，即a>2时，在t=1时，y取最小值-（1+ ）2+2+ =1-a. （2）当-1≤- <1，即-2 ①若-1≤- <0，即0 （3）当在- ≥1，即a≤-2时，在t=-1时，y取最小值-（-1+ ）2+2+ =1+a. 综上，g（a）=1-a， a>01+a. a≤0 点评：本题转化为关于cosx的二次函数问题，要对待定字母a分类讨论. 这里以对称轴t=- 与区间[-1，1]的位置关系为标准，对称轴t=- 在区间[-1，1]左边、在区间[-1，1]内、在区间[-1，1]右边. 第二类对称轴t=- 在区间[-1，1]内的情况下，还要兼顾二次函数图像的位置，又分成两类，是二级分类. （作者单位：安徽省太湖中学） 第四篇：数列中的分类讨论思想 罗华根 记得《非诚勿扰》里开始有这样一个画外音：世界上无处不存在分歧、矛盾，当这些分歧、矛盾不能得到妥善处理的时候，世界就不太平了，人与人之间的口角、斗殴，国与国之间的离间、战争便开始了. 其实数列也是如此，数列里也有许许多多的矛盾需要去分类处理.本文就分类讨论思想在数列中的应用做了一些整理，供大家参考. 一、等比数列的公比引起分类讨论 例1. 设等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn>0（n=1，2，…）. （1）求q的取值范围; （2）设bn=an+2- an+1，记{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn与Tn的大小. 解析：（1）因为{an}是等比数列，Sn>0，可得a1=S1>0，q≠0. 当q=1时，Sn=na1>0;当q≠1时，Sn= >0，即 >0. （n=1，2，…） 上式等价于不等式组：1-q<0，1-qn<0（n=1，2，…）……① 或1-q>0，1-qn>0（n=1，2，…） ……② 解①式得q>1;解②，由于n可为奇数、可为偶数，得-1 综上，q的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞）. （2）由bn=an+2- an+1得bn=an（q2- q），Tn=（q2- q）Sn. 于是Tn-Sn=Sn（q2- q-1）=Sn（q+ ）（q-2）. 又∵ Sn>0且-1 点评：本题在比较Tn与Sn的大小时，用作差比较法，由于第一问q的范围直接对差的符号有影响，所以依旧需要根据公比的大小进行分类讨论. 二、公式“an =Sn-Sn -1”的条件引起分类讨论 例2. 数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn= -（- ）n+2，求数列{an}的通项公式. 解析：当n=1时，a1=S1= -（- ）3= . 当n≥2时，an=Sn-Sn-1= ×（- ）n+1，并且，当n=1时， ×（- ）2 = ≠ . ∴ an= ，（n=1） ×（- ）n+1.（n≥2） 点评：本题利用公式“an=Sn-Sn-1”处理，但忽视了条件“n≥2”. 一般地有an=Sn-Sn-1，（n≥2）S1， （n=1）此公式体现了an与Sn之间的关系，是数列问题的一条主线，要切实把握其中的分类讨论. 公式an=Sn-Sn-1中隐含着限制条件n≥2，n∈N？鄢，所以当a1符合an（n≥2，n∈N？鄢）的表达式时可合并为一个式子;当a1不符合an（n≥2，n∈N？鄢）的表达式时，就要分段来表示. 三、等差数列的公差引起分类讨论 例3. 设等差数列a1，a2，…，an，…中的每一项都不为0. 证明：对任何n∈N？鄢，都有 + +…+ = . 解析：设数列{an}的公差为d. 若d=0，则a1=a2=a3=…=an，所以左边= + + +…+ = =右边，等式成立. 若d≠0，则 + +…+ = （ + +…+ ）= [（ - ）+（ - ）+…+（ - ）]= （ - ）= · = . 综上， 对任何n∈N？鄢， 都有 + +…+ = . 点评：本题是利用裂项相消求和法. 在运用裂项公式 = · 时，未知量公差d在分母中，此时需要d≠0，因此要分d=0和d≠0两类讨论. 四、数列的奇偶项引起分类讨论 例4. 