作业讲评“求实、求新、求发展”

沈洲波

一、引言

随着教学改革的不断深入，作业讲评课在提高巩固课堂教学效果中起着非常重要的作用，但一直以来研究得比较少，好多老师拿起一本作业本就开始讲题.讲题时就题论题，不注重系统与拓展，只见知识不见思想，学生急着抄答案，不知其思维过程.这样的作业讲评课收效甚微.今年我市对作业讲评进行了专项培训，我校校本教研的主题也定为作业讲评课有效性的探讨。在教研活动中，本人听了一节《相似三角形的作业讲评课》，令我耳目一新，受益匪浅，现根据这节讲评课的教学片断，结合本人对作业讲评课的一些思考，有了如下的一点收获，与大家一起探讨。

二、课堂教学摘录

1动手实践

师：活动一：给定一张三角形纸片，如何折叠，能折出一个矩形？

定义：如果一个矩形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个矩形叫做三角形的内接矩形.类似的定义三角形的内接正方形。

活动二：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在 个、

个、 个大小不同的内接正方形。

学生在活动一这个环节，很顺利地就折叠出了一个矩形，通过同学之间的相互观察，发现折出的矩形并不一样，有的矩形两个顶点在最长边上，有的两个顶点在次长边上，还有的在最短边上，老师给出了这样的矩形都叫做内接矩形，类似的也定义了内接正方形.有了活动一的经验和同学之间的互相比较，完成活动二就轻而易举了，在小组合作的过程中，得到了钝角三角形中有一个内接正方形，直角三角形中有两个，而不等边的锐角三角形中则有三个内接正方形，同学们经过动手实践，得到了以下几种图形。

点评：一直以来，很多老师的作业讲评课是没有情境创设的，他们的做法是拿起作业本把要讲的几道题目讲完，认为这节课的任务就完成了.但我认为作业讲评课不是简单的照本宣科，而是对作业的再加工，再创造，设计与作业有关的教学情境，使学生更明确今天作业讲解的相关知识，而且有些作业有一定难度，情境创设有利于降低问题的难度，更接近学生知识的生长点.这节课的情境创设设计巧妙，通过学生的动手实践，首先给出了一个新定义，接着，经过同学们进一步动手操作，观察推理，一起来探究三角形中内接正方形的个数，为后面的题目呈现题目解决都作了很好的铺垫，情境创设这本身就是作业讲评的一部分。

2探究发现

师：问题1（全品作业P71页第10题）：如图，正方形PQMN是△ABC的内接正方形，如果BC=12cm， ，高AD=6cm ，求⊿ABC内接正方形PQMN的边长？

生1：我的思路是△ADC∽△MNC， △AEN∽△MNC，利用这两个三角形的对应边之比可以求出正方形边长。

一些学生在这个同学的提示下，写出了比例式，求出了边长.

生2：我的思路是△APN∽△ABC，AE∶AD=PN∶BC，就能求边长。

教师追问，学生1、学生2分别用了相似三角形的哪些性质，通过比较，你认为本题用哪个性质解决起来更为合适.

生3：第一个同学用了相似三角形的对应边成比例，第二个同学用了相似三角形对应高之比等于相似比，从计算量来看，第二个同学的方法更合适。

师：数学思考：如果记BC=a， AD=ha，正方形PQMN的边长xa请用a，ha表示xa.

同学们有了对问题1的解题思路，对这个更一般化的数学思考，它的解决方法与问题1雷同，所以学生能自己解答表示。

点评：对于问题1，它是已做过的一题作业，今天再来看这题，学生对内接三角形有了更清晰的认识，给问题的解决也带来了方便，学生看到平行线很自然联想到相似三角形，有学生用了两次相似（用了两次A型图），有学生用了一次相似，用到一个很重要的性质，相似三角形对应高之比等于相似比.引导学生比较两种方法的优劣，在本题中用后者更为合适，它凸显了相似三角形对应高之比等于相似比的性质。

对于这个数学思考，把具体的问题抽象化，体现了从特殊到一般的数学思想，学生的思维也到达更高的一个层次，看问题也更加一般性。

3实践应用

问题2（全品作业P72页第15题）：如图：一块直角三角形木板的一条直角边AB=3m，AC=4m，工人师傅要把它加工成面积最大正方形桌面，你们有几种方案？

数学思考：（1）直角三角形中，两个顶点都在 上的内接正方形的面积较大。

（2）不等边锐角三角形中，两个顶点都在 上内接正方形的面积最大。

学生有了前面的动手操作，对于第一个问题中最大正方形桌面很快就转化成数学问题，即内接三角形，而直角三角形中的内接三角形已经讨论过了，所以有几种方案学生已了然于心，答案显而易见是两个。

对于这两个数学思考，边长大的正方形，面积也肯定大，所以这几个图形的面积哪个大的问题就转化为求这几个图形边长哪个大，同学们利用相似三角形的性质都能求得内接正方形的边长，所以大小比较问题就可以解决。

