两个感应电动势公式的应用

黄俞红

法拉第电磁感应定律的表达式与其导出公式都是用来计算电路中由于穿过电路的磁通量发生变化而产生的感应电动势，但在实际应用中，须根据具体问题进行选择，运用几个真型实例，对此进行了讨论。

电磁感应导线磁通量感应电动势磁场法拉弟电磁感应定律的表达式ε=nΔφ/Δt与其导出公式ε=Blvsinθ都是用来计算电路中由于穿过电路的磁通量发生变化而产生的感应电动势。在高中物理选修3-2中，ε=nΔφ/Δt用来求某段时间内感应电动势的平均值，ε=Blvsinθ则适用于导体切割磁感线运动的情况，既可用来求感应电动势的平均值，也可求瞬时值，下面举例说明这两个公式的应用。

例1：如图l所示，在与匀强磁场垂直的平面内放置一个折成α角的裸导线MON，在它上面搁置另一根与ON垂直的直导线PQ，PQ紧贴MON以平行于ON的速度v从顶角O开始向右匀速运动，求回路中的感应电动势。

解法1：用ε=nΔφ/Δt计算

ε=nΔφΔt=B·ΔSΔt=B·12Ob×abΔt=B·12v·Δt×v·ΔttanαΔt=12Bv2Δttanα

解法2：用ε=Blvsinθ计算

ε=Blvsinθ=B·12v·Δttanα·v=12Bv2Δttanα

切割磁感线的导体ab的长度取整个切割过程中的平均值，即l=12·v·Δttanα。

例2：如图2所示，长度为a的金属导线下悬一小球，在竖直向下的匀强磁场中作园锥摆运动，园的半顶角为α，摆球的角速度为ω，磁感应强度为B，试求金属导线中产生的感应电动势。

解法1：

ε=nΔφΔt=B·ΔSΔt=B·π（asinα）2Δt=B·πa2sin2α2πω=12Bωa2sin2α

解法2：

ε=Blvsinθ=B·asinα·12ωasinα=12Bωa2sin2α

以上2题因PQ做匀速运动，园锥摆做匀速园周运动，所以ε=nΔφ/Δt和ε=Blvsinθ两个公式都可以用，但是有些题目则只能用其中一个公式求解。例3：如图3所示，一个长为b，宽为a的单匝矩形线圈，绕与其长边垂直的对称轴oo在磁感应强度为B的匀强磁场中以角速度ω转动，线圈的电阻为R，求

（1）感应电动势的峰值εm

（2）线圈从中性面起，转过600角的过程中产生的感应电动势ε1

（3）线圈从中性面起，转至600角位置时的感应电动势ε2

（4）线圈从中性面起，转过600角的过程中，通过导体横截面的电量q

（5）线圈从中性面起，转过900角的过程中，线圈中产生的热量Q;

（6）在线圈转动一周的过程中，外界向线圈提供的能量E。

解：

（1）要计算峰值，应用公式ε=Blvsinθ，即

εm=Blvsinωt=2Blv（ωt=π2且两个边切割磁感线），所以εm=Babω

（2）计算从中性面起转过600角这段时间间隔中产生的感应电动势，即求平均值，只能用ε=nΔφ/Δt，即：

ε1=B·ΔSΔt=B（S-Scos600）T/6=32πBabω

（3）计算线圈从中性面转至600角位置时的电动势，所求为瞬时值，只能用ε=Blvsinθ，所以ε2=Blvsin600=32Babω。

（4）因为q=I·Δt=εR·Δt，所以必须用ε=nΔφ/Δt，求ε。

q=ΔφΔtR·Δt=ΔφR=B·ΔSR=12RBab

（5）Q=I2RΔt，而I为有效值，即I=Im/2=εm/2R，要求εm，须用ε=Blvsinθ计算，所以

Q=（εm2R）2RΔt=B2a2b2ω22R2·R·14T=B2a2b2ω22R2·R·14·2πω=B2a2b2ωπ4R

（6）外界提供的能量全部转化为电能，然后又全部转化为热能，即：

E=Q=ε2R·Δt=（εm/2）2RΔt

由于要计算峰值，故须选用公式ε=Blvsinθ，所以

E=（2Blv/2）2RΔt=（2Babω/2）2R·2πω=1R（Bab）2ωπ