“复数及其应用”教学设计与反思

单晨

[摘要]对于“复数及其应用”内容，在各类学校，针对不同的学生的教学方法不同.针对中等专业学校的教学设计，有其独特性.

[关键词]整合活动反思

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）110017

一、教材分析

“复数及其应用”是江苏省教育出版社凤凰职教《数学》第四册第17章的内容.本章是在整数、有理数、实数的基础上的总结与扩展，在学习过整数、有理数、实数的概念和运算，一次方程和一元二次方程、平面直角坐标系后，再介绍平面向量、任意角的三角值等知识的基础上介绍了复数的概念、复数的代数运算、复数的几何意义、三角形式和三角形式的乘除、乘方运算.对于职业学校的学生来说，学习一些复数的基础知识是十分必要的，这不仅使学生可以对数的概念有一个较为完整的认识，而且也为运用数学知识解决问题增添了工具，同时复数知识还为某些专业知识打下了基础.

本章所介绍的复数内容是学生以前没有接触过的全新的内容，但复数的概念是实数概念的扩展.复数的运算遵循实数运算的运算律和运算顺序.为了使学生顺利地掌握本章的内容，教材突出了复数的概念、运算与实数的概念、运算之间的类比，即类比实数的概念和性质讲复数的有关概念和性质；类比平面直角坐标系讲复平面；类比实数的运算讲复数的运算，注意知识的发生、发展过程.学生的数学学习是对数学知识的一种特殊认识过程，这一认识过程也必须遵循从感性认识到理性认识，又从理性认识到实践的过程，这个过程反映到对具体知识的编排上，那就是要从实际事例的分析中或者对已有知识的分析、推理中引入新的概念，通过观察、比较、分析、抽象、概括得出结论.

因为我任课的班级是服装专业，所以略去了极坐标形式的介绍和电学的相关内容.另外也删除了太过专业的指数形式.所以将原来书中的四节重新整合成如下三块：

二、学情分析

学生已经学习过整数、有理数、实数的概念和运算，一元一次方程和一元二次方程、平面直角坐标系，平面向量、任意角三角值等知识，但数学基础欠扎实，知识遗忘较快，个体差异十分明显.学生对数的概念已经扩充到实数，也已清楚各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，他们对数的生成发展的历史和规律缺乏整体认识，知识体系还未形成.另一方面，学生对方程解的问题会默认为在实数集中进行.学生探索分析、解决问题的能力不强，对旧知识的掌握持久时间相对来说比较短，计算能力还有待提高.而文科类女生思维灵活性不是特别好，对知识间的联系，在理解和应用上有一定难度，反应速度相对较慢，学习习惯有待改善.比如完成作业后学生对正确答案的求知欲很低.大多数学生对学习数学的兴趣需要培养，自信心要增强.有些学生情绪化特征较明显，如一得到表扬肯定，易喜形于色.她们有学好数学的想法，喜欢老师指导她们课前复习，课堂多提一些关联性的小问题串起学习的内容.她们在教师的引导下能够跟着思考，能够听懂基本内容.

三、教学目标

1.知识与技能.理解复数的几何意义；会用复平面内的点和向量来表示复数，了解它们之间一一对应的关系；知道实轴、虚轴上及各象限内的点所对应的复数的特征；掌握复数的模、辐角的概念及其计算公式，会用计算器求复数的模和辐角；理解复数的三角形式的定义，会进行代数形式和三角形式之间的转化；掌握复数三角形式的乘除和乘方运算.

2.过程与方法.渗透转化、数形结合的数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力；通过用复数的模和辅角来表示复数的实部和虚部，使得新旧知识结合；通过类比知道在进行复数乘除及乘方运算时采用三角式使计算变得简便，通过由两个三角形式的复数相乘拓展到多个三角形式的复数相乘，再到特殊的多个相同复数的三角形式相乘得到棣莫弗定理.

3.情感、态度与价值观.引导学生观察现象，发现问题，提出观点，验证结论，促使学生形成良好的学习思维品质；充分发挥学生的主观能动性，激发学生的学习热情，增加学生的求知欲；注意观察、发现、对比、分析和归纳.

四、教学重点难点

1.重点.复数的几何意义，复数的模、辐角及辐角主值，理解复数的三角形式的定义，复数三角式的乘除.

2.难点.复数的几何意义，复数代数形式化为三角形式，非标准的复数三角形式化成标准的三角形式.

五、教学过程设计

第一环节设置了三个问题：

问题1对于复数a+bi和c+di（a，b，c，d∈R），你认为满足什么条件时，这两个复数相等？（a=c且b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等）

问题2若把a，b看成有序实数对（a，b），则（a，b）与复数a+bi是怎样的对应关系？有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系）

问题3类比实数的性质，你能否找到用来表示复数的几何模型？还能得出复数其他的一些性质吗？

学生通过回忆、猜测、回答，小组讨论达成共识：确定一个复数的条件是什么，以有序实数对为桥梁在复数和点之间建立联系，教师启发学生类比实数的性质找到复数的几何模型，引出新课，以学生熟悉的知识为载体，采用类比的方法，引导学生对比、思考，调动他们学习的积极性和主动性.再小组合作讨论，这样可以活跃课堂气氛，拓展思维宽度，从而使新课更加顺理成章地展开.

