耐人寻味的“余数”

苏春峰

摘 要：“余数”是小学数学中一个重要的知识点，“到底余多少？”“连除式题中不同算法余数还一样吗？”可能并不是每个人都很清楚，这就需要深刻理解“余数”的概念，挖掘其内涵，了解其性质，才能真正揭开“余数”那神秘的面纱。

关键词：概念本质；余数；除数；性质

新改版的人教课标版五年级上第三单元在学习了用四舍五入法求商的近似值后，安排了例10（1）小强的妈妈要将2.5kg香油分装在一些玻璃瓶里，每个瓶子最多可装0.4kg。需要准备几个瓶子？（2）王阿姨用一根25m长的红丝带包装礼盒。每个礼盒要用1.5m长的丝带，这些红丝带可以包装多少个礼盒？根据生活需要，一道题用“进一法”求近似值，一道题用“去尾法”求近似值。教学中首先要让学生清楚这两种方法与“四舍五入”的区别，第（1）小题多数学生都会列式计算：2.5÷0.4=6.25（个），有些学生知道6个不够用，用6+1=7（个），有些学生约等于6个，有些学生就等于6.25个。这时可展开讨论，让学生说说哪种答案正确，为什么，最终大家都能理解6个瓶子不够装，剩下的油不能扔掉，所以需要多准备一个瓶子。但剩下多少油呢？部分学生比较困惑，有些学生认为剩下0.25千克的油，如何让学生理解到底剩多少油呢？我认为可以用以下两种方法：

一种方法可以让学生算算6个瓶子能装多少kg的油，用6×0.4=2.4kg，再用2.5-2.4=0.1kg。另一种可以借助学生刚才的除法算式，观察 余下的0.1才是香油的重量，而不是余下的

0.25kg。同样的方法第（2）小题中，25÷1.5=16.666…的含义是不够17个包装盒，到底余下多少红丝带可以模仿第（1）小题求得。

余数给学生带来的困惑还不止这些，这不禁让我想起在苏州大学培训时徐文斌教授给我们讲的一道有余数的问题：在教授三年级下册“除法”练习课时，补充了“612÷2÷4”一题。同学们的解题方法归纳起来有以下三种：

[解法一] 612÷2÷4=306÷4=76……2

[解法二] 612÷2÷4=612÷8=76……4

[解法三] 612÷2÷4=153÷2=76……1

同样一道题，为什么会有不同答案呢？我一时茫然，按说只是不同的解题方法，答案应该是一样的呀，为什么会出现余数不同的结果呢？以前似乎没有遇到过类似问题，也没有认真思考过，听徐文斌教授讲完才知道，余数是相对于除数而言的，这三个算式余数都是除数的一半，化成分数都是1/2，或小数0.5，其实结果相同，只是表达形式不同而已。如果改成应用题可以更好地帮学生理解余数的意义。612个同学，按三个算式的分法来分，最后余几人是否相同呢？按第一种分法，先平均分成2大组，每组再平均分成4小组，每大组余2人，2大组共余4人。而按照第二种分法，直接分成8组，共余4人。按照第三种分法，先平均分成4大组，每一大组再平均分成2小组时都余1人，4大组共余4人。看来总共余4是一样的。关键是要分清余数是相对除数几而言的，这点非常重要，我们再教学有关余数问题时应引起老师们的注意，除了让学生认识到“余数比除数小”以外，还应该让学生认识到这样一个问题，余数与相应的除数有关，余数随着除数的变化而变化，让学生真正理解余数的本质。

余数问题在小学数学中非常重要且应用广泛，余数有如下一些重要性质需要我们了解：（其中a，b，c均为自然数）

（1）余数小于除数。

（2）被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数。

（3）如果a，b除以c的余数相同，那么a与b的差能被c整除。例如，20与14除以3的余数都是2，所以20-14能被3整除。

（4）a与b的和除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之和（或这个和除以c的余数）。例如，28，21除以5的余数分别是3和1，所以（28+21）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时，所求余数等于余数之和再除以c的余数。例如，28，24除以5的余数分别是3和4，所以（28+24）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。

（5）a与b的乘积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）。例如，28，21除以5的余数分别是3和1，所以（28×21）除以5的余数等于3×1=3。注意：当余数之积大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数。例如，28，24除以5的余数分别是3和4，所以（28×24）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数。

运用这些性质，可以巧解很多题目，下面我仅举三道实例：

例1.5122除以一个两位数得到的余数是66，求这个两位数。

分析与解：由性质（2）知，除数×商=被除数-余数。5122-66=5056，5056应是除数的整数倍。将5056分解质因数，得到5056=26×79。由性质（1）知，除数应大于66，再由除数是两位数，得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79，所以这个两位数是79。

例2.有一个整数，用它去除70，110，160得到的三个余数之和是50。求这个数。

分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围。因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16，推知除数大于16。由三个余数之和是50知，除数不应大于70，所以除数在17～70之间。由题意知（7+110+160）-50=290应能被这个数整除。将290分解质因数，得到290=2×5×29，290在17～70之间的约数有29和58。因为110÷58=1……52>50，所以58不合题意。所求整数是29。

例3.求478×296×351除以17的余数。

分析与解：先求出乘积再求余数，计算量较大。根据性质（5），可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数。478，296，351除以17的余数分别为2，7和11，（2×7×11）÷17=9……1。所求余數是1。

由此可见，“余数”知识可以拓展思路，帮助我们思考解题。深刻理解“余数”概念的内涵，探究问题本质，我们任重而道远！真是小小知识点，蕴含大学问啊！

参考文献：

闫银夫.自主学习与创新教育.人民日报出版社，2011-03.