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn-Sn-2=3（- ）n-1（n ≥3）， 且S1=1，S2=- ，求数列{an}的通项公式. 解析：先考虑偶数项有：S2n-S2n-2=3·（- ）2n-1=-3·（ ）2n-1， S2n-2-S2n-4=3·（- ）2n-3=-3·（ ）2n-3……S4-S2=2·（- ）3=-3·（ ）3. ∴ S2n=S2-3[（ ）2n-1+（ ）2n-3+…+（ ）3]=-3[（ ）2n-1+（ ）2n-3+…+（ ）3+ ] =-3· =-4[ - ·（ ）n]=-2+（ ）2n-1（n≥1）. 同理考虑奇数项有：S2n+1-S2n-1=3（- ）2n=3·（ ）2n. S2n-1-S2n-3=3·（- ）2n-2=3·（ ）2n-2……S3-S1=3·（- ）2=3·（ ）2. ∴ S2n+1=S1+3[（ ）2n+（ ）2n-2+…+（ ）2]=2-[（ ）2n（n≥1）. ∴ a2n+1=S2n+1-S2n=2-（ ）2n-[-2+（ ）2n-1]=4-3·（ ）2n（n≥1）. a2n=S2n-S2n-1=-2+（ ）2n-1-[-2-（ ）2（n-1）]=-4+3·（ ）2n-1（n≥1）. a1=S1=1. 综上可得，an=4-3·（ ）n-1， n为奇数-4+3·（ ）n-1. n为偶数 点评：本题在应用递推公式时要注意左边Sn，Sn-2的脚码，如果对项数不分奇偶数讨论，叠加会很麻烦，甚至无法求和，所以分奇、偶数讨论是必须的.本例在求数列通项公式时，因为递推公式中（- ）n-1的符号影响导致对项数的分类. 五、问题中的参数引起分类讨论 例5. 设b∈R，数列{an}的前n项和Sn=3n+b，试判断{an}是否是等比数列？并说明理由. 解析：a1=S1=3+b， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（3n+b）-（3n-1+b）=2·3n-1. 当b=-1时，a1适合an=2·3n-1;当b≠-1时，a1不适合an=2·3n-1. 故当b=-1时，an=2·3n-1，n∈N？鄢，此时{an}是等比数列; 当b≠-1时，an=3+b，n=12·3n-1， n≥2此时{an}不是等比数列. 点评：本题中参数b的值影响着a1的值，进而影响着数列的通项公式. 因此需要对参数b分类讨论，并以a1的值是否满足an=2·3n-1为标准. 六、去绝对值引起分类讨论 例6. 已知等差数列{an}中，a5=12，a20=-18. 求数列{| an |}的前n项和Sn. 解析：因为a20-a5=（20-5）d，d=-2，所以a5-a1=4d，a1=20. 于是an=a1+（n-1）d=20-2（n-1）=-2n+22. 因为an=-2n+22，n≤112n-22. n>2 ∴ n≤11时，Sn=20+18+…+（-2n+22）= =（21-n）n; n>11时，Sn=S11+2+4+…+（2n-22）=110+ =n2-21n+220. 综上，Sn=（21-n）n，n≤11n2-21n+220. n>11 点评：本题求和时出现了绝对值符号，去掉绝对值符号必须分段讨论. 而| -2n+22 |中项数的值影响-2n+22的正负，以-2n+22≥0和-2n+22<0为标准分类讨论. 数列中的分类讨论在许多情况下并不是自身产生的，而是试题载体引起的.比如这里的绝对值带来的讨论，在解题过程中要引起注意. （作者单位：安徽省太湖中学） 第五篇：解析几何中的分类讨论思想 汪娟娟 平面解析几何借助平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题.此类问题既有代数计算也有几何直观，其中涉及到分类讨论的问题不少. 分类讨论通常由以下几个方面的原因引起：一是数学概念、法则、公式、定理、性质有适应性范围或限制性条件;二是几何位置关系的变化;三是参数的变化.所以解题时我们要弄清原因，根据对象确定统一的分类标准，适时分层展开讨论，做到不重不漏. 一、直线斜率是否存在引起分类讨论 例1. 