费马猜想的初等证明费马猜想的初等证明

畅飞

【摘要】根据费马猜想等式Xn+Yn=Zn成立时X，Y，Z三整數奇偶性的要求，对其中的两数进行一个对称性的设值（如X=a-d，Z=a+d），根据二项式定理展开其N次方，合并同类项，研究发现，除n=1及n=2外，合并后多项式的内在特征性使其不能表示为某一整数的N次方，继而证明，当整数n>2时，Xn+Yn=Zn无正整数解，从而提出了一种费马猜想的初等数学证明方法，提示对于费马猜想来说，可能确实存在一种费马当年“巧妙的证明方法”.

【关键词】费马猜想；二项式定理；初等数学

三百多年前，法国数学家费马提出：当整数n>2时，Xn+Yn=Zn无正整数解，其中xyz≠0，这就是著名的费马猜想[1]，该问题从提出到1994年被英国数学家安德鲁·怀尔斯解决，整整历时358年.一代又一代数学家和数学爱好者为此付出过艰辛的努力.有趣的是，三百多年前，费马本人在一本书的旁边写到：“我已发现了一种巧妙的证法，可惜这里空白太小，写不下[2]”，由于怀尔斯的数学证明足足有600多页，今天几乎所有数学家都认为费马当年并没有证明费马猜想.不过笔者认为，数学家是严谨的，一贯秉承实事求是的科学精神，尤其是对于费马这样的大数学家来说，完全没有必要也不可能去记录自己没有证明的数学方法或灵感.根据费马之后300多年的数学发展史分析，有一点可以肯定的是，费马的“巧妙证法”应该是一种初等数学的证明方法，唯有此，才有可能是一页书的旁白不能写下，而不是需要一整本书才能写下.在这种思维指导下，笔者发现了如下的费马猜想证明方法，不敢说就是费马的证明方法，至少是一种探索吧，供大家参考.

费马猜想：

当n>2时，Xn+Yn=Zn无正整数解，其中xyz≠0.

证明：对于X，Y，Z的奇偶性要求，若要等式成立，考虑以下两种情况：

1.奇（Xn） +偶（Yn）=奇（Zn），

2.奇（Xn） +奇（Yn）=偶（Zn）.下面就情况1作讲解：

设X=a-d，Z=a+d，由X、Z的奇数性可知，a和d必一奇一偶.得出：（a-d）n+ Yn=（a+d）n.

根据二项式定理[3]：（a+d） n=∑nk=0Cknan-kdk展开上式：

C0nan-0d0

C1nan-1d1

C2nan-2d2

C3nan-3d3……+Yn=Zn=

C0nan-0d0

C1nan-1d1

C2nan-2d2+C3nan-3d3……

合并同类项后有：

Yn=2（C1nan-1d1+C3nan-3d3+……），

为保证等式A的右边是一整数的n次方，首先须提取公因式andn，有：

Yn=2andn（C1nadn-1

+C3na3dn-3+……） （等式A）

初步讨论n的自然数取值，了解Yn的一般规律和使Y有整数解的内在要求.

1.当n=1时，Y1=2ada=2d，显然成立.

2.当n=2时，Y2=2a2d2·2ad=2·2ad，Y=2

，只要a乘d为平方数时，Y即可为整数.

3.当n=3时，Y3=2a3d3（3ad2+1a3），只要a>1，d>1，括号内分数多项式和为分数，而要整个Y3有23因子，必须使括号内的分数多项式的和等于22，此种情况仅有当a=d=1时才成立，而此时和a与d一奇一偶矛盾，且导致X=0，与费马猜想的题设矛盾，故n=3时，费马等式无正整数解.

不失一般性，当n>2时（n=3，4，5，6，7，8……），

由于有组合公式：C1n+C3n+C5n……=2n-1，因此

研究等式A的多项式组合特征，发现当且仅当a=d=1时，

等式A中Yn=2andn（C1n+C3n+C5n……）=2andn*2n-1=（2ad）n，

此时，Yn才为完全n次方数，Y才能为正整数.但此时X=a-d=0，与题设X，Y，Z任一不为0矛盾.（情况2的证明同情况1）

综合以上可知：当n>2时，Xn+Yn=Zn无正整数解.

【参考文献】

[1].埃伯哈德·蔡德勒[德]等.数学指南[M].北京：科学出版社，2012.806，826.

[2]西蒙·辛格.费马大定理—一个困惑了世间智者358年的谜[M].上海：上海译文出版社，2005.

[3].埃伯哈德·蔡德勒[德]等.数学指南[M].北京：科学出版社，2012.29.