集合与常用逻辑用语考点预测

黄伟军　戴文锋

2014年高考已过去，2015年高考集合与简易逻辑用语版块怎样考是我们师生都相当关注的问题，本文从广东高考题目中经常考查的集合与简易逻辑用语热点考点的高考考纲要求、命题形式、分值等入手，结合一些最新的高考模拟题进行剖析， 预测2015年高考集合与简易逻辑用语版块的命题方向，旨在帮助学生熟练掌握集合与简易逻辑用语版块问题的解答方法. 供同学们在冲刺阶段时参考.

集合篇

一、考情分析

涉及集合的问题是广东高考中的必考题，一般以选择题、填空题的形式出现，分值为5-10分，重点考查三个方面：一是考查集合的含义及其表示，如2011年广东卷第2题；二是考查集合间的基本关系，如2008年广东卷第1题、2009年广东卷第1题；三是考查集合的基本运算（交、并、补）， 如2007年广东卷第1题， 2010年广东卷第1题、2012年广东卷第2题， 2013年广东卷第1题、2014年广东卷第1题等，是高考的热点内容，主要与不等式、函数的定义域（值域）等知识相结合，考查借助数轴或韦恩图进行集合运算的数形结合思想和基本运算能力，从近几年的考情来看，对于集合的基本运算，高考命题以两个集合的交与补集为主，多与不等式相结合进行考查，在进行两个集合的运算时，多借助于数轴或韦恩图，准确求出相应的集合是解题的关键；四是考查 集合中的信息迁移题， 如2013年广东卷第8题、2014年第8题等 ，以集合中的信息迁移题作为压轴题是近几年广东高考在选择题命题方面的一大亮丽的风景线.

二、热点考题预测

热点一：考查集合的含义、性质及其表示

例1. 已知集合A={1，2，3}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x+y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

分析：解答本题的关键是理解集合B的含义，写出集合B中的所有元素.

解析：由题中集合B所满足的条件，可知集合B中的元素有（1，1），（1，2），（2，1），共3个，故选B.

【点评】本题考查了集合的概念，主要应该分清集合的元素是数集、点集或其他元素的集合，和不同元素集合的正确表示方法，本知识点的考查是每年的必考知识点，在复习时要特别注意一些特殊情形的考虑，例如单元素点集的表示，与空集有关的运算等.

牛刀小试1：已知M={x|y=x2-1}，N={y|y=x2-1}那么M∩N=（ ）

A. ？覫 B. M C. N D. R

提示：M={x|x∈R}，N={y|y≥1}，∴ M∩N=N，故选C.

例2. 设a，b∈R，集合{a，，1}={a2，a+b，0}，求a2015+b2015的值.

分析：因为a为分母，所以a≠0，从而=0，故b=0，所以a2=1，最后求出a，b的值，则问题可解.

解析：由已知得a≠0，从而=0，故b=0，则在集合{{a2，a+b，0}中，a2=1，解得a±1，又a=1时，不合题意，所以a=-1，故a2015+b2015=-1.

【点评】本题主要考查集合的性质，解决集合相关问题常用到集合元素的互异性，一可以作为解题的依据和突破口解决问题，二可以检验所求结果是否正确.

牛刀小试2：已知集合A={1，a，b}，B={a，b，ab}，若A=B，则实数a，b的值分别为 .

提示：由A=B得（I）a2=1，ab=b或（II）a2=b，ab=1，因为a≠1，b≠1，由（I）得a=-1，b=0.由（II）得a3=1，无解.故a=-1，b=0.

热点二：考查集合间的基本关系

例3. 设集合A={x|x2+ax+1=0，x∈R}，B={1，2}，且A？哿B，求实数a的取值范围.

分析：A？哿B意味着中的元素一定是中的元素或者没有元素，以此建立等量关系或不等式.

解析：若A= ？覫，则？驻=a2-4<0，解得-2

若1∈A，则12+a+1=0，解得a=-2，此时A={1}，符合题意；

若2∈A，则22+2a+1=0，，解得a=-，此时A={2，}，符合题意.