已知定圆A： （x+ ）2+y2=16的圆心为A，动圆M过点B（ ， 0），且和圆A相切，动圆的圆心M的轨迹记为C. （1）求曲线C的方程;（2）若点P（x0 ， y0 ）为曲线C上一点，试探究直线l：x0x +4yy0-4y0=0与曲线C是否存在交点？ 若存在，求出交点坐标;若不存在，请说明理由. 解析：（1）圆A的圆心为A（- ， 0），半径r1=4. 设动圆M的圆心M（x ， y ）为半径为r2， 依题意有r2=| MB |. 由| AB |=2 ，可知点B在圆A内，从而圆M内切于圆A，故| MA |=r1-r2，即| MA |+| MB |=4，所以点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆. 设椭圆方程为 + =1. 由2a=4，2c=2 可得a2=4，b2=1. 故曲线C的方程为 +y2=1. （2）当y0=0时，由 +y0 2=1可得x0=±2. 此时直线l的方程为x=0，与曲线C有两个交点（0，1）， （0，-1）. 当y0≠0时，直线l的方程为y= ，联立方程组y= ， +y2=1，消去y，得 （4y0 2+x0 2）x2-8x0y0x=0……①. 由点P（x0 ， y0）为曲线C上一点，得 +y0 2=1，可得4y0 2+x0 2=4. 于是方程①可以化简为4x2-8x0y0x=0. 解得x=0或x=2x0y0. 将x=0代入方程y= 可得y=1;将x=2x0y0代入方程y= 可得y= . 显然y0=0时，y=-1. 综上， 直线l与曲线C总有两个交点（0，1）， （2x0y0， ）. 点评：本题中直线x0x+4yy0-4y0=0的斜率是否存在，依赖于y0是否为零，必须分类讨论，否则无法解方程组 +y0 2=1，x0x+4yy0-4y0=0.在处理直线方程问题时，要注意直线方程各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在;而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线;截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零;若采用点斜式，应讨论斜率不存在和存在两种情况. 二、图形的形状不定引起分类讨论 例2. 抛物线y2=4px（p>1）的焦点为F，P为其上的一点，O为坐标原点，若△OPF为等腰三角形，则这样的P点的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 解析：由于本题只说明△OPF为等腰三角形，但是没有明确三角形的顶点，因此应进行分类讨论. （1）当| PO |=| PF |时，点P在线段OF的中垂线上，此时，点P的位置有两个; （2）当| OP |=| OF |时，点P的位置也有两个; （3）当| FO |=| FP |时，点P不存在. 事实上，F（p，0），若设P（x， y），则| FO |=p，| FP |= ，若 =p，则有x2-2px+y2=0. 又∵ y2=4px，∴ x2+2px=0，解得x=0或x=-2p. 当x=0时，不构成三角形;当x=-2p时，与点P在抛物线上矛盾. 所以符合要求的点P一共有4个. 选答案C. 点评：本题中△OPF为等腰三角形， 分| PO |=| PF |、 | OP |= | OF |、| FO |=| FP |三种情况讨论. 解析几何中有很多的图形位置是不定的，如圆锥曲线包含椭圆、双曲线和抛物线，直线和圆锥曲线有相离、相切和相交三种情形，椭圆的焦点可以在横轴上、也可以在纵轴上，抛物线的焦点可以分别在横轴、纵轴的正负半轴上，直角三角形ABC中角A、B、C可以分别为直角，等等. 解题时，要对几何要素认真分析，确定分类标准，依次进行，不遗漏. 三、参数的变化引起分类讨论 例3. 平面内与两定点A1（-a， 0），A2（a， 0）（a>0）连线的斜率之积等于常数m（m≠0）的点的轨迹，连同A1，A2两点所形成的曲线为C. 求曲线C的方程，并说明C的形状. 解析：设动点m的坐标为（x， y）. = · = =m， 当x≠±a时，由条件可得： 即mx2-y2=ma2（x≠±a）. 