不等式与不等式组”导学

田载今

人教版初中数学教科书的“不等式与不等式组”一章的主要内容有：不等式的基本概念与性质，一元一次不等式及其解法、应用，一元一次不等式组及其解法.通过学习这些内容，同学们会对表示不等关系的数学模型——不等式（组）形成初步的认识.

一、不苍式是表示不等关系的数学模型

设a、b是任意两个实数，则它们的大小关系有三种可能：（1）a大于b，记作a>b；（2）a等于b，记作a=b；（3）a小于b，记作a”和“<”分别表示大于和小于的关系，它们连同“≠”（仅表示不相等，未指明谁大谁小），都属于不等号.

有些问题中，数量之间存在相等关系.等式是表达相等关系的式子，方程是含有未知数的等式.利用等式（包括方程）可以解决相等关系问题.

有些问题中，数量之间存在不等关系.不等式是用不等号连接两个数量的式子，它是表示不等关系的数学模型，是解决不等关系问题的重要T_具，例如，有两根长度分别为2 cm和3cm的木条，再找一根多长的木条就能摆成一个三角形？设第i根木条长xcm，根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，可以列出2+3>x和3-2

能使方程中的相等关系成立的未知数的值叫作方程的解，类似地，能使不等式中的不等关系成立的未知数的值叫作不等式的解.方程的解通常是一个或几个确定的值，如方程x+1=2的解是x=1，方程X2=1的解是x=±1；而不等式的解通常是一个或几个范围内的任意数.例如，任一个比1大的数都是不等式x+1>2的解，任一个比1小的数都是不等式x+1<2的解.一个不等式的全部解所组成的集合，叫作这个不等式的解集.例如，不等式x+1>2的解集为x>1，不等式x+1<2的解集为x<1.解方程是求方程的解，而解不等式是求不等式的解集.含有一个未知数的不等式的解集，可以用数轴来直观地表示.例如，图1和图2分别表示不等式x+1>2和x+1<2的解集.

二、对比等式的性质认识不等工的性质

我们先回顾等式的性质：（1）等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），等式仍成立；（2）等式两边乘（或除以）同一个数（除数不为0），等式仍成立，这两条性质可以用式子表示为：（1）若a=b，则a+c=b±c；（2）若a=b，则ac=bc.a/b=b/d.等式的性质是等式变形（包括解方程）的依据.

不等式与等式在性质上既有相似之处，又有不同之处.不等式的基本性质可归纳为以下三条：（1）不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，这三条性质可以用式子表示为：（1）若a>b，则。±c>6±c；（2）若a>b，c>0，则ac>bc，a/b>b/c；（3）若a>b，c<0，则ac<

三、联系一元一次方程认识一元一次不等式

一元一次不等式及其解法与一元一次方程及其解法有许多相似之处.一元一次不等式中出现的都是整式，其中只含一个未知数，并且含未知数的项的次数都是1.把一元一次方程中的等号换成不等号，得到的就是一元一次不等式，这就是说，两者的差别仅是一个含有等号，另一个含有不等号.解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤大体一样，但有两点需要注意：（1）不等式两边乘（或除以）同一个不为O的数时，要根据这个数的正负考虑不等号的方向；（2）解不等式的结果是得到未知数的取值范围，而不是一个确定的值.

利用一元一次不等式解决实际问题与利用一元一次方程解决实际问题也十分相似，不同之处在于列方程要依据相等关系，而列不等式要依据不等关系，因此一定要分析出相关的两个数量谁大谁小，并正确地用不等号把表示这两个数量的式子连接起来.

同学们学习了不等式与不等式组以后，就能更好地分析和解决不等关系问题，并能发现我们学过的等式、方程和方程组等知识与新知识之间的联系.