分数布朗运动驱动的随机泛函微分方程mild解的稳定性

欧阳通

【摘要】本文考虑一类由分数布朗运动驱动下的随机时滞泛函微分方程，利用不动点理论研究方程mild解均方指数稳定性.

【关键词】不动点； 指数稳定； 随机微分方程

0.引 言

近年来，对分数布朗运动驱动的随机微分方程mild解的研究日趋活跃.本文研究f（t，0，0）=0时分数布朗运动驱动的随机时滞泛函微分方程

dx（t）=（Ax（t）+f（t，x（t），xt））dt+g（t）dBQH（t）， t∈[0，T]，x（t） =φ（t），-r≤t≤0，（1）

mild解存在唯一性及均方指数稳定性问题.

1.相关概念及主要结果

设{Ω，F，P}是完备的概率空间，具有通常条件的流{Ft}t≥0.记（U，|·|u，〈·〉U）（V，|·|v，<·>v）是可分的Hilbert空間，L（V，U）表示所有V到U的有界线性算子空间，Q∈L（V，V）是一个非负自伴算子，L0Q（V，U）表示所有ξ∈L（V，U）满足ξQ12是一个Hilbert-Schmidt算子的空间.

引理A[1]对任φ：[0，T]→L0Q（V，U）满足∑∞n=1‖φQ12en‖LH1（[O，T]；U）<∞

，其中en是标准正交基，则对任α，β∈[O，T]，α>β，若∑∞n=1||φQ12en||U一致收敛，则E∫t0φ（s）dBQH（s）2U≤cH（2H-1）t2H-1∫t0φ（s）|2LQO（V，U）ds

（1.1）.

定义1 若x∈c（-r，T；L2（Ω，U）），当t∈[-r，0]，x（t）=φ（t）；当t∈[0，T]，x（t）=S（t）φ（0）+∫t0S（t-s）f（s，x（s），xs）ds+∫t0S（t-s）g（s）dBHQ（s），则U-值过程x（t）叫做方程（1）的mild解.

为解决稳定性问题，假设下列条件成立：

（H1）S（·） 是强连续半群，A为其无穷小算子.设S（t）U≤Me-λt，M，λ>0，t≥0.

（H2）xt（s）=x（t+s），s∈[-r，0]，对任x，y∈c（-r，T；L2（Ω，U）），t∈[0，T]，存在一个常数cb>0满足：|f（t，x（t），xt）-f（t，y（t），yt）|2U≤cb（|x（t）-y（t）|2U+|xt-yt|2U）.

（H3） 函数g（t）：[0，T]→L0Q（V，U）满足引理A中条件，且∫∞0eλsg（s）2L0Q（V，U）<∞.

定理1若（H1）- （H3）成立，且η=Mλ2cb<1，则方程（1）存在唯一均方稳定mild解.

2. 定理1的证明

证明 S表示所有F-适应过程（t，w）：[-r，∞）×Ω→ R的Banach空间，对固定点w∈Ω，（t，w）关于t几乎处处连续的.此外，（s，w）=φ（s），s∈[-r，0]；t→∞，eαtE（t，w）2U→0，其中0<α<λ，不妨令λ=α+β.且‖‖s=supt≥-rE（s，w）2.

定义映射π：（πx）（t）=φ（t），t∈[-r，0]；

（πx）（t）=s（t）φ（0）+∫t0s（t-s）f（s，x（s），xs）ds+∫t0s（t-s）g（s）dBQH（s）=∑3i-1Ii（t），t≥0. （2.1）

先证均方连续性.设x∈S，t≥0且θ充分小，则E|（πx）（t1+θ）-（πx）（t1）|2U≤3∑3i=1E|Ii（t1+θ）-Ii（t1）|2U

.

显然，i=1，2，有E|Ii（t1+θ）-Ii（t1）|2U→0.此外，由（1.1）容易得到

E|I3（t1+θ）-I3（t1）|2U→0.

因此连续性成立.下面证明π（S）S.由（2.1）有

eatE|（πX）（t）|2U≤3eatE|s（t）φ（0）|2U+3eatE∫0ts（t-s）f（s，x（s），xs）ds2U+3eatE∫0ts（t-s）g（s）dBQH（s）2U.（2.2）

当t→∞时，估算（2.2）式右边的三项：

3eatE|s（t）φ（0）|2U≤3M2e-（2λ-α）t‖φ（0）‖→0.

由赫尔德不等式、条件（H1）-（H3）及λ=α+β，得

3eαtE∫t0S（t-s）f（s，x（s），xs）ds2U→0

3eαtE∫t0S（t-s）g（s）dBHQ（s）2U→0

.从上式可知π（S）S.最后我们证明映射π是压缩的.对x，y∈S有

Esups∈[0，T]（πx）（s）-（πy）（s）2u≤2M2cbλ2sups∈[0，T]Ex（s）-y（s）2u

.故当η=Mλ2cb<1时，π是压缩映射.由压缩映射原理，π在空间S上有唯一的不动点x（t），x（t）是方程（1）的解，并且当t→∞，eαtEx（t）2U→0.证毕.