圆课程难度的定量分析比较

郑泽娜　张磊

【摘要】在分析影响课程难度的因素的基础上，构建了刻画课程难度的数学模型N=αG/T+（1-α）S/T.并以此定量比较我国《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）与《全日制九年义务教育初中数学教学大纲（试用修订版）》 （以下简称《大纲》）中几何部分内容的难度——对“圆”相应课程难度进行对比分析，以此考察初中几何课程、教学内容的发展变化，希望对于我国基础教育课程改革提供一些启示.

【关键词】课程难度；可比深度；可比广度

【基金项目】2014年广东省大学生创新创业训练计划项目：基于课程难度定量分析模型下的初中几何课程难度研究.项目编号：201410578047.

一、背景

圆在《大纲》与《标准》中的内容相比，发生了比较大的变化，特别是在《大纲》中的圆与圆的位置关系中，弦切角定理、相交弦定理、切割线定理是很重要的内容，但在《标准》中却没有这部分的内容.这些变化对初中数学教师理解和实施《标准》提出了挑战.那么，通过对《标准》与《大纲》中初中部分圆的内容及难度上的比较，看看新课改是不是在实质上真正给学生减压了！

二、课程内容的对比

《大纲》与《标准》中“圆”对应的知识点如下：

（1）《大纲》 ：

1.圆的基本概念：①理解圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性；②掌握圆心角、弧、弦、弦心距及圆周角之间的主要关系；掌握圆周角定理以及直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径等性质，并能会用它们进行论证和计算，会作两条线段的比例中项.

2.点与圆的位置关系：①掌握垂径定理及其逆定理；②了解轨迹的概念和几个简单轨迹，了解反证法；③掌握点和圆的位置关系，了解三角形的外心、内心的概念；④掌握圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角的性质.

3.直线与圆的位置关系：①掌握直线和圆的位置关系；②掌握经过圆的切线的定义、性质和判定；③掌握切线长定理、弦切角定理、相交弦定理、切割线定理，并会利用它们进行有关的计算；④通过圆周角定理的证明，使学生了解分情况证明数学命题的思想和方法.

4.圆与圆的位置关系：①掌握圆和圆的位置关系；②掌握相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦.相切两圆的连心线经过切点等性质；③了解两圆的外公切线的长相等，两圆的内公切线的长相等等性质，了解两圆公切线长的求法；④掌握两圆的外切线的长相等、内公切线的长相等的性质；⑤会利用直线和圆相切、圆和圆相切的性质，画出直线和圆弧、圆弧和圆弧连接的图形.

5.正多边形和圆：①理解正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.会将正多边形边长、半径、边心距和中心角的有关计算转变为解直角三角形的问题；②运用多种平面图形进行镶嵌设计.

6.弧长与扇形面积：①会计算圆的周长、弧长及简单组合图形的周长；②会计算圆的面积、扇形的面积及简单组合图形的面积；③了解圆柱、圆锥的侧面展开图分别是矩形和扇形，会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积.

7.尺规作图：①会用尺规作经过不在同一直线上的三点圆；②会过一点画圆的切线.会用尺规作三角形的内切圆；③会画两圆的内、外公切线.

（2）《标准》 ：

1.圆的基本概念：①理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系；②探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征.

2.点与圆的位置关系：①探索并了解点与圆的位置关系；②了解三角形的内心和外心.

3.直线与圆的位置关系：①探究并了解直线与圆的位置关系；②了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线.

4.圆与圆的位置关系：①探究并理解圆与圆的位置关系.

5.正多边形和圆：①理解正多边形、正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.会将正多边形边长、半径、边心距和中心角的有关计算转变为解直角三角形的问题；②运用多种平面图形进行镶嵌设计.

6.弧长与扇形面积：①会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积.

7.尺规作图：①探究如何过一点、两点以及不在同一直线上的三点作一个圆；②会过圆上一点作圆的切线；③会确定圆的圆心；④会作圆内接正方形和正六边形.

三、《标准》与《大纲》中圆的难度量化比较

（1）影响课程难度的三个基本要素：据东北师范大学史宁中教授对课程难度的研究方法，他们对概念的界定是：影响课程难度的基本要素至少有三个：课程深度、课程广度和课程实施时间.

（2）课程广度：

用《标准》和《大纲》中圆的内容部分的“知识点的个数”来刻画圆的内容的广度.考虑到“正多边形”在《大纲》中出现在《圆》之中，并且出现切割线定理及其推论，相应课程内容的知识点合计37个，取综合的课程广度系数为G1=37.《标准》中y圆的知识点分布较散，相应课程内容的知识点合计24个，取综合的课程广度系数G2=24.

（3）课程深度：

课程深度指课程内容所需要的思维的深度，可以用课程目标要求的不同程度来量化；《大纲》中是按四个层次“了解”“理解”“掌握”“灵活应用”来陈述目标（要求）的，《标准》中则是按三个层次（水平）来陈述目标（要求）的.考虑到“掌握”这一要求与“灵活应用”区别并不是很大，为了与《标准》 中的层次对应，将“掌握”与“灵活应用”合并为同一个层次.《标准》 除了以上这些结果性目标，增加了过程性目标，例如“经历”“体验”“探索”等.对这些过程性目标要进行量化有一定难度，但为了比较标准的统一，给过程性目标也赋了值.具体规定参照文献[1].