综上所述，实数a的取值范围是[-2，2）.

【点评】在解决两个集合关系问题时，避免出错的一个有效手段即是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论.分类时要遵循“不重不漏”的分类原则，然后对每一类情况都要给出问题的解答. 不要忽略对空集的讨论，注意检验.

牛刀小试3：设集合A={x|-1≤x<3}，B={x|m-2≤x≤m+2}. 若A∩（CRB）=A，求实数m的取值范围.

提示∵B={x|m-2≤x≤m+2}，∴？蒿uB={x|xm+2}.

∵A∩（CRB）=A，∴A？哿CRB，∴3≤m-2或m+2<-1，∴m≥5或m<-3.

∴实数m的取值范围为（-∞，-3）∪[5，+∞）.

热点三：考查集合的基本运算

例4. 已知集合A={1，2a}，B={a，b}，若A∩B={}，则A∪B= .

分析：解题时，先由A∩B={}分别求出a，b的值，再求出A∪B.

解析：由A∩B={}可知，∈A，所以2a=，a=-1又∈B，所以b=，则A∪B={-1，，1}.

【点评】本题主要考查集合的交、并运算，考查考生的运算求解能力. 从考查内容上看，广东高考主要以考查概念和计算为主，考查集合的交集、并集、补集且常与不等式联系起来，以小题形式出现.

例5. 已知全集U=R，A={x|-4≤x<2}，B={x|-1

分析： 此类题主要是将不等式在数轴上表示出来.

解析：因为U=R，A={x|-4≤x<2}，B={x|-13}，所以（CuB）∪P={x|x≤0或x≥}.

【点评】当集合是不等式时，求两个集合的交集、补集的运算时，要充分利用数轴来帮助解答.

牛刀小试4：已知I为实数集，M={x|-12}，则M∩（CIN）= .

提示：M={x|-1

热点四：考查集合的创新信息题

例6. 设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}.令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X}，且三条件x

A.（y，z，w）∈S，（x，y，w）？埸S

B.（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S

C.（y，z，w）？埸S，（x，y，w）∈S

D.（y，z，w）？埸S，（x，y，w）？埸S

分析：根据题意我们可以采用取一组特殊值的方法进行验证来解决.

解析：特殊值法，不妨令x=2，y=3，z=4，w=1，则（y，z，w）=（3，4，1）∈S ， （x，y，w）=（2，3，1）∈S ，故选B.

【点评】解此类问题的关键是理解并掌握题目给出的新定义（或新运算）.思路是找到与此新知识有关的所学知识，帮助理解.同时，找出新知识与所学相关知识的不同之处，通过对比加深对新知识的认识.

牛刀小试5：对于两个正整数m，n，定义某种运算“⊙”如下，当m，n都为正偶数或正奇数时，m⊙n=m+n；当中m，n一个为正偶数，另一个为正奇数时，m⊙n=mn，则在此定义下，集合M={（p，q）|p⊙q}=10，p∈N*，q∈N*中元素的个数是 .

提示：若p，q都为正偶数或正奇数时，有p+q=10，解得p=1，q=9，p=2，q=8，p=3，q=7，p=4，q=6，p=5，q=5，p=9，q=1，p=8，q=2，p=7，q=3，p=6，q=4，共9个；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，有pq=10，解得p=1，q=10，p=2，q=5，p=10，q=1，p=5，q=2，共4个，所以总数有13个.

常用逻辑用语篇

一、考情分析

涉及常用逻辑用语的问题在近几年广东高考中出现的频率还是比较高的，一般以选择题、填空题的形式出现，分值为5分，当然也可能是解答题，如2011年高考广东理科第21题就是考查充分性、必要性证明的难题，得分率极低，重点考查三个方面：一是充分条件与必要条件的推理判断问题，如2010年广东卷第5题，预测2015年广东高考，还会是以其他的数学知识为载体进行考查，如与函数、不等式、数列、解析几何、立体几何等内容相结合进行考查；充分必要条件的判定方法有定义法、集合法、等价转换法；二是四种命题及其相互关系、含有逻辑联结词的命题的真假判断的考查，如2008年广东卷，预测2015年广东高考，对于命题的真假判断、给出一个命题写出它的其它三种命题并判断真假仍然是考试的热点，对于四种命题、逻辑联结词，常和函数、方程、三角、立体几何、解析几何等知识点结合进行考查；三是全称命题与特称命题的真假判断及其写出其否定形式，近几年广东新课标高考还没有考查过，预测2015年广东高考，这部分出题的可能性极高.