点评：在情境创设这个环节中，学生已经认识到在三角形中有多个内接三角形，既然有多个，肯定有大小，所以求面积比大小就成了顺理成章的事，所以这个问题2设计得非常合理，满足了学生探求的欲望.另外学生有了动手操作、分析、计算的经验，给这个问题的解决带来了极大的方便。

4拓展迁移

问题3：如图，扇形OAB的圆心角为450，半径为10，求它的内接正方形的面积。

师生共同分析，要求正方形面积，只要知道边长即可，正方形的其中一条边长ED是这个圆（扇形中的弧是圆的一部分）中一条弦的一半，根据垂径定理，可以利用勾股定理来求得这条ED。

生：连接OE，设ED=X，则OD=2X，4X2+X2=100，所以X2=20，即正方形的面积为20。

点评：这道题目把三角形改成了扇形，使学生认识到内接三角形也可以在其他图形中，而且运用的方法也不仅仅是相似，还可以是勾股定理、垂径定理等等，进一步扩大了学生思维的广度。

问题4（回家作业纸第5题）：在平面直角坐标系中，如图1，将n个边长为1的正方形并排组成矩形OABC， 相邻两边OA和OC分别落在x轴和y轴的正半轴上，设抛物线y=ax2+bx+c（a<0）过矩形顶点B、C。

（1）当n =1时，如果a=-1，试求b的值；

（2）当n=2时，如图2，在矩形OABC上方作一边长为1的正方形EFMN，使EF在线段CB上，如果M，N两点也在抛物线上，求出此时抛物线的解析式；

（3）将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使得点B落到x轴的正半轴上，如果该抛物线同时经过原点O。

①试求当n=3时a的值；

②直接写出a关于n的关系式.

师生共同讨论，解决第一小题的关键是画图，并请同学根据图形来讲解此题思路

生1：当n =1时，画出图形，易得B（1，1），C（0，1），把这两点代入解析式就可以求出b=1

师：第二小题要求抛物线解析式，要知道几个点的坐标

学生齐答：3个

师：根据这个图形的特点，你能快速告诉我这些抛物线上的点的坐标吗

学生思考了一下，说正方形和抛物线都关于抛物线对称轴对称，所以C（0，1），M（0.5，2），B（2，1），这样就能求得解析式为y=-4/3x?+8/3x+1

师：第三小题，求a的值关键是什么

生：求点的坐标

师：能画图吗？

生：能

学生自己画出图形，根据勾股定理和相似三角形知识，求出了B点和C点的坐标，所以抛物线解析式也能求了。

第三小题的第二个问题，学生因为有了第一个问题解决的经验，思考的过程与第一个问题一样，所以把3换成n即可。

点评：这道题目是对内接正方形类似问题的进一步研究，问题的设置起点低，梯度明显，有利于不同层次的学生发挥，此题把观察、论证、构建、探究、计算融合在一起，将正方形、抛物线、直角三角形、相似三角形、方程、函数、旋转变换等初中核心知识融为一体，蕴含着函数思想、数形结合思想、方程思想、转化思想、旋转变换思想等重要的数学思想方法，此题的解决有利于加深学生思维的深度。同时这道题目是学生前一天晚上的作业题，很多同学能解决（1）（2）两题，对于第三题束手无策，此时老师拿出这道题正合学生心意。

三、课后反思

听了吕老师的这节作业讲评课，我对如何通过作业讲评课使学生有较大的收获有自己的一些体会和想法.我觉得一节好的作业讲评课可以从以下几方面入手.

1.作业讲评要注重时间的错时性

由于教学任务重，时间紧，早上先批完作业，再备教案，然后上课，很多时候完成不了，我们可以选择错时讲评.今天布置的作业，明天上午上交，白天详细批改，放学前再发给学生，要求学生回家订正，第三天再上交检查，然后上讲评课，这样讲评起来效果更佳。

2.作业讲评要引起思想上的重视性

要像上新授课一样来准备作业讲评课，做到作业不批不评讲，作业不订正不评讲，不备讲评课教案不评讲，只有有了充分的准备，才能上好讲评课，课堂才会有实效.我们不是为完成任务而讲评，那种只求老师心安，不管学生学习实效的作业讲评课要不得.讲评作业课也要精心设计，如有必要，也要创设问题情境。

3.作业讲评要突出对学生的激励性

教育学家第斯多惠指出：“教育的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞.：作业讲评课的成败应看学生是否知错能改，学人之长，补己之短，有负重进取的精神.讲评课开始时应对成绩好、进步快的学生提出表扬，鼓励其再接再厉，再创佳绩.讲评过程中，对学生的答卷优点，大加推崇.如卷面整洁、解题规范；思路清晰、思维敏捷；解法有独到之外、有创造性等.讲解时可将作业中出现的好的解题思路、方法用投影展示于课堂，也可由学生讲解.作业讲评时要表扬总分高的学生，更要激励学有困难的学生，抓住他们每一个闪光点，哪怕是一个小小步骤的正确，及时地对他肯定，对学生的心理会产生意想不到的效果，这比你多讲一道题目重要的多.要提倡互帮互学的风气，通过小组讨论，学生发言，交流心得，学习经验，让学生知己知彼，坚定学习信念。

4.作业讲评要重视讲解的归类性

①同知识点的题，集中讲评

例如（1）当m为何值时，关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0有两个相等的实数根？此时这两个实数根是多少？

（2）已知关于x的一元二次方程x2+（m-2）x-m-1=0，试说明无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根。

以上两题都考查了根的判别式的知识，将这两题集中讲评可强化这一知识点.

