平面向量的坐标应用

徐文晖

向量的坐标反映的是向量的大小和方向，引入向量的坐标可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，使得用向量求解有关问题会更加方便。下面举例分析，供大家参考。

一、平面向量的坐标运算

例1 已知三点A（1，-2），B（7，0），C（-5，6），用坐标表示向量

解：由，可得

评析：向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行的。

二、向量平行的坐标表示

侧2 已知A，B，C三点的坐标分别为（-l，

求证：

证明：由题意得

设点E，F的坐标分别为

因为，所以，可得

由，可得。

评析：若向量，满足（或），则a∥b。

三、三点共线问题

__.________

例3 已知16），求证：A，B，C三点共线。

证明：（-2，-4）。

由4×（-4）-8×（-2）=0，可知，又它们有公共点B，所以A，B，C三点共线。

例4 在平面直角坐标系xOy中，点A（4，O），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标。

解：设点P的坐标为（x，y）。

由，得4x-4y=O，即x-y=0 ①。

由，且，可得-6×（x-2）-2×（y-6）=0，即3x+y-12=0②。

由①②解得即点P的坐标为（3，3）。

评析：A，B，C三点共线<=>与共线。

四、利用向量的坐标解决平面几何问题

例5 已知点A（2，3），B（5，4），C（7，lO）及

（l）当λ为何值时，点P在第一、三象限的角平分线上？

（2）若点P在第三象限内，求λ的取值范围。

（3）四边形ABCP能为平行四边形吗？若能，求出相应的λ值；若不能，请说明理由。

解：设点P的坐标为（x，y），则y-3）。

由，得（x-2，y-3）=（3，1）+λ（5，7），所以即可得点P的坐标为（5λ+5，7λ+4）。

（l）当点P在第一、三象限的角平分线上时，5λ+5=7λ+4，解得。

（2）当点P在第三象限时，可得解得λ<-1，即A的取值范围为（一∞，-l）。

（3）。若四边形ABCP为平行四边形，则，即得方程组可知此方程组无解，所以四边形ABCP不能为平行四边形。

评析：找到点P的坐标与λ的关系是解答本题的关键。