二、热点考题预测

热点五：充分必要条件

例7.“a<1”是“一元二次方程x2+2x+a=0有实数解”的

条件.

分析：我们把“a<1”看作是P，“一元二次方程x2+2x+a=0有实数解” 看作是q，为此解答本题的关键是由一元二次方程x2+2x+a=0有实数解，根据方程的判别式？驻>0得到a的范围或利用配方法及非负数的意义得到a的范围，再借助充分、必要的含义来判断即可.

解析：设p：“a<1”，q：“一元二次方程x2+2x+a=0有实数解”，由x2+2x+a=0有实数解知，4-4a≥0？圳a≤1，即p：“a<1”，q：“a≤1”，p ？圯q，反之不成立，故填“充分不必要”.

【点评】高考考纲要求是理解必要条件、充分条件与充要条件的意义. 利用定义法判断命题充要条件的核心就是判断充分性及必要性是否成立，其基本步骤是①定条件：确定哪是条件，哪是结论②找推理式：确定p与q中哪一个能推出哪一个；③下结论：根据推理式和定义下结论. 若A，B都是集合，则有下列结论：①A？哿B，则A是B的充分条件；②A？勐B，则A是B的必要条件；③A=B，则A是B的充要条件.

牛刀小试6：若集合A={1，m2}，B={2，4}，则“m=2”是“A∩B={4}”的 .

提示：当m=2时，A={1，4}，B={2，4}，则有A∩B={4}，当A∩B={4}时，不能得到m=2，因为m=-2也合题意，所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件.

热点六：四种命题及其相互关系

例8. 命题“若函数f（x）=logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是（ ）

A. 若loga2<0，则函数f（x）=logax（a>0，a≠1）在其定义域内不是减函数

B. 若loga2≥0，则函数f（x）=logax（a>0，a≠1）在其定义域内不是减函数

C. 若loga2<0，则函数f（x）=logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数

D. 若loga2≥0，则函数f（x）=logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数

分析：因为命题是“若p，则q”的形式，所以要写出它的逆否命题，只需同时否定条件p与结论q，然后互换即可，即为“若，则”.

解析： 依题意为函数f（x）=logax（a>0，a≠1）在其定义域内不是减函数；为loga2≥0，故选B.

【点评】高考考纲要求是了解“若p则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题.理解命题的概念，会分析四种命题的关系由一命题作为原命题写出它的其它命题时，可以按相应命题的形式进行，注意有大前提条件的条件应保留在条件中.

牛刀小试7：下列说法中正确的是（ ）

A.“a>b，c<0 ”与“a+c>b+c”不等价

B. 一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真

C. 一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真

D.“x2+y2=0，则x，y全为0”的逆否命题是“若x，y全不为0， 则x2+y2≠0”

提示：“a>b，c<0”与“a+c>b+c ”等价，A不正确；一个命题的逆命题为真，则它的否命题不一定为真，B不正确；否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性，所以正确，故选C.

热点七：全称量词与存在量词

例9. 已知命题p：？坌x1，x2∈R，（f（x2）-f（x1））（x2-x1）≥0，则是（ ）

A. ？埚x1，x2∈R，（f（x2）-f（x1））（x2-x1）≤0

B. ？坌x1，x2∈R，（f（x2）-f（x1））（x2-x1）≤0

C. ？埚x1，x2∈R，（f（x2）-f（x1））（x2-x1）<0

D. ？坌x1，x2∈R，（f（x2）-f（x1））（x2-x1）<0

分析：的意思是命题的否定.本题含有全称量词“任意”，否定时只需把全称量词改为存在量词，同时把结论否定即可.