②“形异质同”题，集中讲评

例如一元二次方程作业题

（1）若代数式M=3x2+8，N=2x2+4x，则M与N的大小关系是（ ）。

A. M > N B. M < N

C. M = N D. 不能确定

（2）当α 时，多项式α2-α+1有最小值 .

（3）解方程：x2-8x-984=0

这三个问题看似完全不同，讲评时若有意识地把三个问题进行归类对比，不难发现它们都是用配方法解题，这样在缩短解题时间的同时学生会重新审视配方法的作用.

③、“形同质异”题，集中讲评

例如解直角三角形作业题

（1）如图1，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=150°，则△ABC的面积 .

（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=10，∠BAC=120°，求BC的长及△ABC的面积 .

图1 图2

这两个题目虽然都是求等腰三角形的面积，但却是同一内容的不同方面，在讲评过程中从“形似”的表象中表现“质异”的本质.在认知冲突和方法比较中.消除思维定势的影响，培养学生举一反三的能力，同时提高学生思维的深刻性.

5.讲评作业要抓好题目的典型性

作业讲评切忌眉毛胡子一把抓，从作业的第一题开始，一讲到底，应该在详批作业的基础上，梳理出问题所在，确定本节课的教学目标，从作业中选好题目，抓好典型问题.教师应重在解题思路的分析和点拨，可以引导学生阅读题中的关键字、词、句，挖掘题中的隐含条件；或引导学生回忆题目设计的相关数学知识，挖掘数学概念、数学规律的内涵和外延；或探寻题中的已知因素和未知因素之间的内在联系，再现正确的数学模型，建立方程等，让学生对要解决的问题建立清晰的数学情景。切忌满堂灌输式的面面俱到、蜻蜓点水式的简单肤浅，要针对重点知识、重要解题方法，对具有典型错误的代表题，要精心设疑，耐心点拨启发，并留给学生必要的思维空间，让学生悟深、悟透.讲评课上，教师不要就题论题、孤立地逐题讲解，要透过题中的表面现象，善于抓住问题的本质特征进行开放、发散式讲解。一般可从3个方面进行发散引导：“一题多解”、“一题多联”、“一题多变”、进行“一题多变”，可将原题中的已知条件、结论等进行改动，然后再重新分析、求解。此训练宜由浅入深、步步推进，使不同层次的学生均有所收获.老师在讲解重点、难点题目时，不能只是就题论题，而应该指导这一题目所考查的知识网络化、系统化，使学生能触类旁通，知一懂十。

6.作业讲评要体现学生的自主性

讲评课要给学生参与表达自己思维过程的机会，增加教师与学生、学生与学生讨论问题的时间，允许并提倡学生对“评价”作出“反评价”，即使学生的思维有误， 也应鼓励他们尽量用自己的语言完整的表达出来，以便清楚地了解其学习中的困难究竟发生在何处，存在错误的原因是什么，并且只有在交流中，在思维碰撞中，学生才会有所悟，才能有所收获。所以，为提高作业讲评课的质量，体现学生的自主性，切忌老师包办代替满堂灌；①学生能自己解决的问题，由学生自己解决；②给学生留有自行讲评，展示思维过程的时间；③对学生自己解决有困难的问题，师生共同面对；④作业讲评课后，要让学生带着新的问题走出课堂.

四、写在最后

布鲁纳有句名言：“我们教一个科目，不是去建立一个有关该科目的小型图书馆，而是要学生自行思考，像一名数学家那样去思考数学，像史学家那样去探索历史，投入到获得知识的过程中去.”所以教师在准备一节作业讲评课时要精心，心装学生，归纳技巧，延伸发散，创新思维，让学生在作业讲评中有更大的收获，从而切实提高作业讲评课的教学效率.

参考文献：

（1）丁琳， 叶立军.中美中小学数学家庭作业的比较研究[J].教育探索，2009（1）：136-136.

（2）曹秀华. 基于多元智力理论的分层作业[J]. 教育探索，2006，（11）：40-40 .

（3）钟玲.创设多元化作业，提高数学家庭作业有效性——对数学家庭作业的现状分析和理性思考[J]. 数学教学研究，2008年第9期：35-35.

（4）党维玲.关于数学作业设计的思考[J].宁夏教育科研，2007，（3）：60-60.