而A1（-a， 0），A2（a， 0）（a>0）的坐标满足mx2-y2=ma2， 故曲线C的方程为mx2-y2=ma2，即 + =1. 若m<0， （1）当a2<-ma2，即m<-1时，曲线C是焦点在y轴上的椭圆;（2）a2<-ma2，即m=-1时，C的方程为x2+y2=a2，曲线C是圆心在原点、半径为a的圆;（3）当a2>-ma2，即-1 若m>0，曲线C的方程为 - =1，是焦点在x轴上的双曲线. 点评：本题求曲线C的方程时，对直线的斜率进行了分类讨论（x≠±a和x=±a）. 在得到 + =1后，发现参数m的取值影响a2与-ma2的大小和-ma2的正负，进而分m<0和m>0两类讨论. 在m<0中又分三类讨论，确定曲线形状.由于圆、椭圆、双曲线、抛物线的方程都是二元二次方程，所以参数在不同范围取值时，对应的曲线也会不同. 我们要合理分类，深化层次，才能得到正确的结论. 四、动点坐标不定引起分类讨论 例4. 过抛物线y2=4x的焦点F作直线与此抛物线相交于两点P和Q，求线段PQ中点的轨迹方程. 解析：设线段PQ的两个端点的坐标分别为P（x1，y1），Q（x2， y2），中点M的坐标为（x， y）. 则y1 2=4x1，y2 2=4x2，F（0，1），y1+y2=2y. 两式整体相减，得4（x1-x2）=（y1+y2）（y1-y2）. （？鄢） （1）当x1≠x2时，y· =2. 而 = ，所以y· =2，即y2=2（x-1），x1≠1. （2）当x1=x2时，PQ⊥x轴，中点M（1，0）适合y2=2（x-1）. 综上，线段PQ中点的轨迹方程是y2=2（x-1）. 点评：本题中动点P（x1，y1），Q（x2， y2）的坐标在变化，在得到（？鄢）后，两边除以（x1-x2）时，必须分x1≠x2和x1=x2两类讨论.动点引出动线、动轨迹、动图形，使得解析几何问题丰富多彩.对动点坐标的讨论、范围的确定、对轨迹图形的影响成为处理解析几何问题的重点和难点. （作者单位：安徽省太湖中学） 第六篇：立体几何中的分类讨论思想 徐河水 立体几何中的问题始终与几何量的度量关系和位置关系有关.因此，立体几何中的分类讨论也离不开几何量的度量关系和位置关系.在立体几何问题中，引发分类讨论的因素，主要有：⑴图形形状;⑵图形位置;⑶图形大小;⑷构图形式;⑸条件或结论的不唯一性.下面予以介绍. 一、图形形状的分类讨论 例1. 在空间四边形ABCD中，AC=BD=a，AC与BD所成的角为60°，M、N分别为AB、CD的中点，则线段MN的长度等于 . 解析：如图，取BC中点E，连接ME、NE. 由已知，得ME∥AC，NE∥BD. 因为AC与BD所成的角为60°，所以∠MEN=60°或∠MEN=120°. ⑴若∠MEN=60°， 因AC=BD=a，所以ME=NE= a，即为？驻MEN等边三角形，故MN= a. ⑵若∠MEN=120°，因AC=BD=a，所以ME=NE= a，即？驻MEN是顶角为120°的等腰三角形，易得MN= = a. 综上，线段MN的长度等于 a或 a. 点评：两直线所成角的意义与三角形内角的概念是引发讨论的原因. 二、 图形位置的分类讨论 例2. 空间一点P到二面角？琢-l-？茁的两个面的距离分别是1和 ，到棱的距离是2，求二面角的大小. 解析：设PA⊥？琢于A，PB⊥？茁于B，则PA=1，PB= ，PA⊥l，PB⊥l，所以l⊥平面PAB. 设平面PAB与l交于点C，则∠ACB为二面角？琢-l-？茁的平面角，且PC⊥l，PC=2. 因此，在Rt？驻PBC中，∠PCB=45°;在Rt？驻PAC中，∠PCA=30°.（1）当P在∠ACB内部时，∠ACB=45°+30°=75°;（2）当P在∠ACB外部时，∠ACB=45°-30°=15°. 故二面角？琢-l-？茁的大小为75°或15°. 点评：P为空间的一点，所以要考虑P点在二面角内部和外部两种情况. 三、 图形大小的分类讨论 例3. 若四面体各棱长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的可能值构成的集合为 . 