解析：命题p为全称命题，所以其否定应是特称命题，又命题（f（x2）-f（x1））（x2-x1）≥0的否定为（f（x2）-f（x1））（x2-x1）<0，故选C.

【点评】高考考纲要求是理解全称量词与存在量词的意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定.对于含量词的命题的否定只对“量”进行否定即可，且得出以下结论：全称命题p：？坌x∈M，p（x），的否定为 ：？埚x∈M，（x）；特称命题p：？埚x∈M，p（x）的否定为：？坌x∈M，（x）.

牛刀小试8：已知命题p：？坌x∈R，cosx≤1，则是 .

提示：因为全称命题的否定形式是特称命题，所以“”形式的命题是？埚x∈R，cosx>1.

热点八：四个考点的综合考查

例10. 已知下列命题：①命题“若？埚x∈R，x2+1>3x”的否定是“若？坌x∈R，x2+1<3x”； ②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“∧”为真命题；③“ a>2”是“ a>5”的充分不必要条件；④命题“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题是真命题. 其中所有真命题的序号是 .

分析：判断一个命题为假时，只需用特殊值法，举出一个反例即可，而判断一个命题为真时则要严格推理，有时还可以用反证法，将每一个问题逐一判断其正误即可.

解析：命题“若？埚x∈R，x2+1>3x”的否定是“若？坌x∈R，x2+1>3x”，故①错；“p∨q”为假命题，说明p与q均为假命题，则“∧”为真命题，②对a>5？圯a>2；反过来不成立，所以“ a>2”是“ a>5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy=0，则x=0或y=0”，所以原命题为假命题，则它的逆否命题为假命题.故④错，故填②.

【点评】将充要条件、四个命题及其关系、简单的逻辑联结词、全称命题与特称命题这四个考点放在一起利用填空题（或选择题）的形式来进行考查也是高考命题的一种方向，这种题型较灵活，考查的知识点多面广.

例11. 已知命题p：“若 x>1，则lgx >0”，命题q：“？坌x∈R，2x≥1”则下列命题中为真命题的是（ ）

A. （∨q） B. p∨ q C. （）∧（） D. （）∨（）

分析：解答含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假性的判断问题的关键是先判断命题p、命题q的真假，再结合真值表逐一判断即可.

解析：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，则为假命题，为真命题，对于A，与q为假命题，故（）∨q为假命题；对于B，因为q为假命题，故p∨q为假命题；对于C，因为为假命题，故（）∧（）为假命题；从而上述叙述中只有（）∨（）为真命题，选D.

【点评】高考考纲要求是了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义. 本题是含有逻辑联结词“或”“且”“非”的命题的真假性的判断问题，解决这类问题的关键是先判断命题p与q的真假，而p∨q，p∧q，的形式的命题的真假性判断的诀窍分别是一真即真、一假即假、非假即真（非真即假）.

牛刀小试9：已知命题p：实数m满足m-1≤0，命题q：函数y=（9-4m）x是增函数.若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数m的取值范围为 .

提示：命题p为真时，实数m满足m-1≤0，从而m≤1；命题q为真时，9-4m>1？圯m<2.若p或q为真命题，p且q为假命题，故p和q中只有一个是真命题，一个是假命题. 若p为真，q为假时，无解；p若为假，q为真时，结果为1

备考建议篇

广东高考对集合与简易逻辑部分的命题是以选择题、填空题为主， 主要考查考生的基础知识、基本技能，题目多是容易题，在复习备考冲刺中，建议同学们一定要牢牢掌握好基础知识，平时考试、训练要重视应用通性通法解题，要加强对基本知识、基本方法、基本技能的运用，不要做难题，应尽力完善知识体系，消除知识漏洞，做到方法到位，思路清晰，学会灵活转化，能够透过现象看本质.

（作者单位：五华县五华中学）

责任编校 徐国坚