①《大纲》中相应课程内容的知识点对于课程深度值分别为：

圆的定义及弦、弧基本概念（1），同心圆与等圆（1），圆的作图（2），外接圆（1），垂径定理（3），圆心角与弦、弧的关系定理（3），弦的度数和弦心角的度数的关系及应用（2），圆周角的定义（2），圆周角与圆心角的关系（3），圆周角与弦、弧的关系（3），做两已知线段的比例中项（2），圆内接四边形（3），轨迹（1），反证法（1），直线和圆的三种位置关系（3），圆的切线的判定（3），圆的切线的性质（3），切线长定理（3），多边形的内切圆（2），圆的外切多边形（2），弦切角（1），弦切角定理（2.5），相交弦定理及其推论（2.5），切割线及其推论（2），圆与圆的位置关系（3），两圆的连心线的性质（3），两圆的公切线的性质（1），两圆的外公切线的做法（2），两圆的内公切线的做法（2），相切在作图中的应用（2），圆的内接正多边形（1），正多边形的内切圆与外接圆（1），正多边形的有关计算（2），正多边形的作图（2），圆的弧长（2），扇形的面积（2），圆锥的侧面展开图和侧面积（2），镶嵌模型（1），直径所对圆周角（1）.

赋值合计78，取综合的课程深度系数为78，即S1=78

②《标准》中相应课程内容的知识点对于课程深度值分别为：

圆的定义及弦、弧基本概念（2），垂径定理（3），圆心角与弦、弧的关系定理（1），圆周角的定义（1），圆周角与圆心角的关系（2），圆周角与弦、弧的关系（1），圆内接多边形（多边形的外接圆）（1），圆内接四边形的性质（3），直角三角形斜边中线的性质（2），点与圆的位置关系（3），如何确定圆的圆心（3），三角形的外接圆与外心（1），反证法（1），直线和圆的三种位置关系（3），圆的切线的判定（2），圆的切线的性质（3），切线长定理（2），三角形的内切圆与内心（1），圆与圆的位置关系（3），正多边形的有关计算（2），正多边形的作图（2），圆的弧长（2），扇形的面积（2），圆锥的侧面展开图和侧面积（2），镶嵌模型（2），直径所对圆周角（3），作圆的切线（2），过三点作圆（3）.

赋值合计55，取综合的课程深度系数为55，即S2=55

（4）课程实施时间：

《大纲》下的课程实施时间：T1=30；《标准》下的课程实施时间：T2=20.

（5）难度比较：

课程难度就与课程深度、课程广度成正比，与课程实施时间成反比.课程难度实际上就是“可比广度”和“可比深度”的加权平均值.根据以上数据和文献[1]中难度计算公式，分别求出《标准》与《大纲》中圆部分的可比广度、可比深度，统计数据及比较结果：

①《大纲》：课程广度G1=37，课程深度S1=78，课程时间T1=30，N1=α·37+（1-α）·78[]30≈2.60-1.37α.

②《标准》：课程广度G2=24，课程深度S2=55，课程时间T2=20，N2=α·24+（1-α）·55[]20≈2.75-1.55α.

其中0<α<1，于是，如果取1.23

由此可知：与《大纲》中圆的内容相比，《标准》中圆的内容的可比广度增加0.07，可比深度减少，0.15，课程难度减少了0.26，即与《大纲》相比，《标准》中圆的内容难度大大减少了.

《标准》中可比广度增加量为0.07，可比广度的减少量为0.15变化大，说明在知识点掌握上旨在扩宽学生的见识面，增加了与现在科技发展相需求的知识点，比如：增加了直角三角形斜边中线的性质，确定圆的圆心，过圆外一点作圆的切线等，体现了新课标理念，最大程度地发展学生用数学，体会数学从生活中来，最终还是服务于生活，而且增加的内容大多是关于动手作图的，使学生在学习中提高自己的操作能力.

四、结论

《标准》中圆的内容突出了圆的性质的重要性，体现在广度的增加上，圆的内容的扩展面上需提高，在研究的深度上，相对要求放低.在深度方面，根据新时代的要求，适当删减一些不常用的内容，如：公切线定理、切割线定理、弦切角定理、两圆的连心线等，例题也基本是采用生活中的实际问题，既能让数学与实际联系起来，又让同学们觉得数学不枯燥.

新的《普通初中数学课程标准（实验）》与原《全日制普通初中数学教学大纲（试验修订版）》相比，有以下特点：对数学本质有了新的认识，这种新认识体现了一种动态的模式论的现代数学观；课程目标突出体现了学生发展为中心的思想；课程内容在为课程目标服务的原则下增强了选择性；课程评价进一步丰富和完善了大纲多元化的理念.

【参考文献】

[1]史宁中，孔凡哲，李淑文.课程难度模型：我国义务教育几何课程难度的对比[ J].东北师人学报（哲学社会科学版），2005，（6）：151～155.

作者简介

郑泽娜（1992—），女，广东潮州人，韩山师范学院数学与应用数学专业学生.

张磊（1981—），男，河南确山人，韩山师范学院数学与统计学院讲师，研究方向为数学教育，为通讯作者.