解析：根据长为1和2的棱的条数可以划分为符合题意的以下三种情况： （1）长为2的棱5条，如图1所示;其体积等于 ;（2）长为2的棱4条，如图2所示;其体积等于 ;（3）长为2的棱3条，如图3所示;其体积等于 ; 综上，体积的可能值构成的集合为 ， ， . 点评：根据长为1和2的棱的条数和“不是正四面体”的条件，分为三类. 四、构图形式的分类讨论 例4. 在正方体木块ABCD-A1B1C1D1的表面上有一动点P由顶点A出发，按照下列规则向点C1移动：⑴点P只能沿着正方体木块的棱或表面对角线移动;⑵点P每一变化位置，都使点P到点C1的距离缩短. 则动点P的不同运动路线条数为 . 解析：动点P的不同运动路线可分为两类： ⑴点P沿着正方体木块的一条棱和一条表面对角线移动，有A→B→C1，A→A1→C1，A→D→C1，A→B1→C1，A→C→C1，A→D1→C1，有6种情况; ⑵点P沿着正方体木块的三条棱移动，有A→B→B1→C1，A→B→C→C1，A→D→C→C1，A→D→D1→C1，A→A1→B1→C1，A→A1→D1→C1，有6种情况; 故共有12条线路. 点评：动点P的运动路径应根据图形特征确定，保证分类全面、独立. 五、条件或结论的分类讨论 例5. 设直线a上有6个点，直线b上有9个点，在这15个点中任取3点，能确定不同平面的个数为 . 解析：当直线a、b共面时，确定1个平面;当直线a、b不共面时，由不共线三点确定一个平面知，可以确定不同平面15个. 综上，可以确定平面1个或15个. 点评：对空间两条直线a、b，要考虑共面和不共面两种情形. 练习题： 1. 一圆柱的底面半径为R，上底面的一条弦CD长度为a（0 解析：设过点A和弦CD的截面为ACDE（其中AC、DE是两弧线），则CD∥AE，∴ ∠BAE即为CD和AB所成的角，∠BAE=60°. 设CD的中点为M，AE的中点为N，过M作垂直MP于下底面O于P，连结MN、OP、ON、O1M，易证O、P、N三点共线. ∵ MP⊥下底面O，PN⊥AE，由三垂线定理得MN⊥AE， ∴ ∠MNP是截面与底面所成二面角的平面角，∠MNP=45°， 因此，在Rt？驻MNP中，MP=NP. （1）若O、P在N同侧O且在N、P之间，则圆柱的高 h=MP=NP=ON+OP=ON+O1M= R+ . （2）若O、P在N同侧且P在N、O之间，（此时R （3）若O、P在N异侧，（此时0 综上，当R 当0 2. 设两条直线a、b是异面直线，它们的距离是2，所成角为60°. 现在两条直线上各有一点，它们距离公垂线的垂足都是10，求这两点的距离. 解析：过N作直线a′∥a，设直线a′和b确定平面？琢，则MN⊥平面？琢. 过A作AH⊥a′于H，易证AH⊥平面？琢，MNHA为矩形. ∵异面直线a、b所成角为60°， 在？驻BNH，BN=NH=10，∠BNH=60°或∠BNH=120°. （1）当∠BNH=60°，则BH= =10， ∴ AB= =2 . （2）当∠BNH=120°，则BH= =10 . ∴ AB= =4 . 3. 线段AB∥平面M，从A、B分别引AB的垂线而和平面M成30°和60°角，已知AB=1，平面M内这二斜足间距离为2. 求AB和平面M的距离. 解析：如图，设A、B在M内的射影分别为C、D，易得ACDB是矩形. 设AC=DB=h为AB到平面M的距离. 记平面M的两条斜线分别为AA1、BB1，A1、B1为斜足. 则∠AA1C=30°，∠BB1D=60°. ∵ AA1⊥AB，CD∥AB，∴ AA1⊥CD，∴ A1C⊥CD，同理B1D⊥CD. 在平面M内作B1E⊥CD交A1C于E点，则CDB1E为矩形，∴ B1E=CD=AB=1， 在Rt？驻ACA1中A1C=hcot30°= h;在Rt？驻BDB1中B1D=hcot60°= h. （1）当A1、B1在直线CD的同侧时，A1E=A1C-EC= h- h= ？圯h= . （2）当A1、B1在直线CD的异侧时，A1E=A1C+EC= h+ h= ？圯h= . 因此，AB到平面M的距离为 或 . 4. 将边长分别为2、4的长方形卷成圆柱的侧面，则形成圆柱的体积等于 . 解析：可以形成2个不同的圆柱. ⑴以边长为2的边作为母线，底面周长为4的圆柱;其体积等于V1= ;⑵以边长为4的边作为母线，底面周长为2的圆柱;其体积等于V2= . 