利用解析几何证明欧拉线的研究

焦阿妮

【摘要】任意三角形的垂心、重心和外心在一条直线上，这条直线被称为欧拉线.众所周知，等边三角形的垂心、重心和外心重合为一点，每条通过等边三角形中心的直线，都同时通过它的垂心、重心和外心.那么，一般地任意三角形的垂心、重心和外心是否在同一条直线上？这是一个平面几何问题，本文试用解析几何方法为其证明解答.

【关键词】解析几何;欧拉线;三角形

1.引 言

直角三角形斜边上的中线，在几何问题里经常遇见，如图1所示，直角三角形斜边上的中线连接着直角顶点和斜边的中点.直角顶点是直角三角形的垂心（三条高线的交点）.斜边中点是直角三角形的外心（外接圆的圆心）.当然，这条中线还通过直角三角形的重心（三条中线的交点）.一线过三心：垂心、重心和外心.

2.解析几何证明欧拉线方法

可以预料，在利用坐标进行计算的过程中，必然要用三角形顶点的坐标分别表示出垂心、重心和外心的坐标.无论最后结果如何，这些表示式都是有参考意义的.

设在任意三角形ABC中，垂心是H，重心是G，外心是P，希望能够证明，三点H，G，P在一条直线上.

如图2所示，建立平面直角坐标系，取A为原点，并使B在x轴正半轴上，C在x轴上方.

为了便于辨认各点的坐标，将点H的坐标记为（h，h′），点G的坐标记为（g，g′），其余类推.

在这样的记号下，有 a=0，a′=0，b′=0，b≠0，c′≠0.

由于不必考虑直角三角形和等腰三角形的平凡情形，还可认为c≠0，b≠c，b≠2c.

重心G的坐标等于顶点对应坐标的算术平均值，所以

g=b+c3，g′=c′3.

①

从图2容易看出，垂心H的横坐标与C相同，外心P的横坐标与AB的中点E相同，即 h=c，p=b2.

②

用记号kBC表示直线BC的斜率，其余类推，易得

kBC=c′c-b，kAH=h′c.

因为直线AH⊥BC，所以它们的斜率之积为-1，即

h′c · c′c-b=-1.

由此得 h′=c（b-c）c′.

③

设D是BC的中点，那么它的坐标是

d=b+c2，d′=c′2.

因而 kPD=c′2-p′b+c2-b2=c′-2p′c.

因为PD//AH，所以两直线斜率相等： c′-2p′c=h′c.

由此得 c′-2p′=h′.

因而 p′=c′-h′2.

④

到此为止，已将重心G，垂心H和外心P的坐标全部求出（① ～ ④式），由此易得

p-g=b2-b+c3=b-2c6，

p′-g′=c′-h′2-c′3=c′-3h′6，

g-h=b+c3-c=b-2c3=2（p-g），

g′-h′=c′3-h′=c′-3h′3=2（p′-g′）.

因而 g′-h′g-h=p′-g′p-g.

这样就证明了，三点H，G，P在同一条直线上.

以上通过坐标计算，用解析几何方法证明了欧拉线定理.

【参考文献】

[1]张成华，谢杰.欧拉线[J].数苑纵横，2005（10上）.

[2]张裕文.欧拉定理 费尔巴哈定理及相关命题的统一证明[J].数学通报，2004（10）.