初中数学教材例题与习题二次开发的实践与思考

朱小利

【摘要】数学教材中的例题、习题从某种程度上体现相关数学理论知识，并蕴含重要的数学思想与解题方法，一方面具有典型的示范作用，另一方面具有一定的开发价值.本文结合教学实践中的相关案例，从开发例题、习题的背景、条件、结论三个方面阐述例题、习题二次开发的策略，有效提高课堂效率，培养学生分析问题、解决问题的能力，促进学生逻辑思维的发展.

【关键词】例题习题；二次开发；策略研究

在初中数学课堂教学过程中，例题、习题的讲解环节是课堂中教学中必要的环节之一，那么作为一名教师如何更好地利用教材中的例题、习题，对学生提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心起着至关重要的作用.所谓例题、习题的“二次开发”，主要是指依据新课程标准，对数学教材中的例题、习题进行适度增删、调整和加工，从而使其更好地适应具体的教育教学情景和学生的学习需求.因此，“二次开发”好教材中的例题、习题，才能使学生更好地掌握基本知识与基本技能，培养学生的推理能力与创新意识，从而有效地提高课堂教学效率.

一、初中数学教材例题、习题的教学现状与价值诉求

（一）教学现状

教材中的例题、习题因为其特殊性，具有很强的开发性，是教师在教学过程中非常重要的教学资源.但是在日常教学过程中，经常会看到以下情景：

教师PPT展示题目：已知在直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A（-3，-2），B（1，-1），C（3，2），D（-1，1），四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明.（浙教版八年级下册第116页第4题）

在教学过程中教师对例题、习题的处理方式有：1.教师一言堂，自己完成读题、分析、讲解题目；2.学生自己看题，让有解题思路的学生讲解题目；3.教师自选其他题目代替例题，教材中的例题让学生课后自学.可见在平时的教学过程中，教师并没有充分利用教材中的例题与习题的潜在价值，没有在教学过程中对例题与习题深层次地挖掘与延伸.

（二）价值诉求

有效地对教材例题、习题进行“二次开发”具有一定的教学价值.第一，教师根据自己已有的教学经验对教材例题、习题进行“二次开发”，不仅体现出教师自身的专业修养，还能在二次开发中不断地提升教师的专业水平；第二，对教材例题、习题的“二次开发”充分服务于新课程标准，能不断提高学生的分析推理能力、解题问题的能力，促进学生多角度分析问题，使学生在解题中能融会贯通、举一反三；第三，教材例题、习题的“二次开发”，大大提高数学教学的有效性，学生学到的是思想方法，是情感体验，是个性发展，学生会学、乐学.爱因斯坦说过：“学校教给学生什么样的知识最有价值？那就是学生离开学校许多年之后，还留在学生大脑中的那一部分东西.”而这样的教学，学生所形成的能力，是不会随着时间而消逝的.

二、初中数学教材例题、习题“二次开发”的教学实践

教师如能在课前结合教学要求与学生实际，精心设计教学环节，并在课堂教学中给予正确引导，在思考、探究问题的过程中，充分挖掘例题、习题的潜在功能，就会使学生在原有的知识储备的基础上，建构起更加灵活、更为宽广的知识网络，更有助于学生学会学习，学会思考，学会创造.

（一）基于背景

在日常的教学过程中，教师有意识地对题目背景进行更换，将同一知识融入到不同的背景中，教师选择的背景可以是学生熟悉的事物和具体的情景，让学生在数学的世界里开拓出可供他们思索、探讨和发展的用武之地，使数学课程更具现实性.

图 1案例 如图1，直线l表示草原上的一条河流.一骑马少年从A地出发，去河边让马饮水，然后返回位于B地的家中.他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线.（浙教版八年级上册2.1图形的轴对称例2）

分析 如图，设P是直线上任意一点，连接AP，BP.以直线l为对称轴，作与线段AP成轴对称线段A′P，则AP+BP=A′P+BP.显然，当A′，P，B同在一直线上时，A′P+BP最短，即路程最短.

如图7，在平面直角系中，A，B两点的坐标分别为A（-2，0），B（8，0），以AB为直径的半圆P与y轴交于点M，以AB为一边作正方形ABCD.

（1）求C，M两点的坐标；

（2）在x轴上是否存在一点Q，使得ΔQMC的周长最小？若存在，求出点Q的坐标和最小值；若不存在，请说明理由.

分析 （1）依题意推出AB=BC=CD=AD，连接PM，根据勾股定理求出OM的值后可求出点M的坐标；（2）首先作M点关于x轴的对称点M′，连接M′C，根据题意可知QM+QC的和最小，因MC为定值，故△QMC的周长最小.

以上题目只是同一知识点在不同背景下的应用，解决这种同一类的问题，我们可以通过研究它们之间的共性，找到其解题的一般规律，这样一来，学习数学思维由集中到发散，再由发散到集中，知识不再是零散，而是有规律地储存在学生头脑中，既牢固又能得到灵活运用.

（二）基于条件

教材中很多的例题、习题具有一定的代表性，教师时常以其为载体，对例题、习题的条件进行改编和变式，这对提高学生的发散能力，锻炼学生的思维都是很有帮助的.