故形成圆柱的体积等于 或 . 5. 过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 解析：考查空间感和线线夹角的计算和判断，重点考查考生分类、划归转化的能力.第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1;第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条.答案为D. （作者单位： 安徽省宿松程集中学） 第七篇：不等式中的分类讨论思想 汪和平 不等式是课标的主干内容之一，高考中往往与集合、函数、导数等知识融合，体现其工具性、实用性和灵活性.不等式问题中常常涉及到参数或未知量的分类讨论，下面结合典例予以说明. 一、解参数不等式引发分类讨论 例1. 解关于x的不等式：[（m+3）x-1]（x+1）>0 （m∈R）. 解析：因为不等式的类型取决于m+3是否为零，对其分类讨论. 当m+3=0时，不等式为一次不等式，原不等式可化为x+1<0，解集为{x | x<-1}. 当m+3≠0时，不等式为二次不等式，需将不等式化为（x-x1）（x-x2）>0（或<0）的形式，两边同除以m+3，因其符号不确定使同解变形的结果不确定，所以应考虑m+3的正负号： （1）当m+3>0时，原不等式可化为（x- ）（x+1）>0. ∵ -1<0< ，∴ 不等式的解集为{x | x<-1或x> }. （2）当m+3<0时，原不等式可化为（x- ）（x+1）<0，此时相应一元二次方程的两根 与-1大小不确定，从而影响到解的结构，作差比较这两个数的大小： -（-1）= . 继续对m分类讨论： （i）当-4 （ii）当m=-4时， =-1，原不等式解集为Ф; （iii）当m<-4时，-1< ，原不等式的解集为：{x | -1 综上知，当m<-4时，原不等式的解集为：{x | -1 点评：解含参数不等式的主要目的是求未知数取值的集合，而不是求参数的范围，因此在分析含参数不等式的求解时，把参数看成是常数，确定不等式的类型，按相应类型不等式的解题方法进行转化，即战略上藐视参数.但在求解过程中要审视参数对不等式类型、同解变形、解的结构等是否有不确定性影响，若有不确定性必须讨论，即战术上重视参数.本题中的参数先后对不等式的类型、同解变形、解的结构产生不确定性影响，故分三个层次对参数进行分类讨论，同时在m+3<0时又要进行二级分类. 二、恒成立不等式中的参数引发分类讨论 例2. 设函数f（x）= . 当x>0时，f（x）= 恒成立，求实数a的取值范围. 解析：f′（x）= . 当x∈（0， +∞）时，f′（x）<0，f（x）单调递减，所以0 若a=0，则x>0时，f（x）<1= ，不等式不成立. 若a<0，则当0 若a>0，则f（x）> 等价于（ax2-x+1）ex-1>0 （*） 设h（x）=（ax2-x+1）ex-1，则h′（x）=ax（x+ ）ex. 因为- 的值使h′（x）在（0，+∞）是否有零点不确定，从而函数h（x）的性质不同，必须进行二级分类. （i）若a≥ ，则当x∈（0， +∞）时，h′（x）>0，h（x）单调递增，h（x）>h（0）=0; （ii）若0 综上知，实数a的取值范围是[ +∞）. 点评：含参数的恒成立不等式是否成立与参数取值范围紧密相关， 分析参数对不等式两边代数式性质的影响，确定分类标准与层次是解题的关键， 要学会运用导数研究函数的性质， 合理地进行转化. 三、不等式中的轮换对称引发分类讨论 例3. 已知定义在[0， 1]上的函数f（x）满足：①f（0）=f（1）=0;②对所有x，y∈[0， 1]，且x≠y，有| f（x）-f（y） |< | x-y |. 若对所有x，y∈[0， 1]，| f（x）-f（y） | A. B. C. D. 解析：不妨设0≤y 点评：不等式| f（x）-f（y） |< | x-y |中的x，y互换位置，得到的不等式与原不等式相同，称为轮换对称不等式. 讨论x-y≤ 及x-y> 两种不同情形，对| f（x）-f（y） |运用不同的转化放缩策略. 