试证相差2的素数对是无穷多的

赵双成

【摘要】为证明相差2的素数对是无穷多的：1.将前n个素数连乘积表为2N后，创建一个6k±11≤k≤N/3的奇数对数列；数列内的素数有，1）平方小于2N的前n+t-2个素数，2）大于第n+t个素数、又不大于2N+1的素数.2.从数列内排除含第1类素数因子的奇数对，剩下的均是相差2的素数对；再证明n趋向于无穷大时，剩下的素数对个数也趋向于无穷大.证明中用到了两个“数学工具”：1.数字筛公式、2.奇数对筛定理.

【关键词】初等数论；孪生素数；奇数对数列；数字筛公式；奇数对筛定理

引言

孪生素数猜想是数论中著名的未解决问题.这个猜想由希尔伯特在1900年国际数学家大会上的报告第8个问题中提出，可以描述为“存在无穷个孪生素数”[1].破解这一猜想的最新成果是由华人数学家张益唐取得的，2013年5月13日他在哈佛大学宣布证明了“存在无穷多个之差小于7000万的素数对”[2].时至今日，对存在无穷多个之差等于2的素数对，仍无通过专业数学工作者审视的证明[3].

一、证明中自定义的概念

将前n个素数组成的数列表为p1，p2，p3，p4，…，pn，其连乘积表为2N.

对整数a、b、q，有a=bq（b≠0）时，a是b的倍数[4].在ak=kb（1≤k≤2N）时，在不大于2Nb的范围内b的倍数有2N个[5].

定义1a=bq（b≠0）中b与q均为正奇数时，将a称为b的奇倍数.如35=5×7，35是5与7的奇倍数.

定义2b为奇素数且其奇倍数不含小于b的奇素数因子时，该奇倍数称为b的奇数倍.如35是5的奇数倍，不是7的奇数倍.

定义36M±1（1≤M≤N[]3）组成一个N[]3项的奇数对数列.6M-1称为小数，6M+1称为大数.同奇数对的两个数均为素数时是孪生素数，否则为合数对.

二、pi（2≤i≤n）的数字筛公式

pi不大于2N的N/pi个奇倍数中，有的还含有p2到pi-1中的因子，他们不是pi的奇数倍.由容斥原理可知[6]，N/pi个奇倍数中不含p2到pi-1中任1因子的个数是：

【参考文献】

[1]梁宗巨.世界数学史简编[M].沈阳：辽宁人民出版社，1980第1版，第494页倒数第1—2行.

[2]郑辉.华人数学家张益唐证明“弱孪生素数猜想”[OL]，腾讯科学，2013.5.27.

[3]百度百科.孪生素数猜想[OL]，2014.3.18.

[4]闵嗣鹤，严士健.初等数论[M].北京：高等教育出版社，2003.

[5]闵嗣鹤，严士健.初等数论[M].北京：高等教育出版社，2003.

[6]潘承洞，潘承彪.初等数论[M].北京：北京大学出版社，2013.