图 81.变更条件

案例：如图8，△ABD和△AEC均为等边三角形，B，A，C三点在同一直线上，连接BE，CD.求证：BE=CD.（浙教版八年级上册2.3等腰三角形的性质作业本）

变更一：改编案例的条件

将“B，A，C三点在同一直线上”改为“△ABD或△AEC绕点A旋转”，其余条件保持不变.

变更二：改编案例的条件

将“等边三角形”改成“等腰直角三角形”，继而改成“等腰三角形”“正方形”“任意正多边形”，其余条件不变.

2.加强或弱化例题、习题的条件

在教材原题的基本上拓展变化，通过变更条件、加强条件与弱化条件等角度提出新问题，引导学生探索获取知识，这样不仅能使题目涉及的基础知识得到强化，而且能提高学生对前后知识的整合能力，对培养学生的变通性能起到“以点带面”的作用，有助于学生克服思维的单一性和片面性，提高创新思维能力.

（三）基于结论

笛卡儿说：“我所解决的每一个问题将成为一个范例，以用于解决其他问题.”教材中典型的例题、习题在日常教学中如同可再生资源，可以变化、引申、拓展，由一道题变出多道题，挖掘这些具有启发性的题目不仅可以提高课堂效率，还能有效激发学生的思维，提高学生解决问题的能力.

图 14 1.挖掘题目中其他结论

案例 如图，△ABD和△AEC均为等边三角形，B，A，C三点在同一直线上，连接BE，CD.求证：BE=CD.（浙教版八年级上册2.3等腰三角形的性质作业本）

[结论开发一]图中哪些三角形可以通过旋转而得到？挑

选其中的一对三角形，指出旋转中心及旋转角度.

[结论开发二]求∠BHD的度数.

[结论开发三]求证：△AFG是等边三角形.

[结论开发四]求证：FG∥BC.

2.挖掘题中隐含结论

案例

原题1：已知直角坐标系内四个点A（a，1），B（b，1），C（c，-1），D（d，-1），四边形ABCD一定是平行四边形吗？如果你认为是，请给出证明；如果你认为不一定是，请添加一个条件，使它一定是平行四边形.（浙教版八年级下册第114页第6题）

原题2：已知在直角坐标系中，四边形ABCD四个顶点的坐标分别为A（-3，-2），B（1，-1），C（3，2），D（-1，1），四边形ABCD是不是平行四边形？请给出证明.（浙教版八年级下册第116页第4题）

挖掘结论：在平面直角坐标系中探索平行四边形顶点坐标问题.

图 15如图，点A，B，C是平面直角坐标系中不在同一直线上的三点.

（1）如图，以A，B，C三点为顶点的平行四边形可以作出三个，分别以AB，BC，AC为对角线分类讨论；

（2）若A，B，C，D四点的坐标分别为xA，yA，xB，yB，xC，yC，（xD，yD），

则xA+xC=xB+xD，yA+yC=yB+yD.

应用结论：（2011鄂尔多斯）如图，抛物线y=-（x-1）2+4的顶点为A，与x轴相交于B，C两点，直线y=-2x+6经过A，C两点，且点C的坐标为（3，0），连接OA.（1）求出点B的坐标和直线OA的解析式.（2）直线y=m（0

图 16①用含m的代数式表示线段EF长；②试求S与m的函数关系式，且当m为何值时，S有最大值？

（3）设直线y=m与y轴交于点Q，则在抛物线上是否存在这样的点P，使以点Q，P，C，B为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标.

分析 本题第（2）小题着重考查平行四边形的性质等重要知识点，综合性强，能力要求较高.在解决有关抛物线与平行四边形的问题中，关键是要灵活应用上述结论，达到解一题会一类.

因此，在平时的教学过程中，要注意总结与归纳，努力把问题中的一些共同的性质揭示出来，并应用它们解决更复杂的问题，有效地培养了学生思维的灵活性、广阔性、创新性，使学生零散的思维聚集为有序的推理，获得对表象体验的浓度认识.

三、实施“二次开发”的思考

1.“二次开发”过程中要重视学生开发的主体性.在对教材例题、习题二次开发过程中，教师在不知不觉中会将重点放到例题、习题的处理中，会不断花时间地对例题、习题进行补充、拓展、加深，在这个过程中经常会忽略学生的主体性，因此，在教学过程中，对例题、习题的内在潜能挖掘是必要的，但不能忽略学生在教学过程中的主体性，使学生在教学过程中积极地、目的明确地、主动地投入到教学活动中.

2.“二次开发”过程中培养学生的总结归纳能力.教师在对例题、习题二次开发过程中，可以让学生尝试地对例题、习题进行归纳整理，可以让能力强的学生利用自己已知的知识尝试对题目进行开发，这样不仅可以让学生亲自发现其实很多题目是有共性的，从而提高学生的学习能力.

3.“二次开发”过程中教师应不断地提升自己的专业水平.在新课程标准下，作为教师应该转变原有的教学模式，不断适应新课程标准，教师之间应不断地交流、合作，教师可以把教学过程中的成功与失败、教学心得、教学案例等及时积累，不断累积，因为只有教师自己本身不断钻研，不断充电提高，才能更好地指导学生学习.

四、结束语

总之，教材例题、习题的二次开发，一方面使教师在教学过程中能灵活使用教材中的例题、习题，提高教师自身的专业素养，使教学达到“事半功倍”的效果，另一方面还能在提高学生学习数学的兴趣的同时，也提高学生的解题能力和探究推理能力，有利于促进学生各方面更好地发展.