轮换对称不等式形式优美，解题时要充分认识不等式的性质与结构特征，适当分类讨论，灵活转化. （作者单位：安徽省潜山野寨中学） 第八篇：概率统计中的分类讨论思想 洪汪宝 概率统计知识应用广泛，是高考考查学生应用意识和应用能力经久不衰的热点.不少的概率统计问题涉及到分类讨论，认真审题，弄清背景，确定标准，恰当分类，不重不漏，问题即可迎刃而解. 一、计数问题中的分类讨论 例1. 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，则不同的分配方案有（ ） A. 30种 B. 60种 C. 90种 D. 150种 解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，有2种情况： ①将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有 =15种分组方法，再将3组分到3个班，共有15A3 3=90种不同的分配方案; ②将5名教师分成三组，一组3人，另两组都是1人，有 =10种分组方法，再将3组分到3个班，共有10A3 3=150种不同的分配方案. 由①②可知共有90+60=150种不同的分配方案，故选D. 点评：本题是一道分配问题，对于这类问题，先考虑分组，再进行分配.分组要分两种情况进行讨论：①将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人;②将5名教师分成三组，一组3人，另两组都是1人. 发现这两种情况都是部分均匀分组，即有两组人数相同，为避免重复，故要除以A2 2 . 例2. 用1、2、3、4、5、6六个数组成没有重复数字的六位数，其中5、6均排在3的同侧，这样的六位数共有__________个（用数字作答）. 解析：把3看成特殊元素，优先排列： ①3排在首位或末位时，共有A5 5+A5 5=2A5 5=240个;②3排在第2位或第5位时，共有2C3 1A4 4=144个;③3排在第3位或第4位时，共有2（A2 2A3 3+A3 2A3 3） =96个. 所以满足题意的六位数共有480个， 故填480. 点评：由于要求5、6均排在3的同侧，故3是个特殊元素，需要优先安排，在考虑其具体位置时必须分类讨论. 二、 二项式定理问题中的分类讨论 例3. 已知（1+mx）n（m∈R，n∈N？鄢）的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80.（1）求m，n的值;（2）求（1+mx）n（1-x）6展开式中含x2项的系数. 解析：（1）由题意可知，2n=32，则n=5;由通项Tr+1=C5 rmrxr（r=0，1，…，5），则r=3，所以C5 3m3=80，所以m=2; （2） （1+mx）n（1-x）6=（1+2x）5（1-x）6，即求（1+2x）5（1-x）6展开式中含x2项的系数. 当第一个括号中提供常数项，则第二个括号中提供x2项，其系数为C5 0·C6 2（-1）2=15;当第一个括号中提供x项，则第二个括号中提供x项，其系数为2C5 1·C6 1（-1）1=-60;当第一个括号中提供x2项，则第二个括号中提供常数项，其系数为22C5 2·C6 0=40. 所以（1+mx）n（1-x）6展开式中含x2项的系数为15+（-60）+40=5. 点评：本题第（1）小题比较常规，注意二项式系数之和与各项系数之和的不同;第（2）小题若直接展开比较麻烦，而考虑x2项的来源比较简单，要分成三类. 三、概率问题中的分类讨论 例4. 盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 解析：从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个球中，任意取出两个球的取法种数为C9 2=36种. 取出的两个球的编号之积为偶数有两种情况：一奇一偶;两个偶数. 一奇一偶有C5 1·C4 1=20种，两个偶数有C4 2=6种. 故两个球的编号之积为偶数的情况有20+6=26种. 所以取出两个球的编号之积为偶数的概率是 = . 故选C. 点评：两整数之积为偶数，则两整数中至少有一个偶数，分类讨论.