教师借助PPT给出复平面的概念，这里设计了两个活动.

活动1学生前后四人为一个小组讨论思考，上黑板标点，巩固复平面的概念、复数与点之间一一对应的关系，由特殊到一般的引导学生理解实轴上的点都表示实数，虚轴上的点都表示纯虚数，理解实轴是一条直线，虚轴是除去原点外的y轴.

活动2请学生两人一组为单位，小组合作，一个给出复数，另一个画出向量OZ.在活动中进一步体会数形结合，加深理解复数、复平面内的点.起点为原点、终点为Z的向量，它们之间一一对应的关系.设计的活动让学生参与性更强，来自学生的例子“更鲜活有生命力”.

学生通过归纳得到复数的几何意义，这里我又设计了一个比学赶帮的活动.

活动3（1）在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：4；2+i；-1+3i；3-2i；-i.

（2）“a=0”是“复数a+bi（a、b∈R）所对应的点在虚轴上”的（ ）.

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

（3）复平面内，表示一对共轭复数的两个点具有怎样的位置关系？第二象限的点表示的复数有何特征？第三、第四象限呢？

学生由活动1、2归纳复数的几何意义，过渡自然不唐突.活动3中的（1）是强调三者之间的关系；（2）是强调虚轴上点对应的复数实部有什么特征；（3）是从共轭复数以及象限内点的角度强调他们所对应的点和复数有什么特征，这样多个角度的练习可以有效地解决学生理解复数几何意义时所遇到的困难.

在复数几何意义的基础上提出问题1，请学生思考从向量模的角度解释，教师引导学生注意复数与向量的对应关系，自然引出复数的模的概念.

此处设计一个比学赶帮的活动.

活动4

（1）已知复数z1=3+4i，z2=-1+5i，试比较它们模的大小.

（2）P71思考交流：说出1、i、-1、-i的模.

（3）若复数z=3a-4ai（a<0），则其模长为.

（4）P72问题解决1：模相等的复数在复平面内形成一个什么样的图形？|z|=2呢？

问题1：这里提出来是为了从向量的角度来理解虚数为什么不能比大小，自然引出复数的模的概念.（1）（2）是为了理解复数模的概念设计的（学生口答）（3）包含了含字母的负数开方的问题，这是前面我们学生掌握不扎实的难点，这里结合模的概念进一步巩固，（4）是为了加深学生对复数模的理解，强调模相等的复数不一定是相等复数，进一步渗透数形结合的思想.由活动4抛出问题2，引出复数辐角的概念.通过如何在直角坐标系里表示角强调辐角不唯一.和学生一起完成如何在直角坐标系里画角，这是大家熟悉的知识，可以营造大家齐声回答问题的氛围，活跃课堂气氛.

由辐角都是终边相同的角不唯一给出辐角主值的范围，进行相关的约定规定.这里我设计了活动5.

活动5画出1、i、-1、-i的辐角，学生以小组为单位协作讨论正实数、负实数、纯虚数的辐角是多少？思考P72问题解决2辅角相等的复数在复平面内形成一个什么样的图形？推荐代表回答.

活动5引导学生主动由特殊到一般的归纳正实数、负实数、纯虚数的辐角，再来思考问题解决2，衔接自然流畅.这样可以有效地巩固辐角主值的概念，强调一个复数的辐角主值是唯一的，但是没有一一对应的关系.

由活动5的归纳设计活动6.

活动6引出实虚部都不为0的复数的辐角该如何得到是很自然的.将实虚部都不为0的复数分成两类来求辐角条理上显得十分清楚.对于第一类如按计算器有些情况只能得到近似值，而且通过数形结合解决第一种情况是很有必要掌握的.对于方法2，教材是一句话带过，而且教材中出现的位置个人认为十分不合适，新的计算器完全可以更有效率地解决这种情况下辐角的问题，没必要这样计算了，可以略过不讲.

六、教学反思

这节课是从学生熟悉的实数与实轴上的点一一对应入手，分组让学生来回忆、小结本课的内容，再请代表小结本组成员的发言.一是体现了以学生为主的思想；二是让学生主动回忆，能起到非常好的效果，比教师单一的小结来得更好.课堂教学中，要注意对学生的课堂回答、练习进行及时的评价；小组讨论点评；通过对学生投入学习程度的观察，判断学生掌握的情况，调整教学进度.设置环环相扣的问题，激发学生连续的思考；紧扣概念设计改题，层层递进，开拓思维；引导学生观察图像，使其通过数形结合理解复数的几何意义；对复数分成两类求辐角主值，这是亮点.学生对于复数几何意义的理解设计前我估计到了这个困难，通过课堂练习、课后作业的反馈，大部分学生的学习效果能达到要求，比我预想的要好.

（责任编辑黄桂坚）