浅谈中学数学教学中的类比法

潘宝民

人们在认识客观世界的过程中，总是通过观察与比较、分析与综合，归纳与演绎等逻辑方法，去探求自然与社会的规律性。教学过程是一个认识过程，从而应当是教师引导学生去探求并获得知识的过程，在这个过程中必须逐步使学生掌握获取知识的逻辑方法。本文在笔者多年教学实践的基础上，试图浅论类比教学法在中学数学教学中的运用。

一、类比法教学的意义与作用

辩证唯物主义告诉我们，客观现象尽管千差万别，但存在着广泛而深刻的内在联系，揭示这种联系的一种方法是比较法。比较分为对比与类比两种。把我们研究对象进行比较，找出它们的异同点，特别是不同点，这就是对比，而类比虽然也是比较，但比较的重点是相同点。这里必须强调指出，某些研究对象初看起来似乎差异较大，毫不相关，但从某一侧面，某一结构，某一属性，某一关系来看，却具有极大的相似性或共同点。正是由于这个原因，类比法在中学乃至大学教学及科学研究中得到了广泛的应用，成为中学数学教学中的重要手段之一。

从心理学的角度来看，中学生正处于体力与智力的发展阶段。在这个阶段，他们一方面对世界感到陌生好奇；另一方面，他们已初步接触了一些自然与社会现象，储备了小学（或初中）的知识，这就为在中学运用类比教学法打下了初步基础。

从教学法的角度来看，类比教学法符合辩证唯物主义的认识论，它具有很多优点。

简化教学在数学教学中，常要引入新概念，作出新判断，给出新关系。这里，下面的两种教学方法均不可取的：一是照本宣科，就事论事，它使学生感到突然，认为数学神秘莫测；一种是旁征博引，重复累赘，它使学生不得要领。正确的方法应当是尽可能找到学生已熟悉的相类似的概念，判断或关系，并与之进行类比。这样作既有启发意义，又可达到简化教学的目的。

明确思路为了解决数学问题B，我们联想到一个与问题B有类似属性的问题A，于是试图用解决问题A的类似方法去解决问题B，问题B终于获得解决。这是用类比法进行数学教学的一种常用模式，这种模式，按照在比较中认识事物的原则，容易被学生接受与掌握。

它具有明确思路的优点。

加深理解数学的门类很多，即使在中学，也可分为几何，代数，三角等多个部分，它们当然各有自己的特点，但在概念的形成，理论的推导，结论的形成等诸多方面，都有极大的相似性，在这个意义上，它们又紧密相连，故名之日“数学”（数学并非只是数的学问）。一旦我们从比较中去认识它们，就能揭示它们的联系与相似性，从而加深对它们的理解。

增强记忆如上所述，类比法是把一些具有相似结构，相似属性与相似关系的事物拿来进行比较的方法，故能加深理解，从而增加记忆，人们常说的“似曾相识”，正形象地说明了人们由一种事物引发的对另一相似事物的联想。

总之，类比教学法是中学数学教学中常采用的一种具有较好教学效果的重要教学手段。运用好这种教法，不仅可提高教师的教学质量，而且可以提高学生的认识能力，使他们终生受益。

二、创设教学情景，运用类比方法

学生对数学知识的认识过程，是一个由未知到已知的探索学习过程，在这个过程中，就需要教师引导学生对新旧知识间的共同特征进行分析和类比，从“已知”中发现“未知”，达到由未知到已知的目的。

创设问题情景，诱发类比联想 。联想是人们认识事物的过程中，根据事物间的某种联系，由一事务想到另一事务的思维过程，它在人们的认识活动中起着桥梁和纽带的作用，在学习中，学生容易产生广泛的联想，如前面提到的从长方形的对角线联想到长方体的对角线，但也存在一些与就知识的联系不那么直接和明显的内容，学生无法自己找到类比的对象，因此，需要教师创设问题情景，诱发学生联想，唤起学生记忆中的相关的数学知识，把与之类比的对象找出来。

创设类比情景，展现思维过程。在教学过程中，要恰如其分的创设类比情形，展示数学的思维过程，把每一个层次和环节展现给学生，让学生观察和类比，参与探索发现知识的活动过程。

指导学生阅读，学会类比方法。在教学中，教师不仅在教学上运用类比法，还要创设条件，让学生自己去学会类比，对于关系并类的两个数学对象，由于它们类比的内容很多，因而对后一对象的学习，教师要指导学生，结合教材，让学生与前一对象进行类比，独立自主获得知识。

三、中学数学教学中常用的几种类比法

中学数学教学中的类比法多种多样，这里选取几种常用的简述如下。

概念类比在引入新概念时，与原来的已知概念进行类比。由于中学数学是小学算术的继续与发展，存在着大量的类似概念。例如：数与式，整数与整式，分数与分式，整数的分解与整式的因式分解，等式与方程等等。又如对数概念的引入，应以逆运算的思想为指导，与加法和减法，乘法和除法等互逆运算进行类比，就容易被学生接受。

属性类比把不同对象各自具有的相似性质进行类比。例如，把数与式的运算性质进行类比，把等式的变形与方程的同解变形进行类比，把对数函数的性质与指数函数的性质进行类比，把有理指数幂与整数指数幂的运算法则进行类比，等等。

关系类比把相似的数量关系或相似的图形关系进行类比。例如，相等关系与不等关系，本来是本质上不同的关系，但就其“传递性”这一关系上都是相同的，可把这种相同点进行类比。再如，在△ABC中，若sin2A+sin2B+ sin2C—sinBsinC+sinCsinA+sinAsinB，求证△ABC是正三角形，可引导学生与关系式a2+b2+c2=bc+ca+ac进行类比，从而由后一关系可得（a-b） 2+（b—c）2+（c—a）2一O，于是本题迎刃而解。

经验归纳类比要解一个一般性数学问题，首先可考虑其特殊情形，若后一情形的解法可推广到一般情形，则此数学问题可解决，这就是经验归纳类比。例如，在Rt△ABC中，求证：an+bn

降维类比我们经常说，空间是三维的，平面是二维的，直线是一维的，立体几何问题，常可与平面几何问题类比，这就是降维类比。通常可考虑将“线、面、体”降维成“点、线、面”。例如，求圆锥体中侧面积最大的内接圆柱体这类立体几何题，可用轴截面降维为一个平面几何题。

以上，我们强调了类比法在中学数学教学中的作用。中学数学教学方法是多方面的，类比法只是其中的一种。如果只是一味强调类比法而排斥其它方法，就会造成一种思维定势，就会削弱对学生求异思维及逆向思维等能力的培养。所以当我们说类比法是教学的主要手段，是获得发现的伟大源泉时，不要忘记，它只是手段与源泉之一而己。