本题千万不要误认为两个球的编号之积为偶数的情况有C4 1·C8 1=32种. 例5. 某校举行综合知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有6次答题的机会，选手累计答对4题或答错3题即终止其初赛的比赛：答对4题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰. 已知选手甲答题连续两次答错的概率为 （已知甲回答每道题的正确率相同，并且相互之间没有影响）. （1）求选手甲回答一个问题的正确率;（2）求选手甲可以进入决赛的概率. 解析：（1）设选手甲回答一个问题的正确率为P1，则（1-P1）2= ，故选手甲回答一个问题的正确率为P1= . （2）选手甲答了4道题进入决赛的概率为（ ）4= ;选手甲答了5道题进入决赛的概率为C4 3（ ）3× × = ;选手甲答了6道题进入决赛的概率为C5 3（ ）3×（ ）2× = . 故选手甲可进入决赛的概率为 + + = . 点评：第（1）小题利用相互独立事件同时发生的概率公式来求;第（2）小题甲进入决赛包括三种情况，这三种情况是互斥的，分别求出选手甲答了4道、5道、6道题目进入决赛的概率，从而求出选手甲可进入决赛的概率. 四、分布列问题中的分类讨论 例6. 体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到次为止.设某学生一次发球成功的概率为p（p≠0），发球次数为X，若X的数学期望E（X）>1.75，则 p的取值范围是（ ） A. （0， ） B. （0， ） C. （ ， 1） D. （ ， 1） 解析：由条件可知X=1，2，3，则P（X=1）=p，P（X=2）=p（1-p），P（X=3）=（1-p）2. 于是E（X）=1×p+2×p（1-p）+3×p（1-p）2=p2-3p+3. 依题意有E（X）>1.75，即p2-3p+3>1.75，解得p> 或p< . 结合p的实际意义，可得0 点评：对发球的次数进行分类讨论，当X=3时，说明前两次发球失败，第三次成功与否不必考虑. 例7. 为了庆祝“五一劳动节”，某校教师进行趣味投篮比赛，比赛规则是：每场投5个球，至少投进3个球且最后2个球都投进者获奖，否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是 .（1）记教师甲在每场的5次投球中投进球的个数为X，求X的分布列;（2）求教师甲在一场比赛中获奖的概率. 解析：（1）X的所有可能值为0，1，2，3，4，5，依条件可知X～B（5， ）. P（X=k）=C5 k（ ）k（ ）5-k（k=0，1，2，3，4，5）. 则X的分布列为： E（X）= （0×1+1×10+2×40+3×80+4×80+5×32）= . 或因为X～B（5， ），所以E（X）=5× = ，即X的数学期望为 . （2）设教师甲在一场比赛中获奖的事件为A， 则P（A）=C3 1（ ）3（ ）2+C3 2（ ）4× +（ ）5= . 点评：由条件可知随机变量服从二项分布，直接利用公式;对于第（2）小题，关键看前3个球投进的个数，对其分类讨论. 例8. 一个口袋中装有大小形状完全相同的红色球1个、黄色球2个、蓝色球个n（n∈N？鄢）. 现进行从口袋中摸球的游戏：摸到红球得1分、摸到黄球得2分、摸到蓝球得3分. 若从这个口袋中随机地摸出2个球，恰有一个是黄色球的概率是 . （1）求n的值;（2）从口袋中随机摸出2个球，设？孜表示所摸2球的得分之和，求？孜的分布列和数学期望E（？孜）. 解析：（1）由条件可知 = ，整理得2n2-5n-3=0，解得n=3. （2）？孜取值为3，4，5，6，则P（？孜=3）= = ，P（？孜=4）= + = ，P（？孜=5）= = ，P（？孜=6）= = ， 于是？孜的分布列为： 故E（？孜）=3× +4× +5× +6× = . 点评：摸球2次，颜色不同，得分不同，至少3分，最多6分，逐个查验，即得结果. （作者单位：安徽省安庆市第一中学） 责任编校 徐国坚
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