数列与不等式考点预测

刘护灵

数列是高中代数的重要内容之一，由于它既具有函数特征，又能构成独特的递推关系，使得它与函数、方程、不等式、解析几何、二项式定理等知识有较紧密的联系，因此它是历年高考数学考查的重点和难点，在高考中占有极其重要的地位. 不等式的知识如同万金油，常常隐藏在其它知识点的题目中考查，尤其是结合数列综合考查较多，本文以谈数列为主，再渗透一些含不等式的数列问题进行预测.

近几年广东高考中的数列总体难度并未降低，除了以考查数列的概念、等差数列和等比数列的基础知识、基本技能和基本思想方法为主，大部分题目特别是解答题都涉及到函数、方程、不等式知识的综合性问题，在解题过程中常用到等价转化、分类讨论、函数与方程等思想方法.可以说，高考数列解答题处在初等数学与高等数学的交汇处，它是以数列知识为载体，融函数、方程、不等式问题于一体，注重考查应用意识、创新意识和综合解题能力为特征，它既可以命制成中档题，也可以命制成难度较大的“次压轴题”.

一、近几年广东高考数列试题统计分析和命题特点归纳

从表 1可以看出，近几年来广东文理可考查的数列知识点几乎相同，我们不妨认为文理考查的知识点相同.在预测 2015 年的数列高考考查的知识点时，假定数列的文理科知识点是一样的.

从命题趋向稳定的11年开始，和2014年新课标地区高考试卷的数列部分，有几个鲜明的特点：

1. 数列的题从分值来看，除 2010年为 5 分，数列在试卷中占的部分比重约为10%至13%，题型都稳定在“一小一大”（即1道小题，1道大题），分值都稳定在19分左右.

2. 选择题和填空题主要考察等差、等比数列的基本概念和性质，突出“小、巧、活”的特点，属于中等偏易题.

3. 从解答题的题型看，除 2007 年外，文理的题型一样；08、09年理科的数列题放在了最后一题压轴的位置，难度极大，似乎为了纠偏，2010年干脆没有命制数列解答题，有点矫枉过正.从 2011 年开始，命题逐步走向稳定，每年都是一道填空题、一道解答题，延续出题“题型稳定，保持风格”的特点，而且解答题稳定得相当“固执”——连续6年都是考察递推数列！尽管命题组饱受各界猛烈批评，说所考的递推数列问题严重超纲，转化方法复杂、费神，但命题专家依然“任凭风吹浪打，我自岿然不动”！原因之一，命题组可能是通过an的特点，“逆向构造”Sn与an的递推关系，使得题目比较“新颖”和公平！

4. 从解题方法看，2007、2008年都是以数列为主要内容的综合题压轴，具有明显的高等数学背景与竞赛数学知识的特点，在后面的几年里，对数列的要求有所将降低，从最基本的等差等比数列出发，研究数列的基本思想和方程思想，考查等差等比数列通项公式和前n项和，以及求和的基本方法，如错位相减法、裂项求和法等.而且命题选材方面源于教材、历年真题，很多都可以找到原型.

例如2013年高考广东理科数列题与2006年高考安徽理科数列题很相似.

有关数列中不等式的问题，前面介绍了几种方法，较常用有：剖析通项{an}的不等关系，运用放缩法（拆成两项之差、放缩后构造等差数列、放缩后构造等比数列），数学归纳法（理科数学）.但运用这些方法时，也不应忘记证明不等式的重要方法（比较法、均值不等式）.有些综合性较强的数列题还常与函数知识交汇，因此，结合函数的单调性去证明不等式的做法也应注意.特别是不等式一边是关于n的指数式或对数式时，还要考虑先构造函数，再用导数知识处理.还有，数列还可以和几何、概率、三角及实际应用问题等相结合进行考察，体现出“在知识的交汇处命题”，考察考生灵活运用知识进行“问题解决”的能力.

（作者单位：广州市第五中学）

责任编校 徐国坚