抓住问题本质 还原向量色彩

顾红俏

【摘要】在教学中，笔者发现一个奇怪的问题，部分学生用法向量求二面角大小时不能准确判断法向量夹角与二面角大小的关系.为此，本文就向量法求二面角大小的教学提出解题策略和教学思考.

【关键词】二面角；法向量；法向量夹角；里面；外面

一、意料之外

在高二年级立体几何教学中，笔者给学生布置了一道作业题：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD1-B1大小.本以为一道平常的二面角求解问题，可是笔者所教的两个班级中竟然有三分之一学生出错，这让我感到非常惊讶，问题到底出现在哪里呢？

二、抓住问题本质

使用几何法的学生，多数学生的计算结果是正确的；可是用法向量求二面角大小的学生，多数计算结果是错误的.因此，笔者决定在作业讲评时把向量法求二面角大小作为重点.

不妨了解一下学生用向量法解题的过程（多媒体展示）.

解 建立空间直角坐标系D-xyz公式

三、还原向量色彩

图 11.认清向量相对于平面的方向

如图1，在空间直角坐标系O-xyz中，向量n=0，0，1是平面xOy法向量，方向向上，向量n=0，0，-1方向向下.

若n=1，2，3是平面ABC的法向量，那么该向量的方向怎样确定呢？其实在三个轴上的非零分量看哪一个都可以，在x轴（y轴，z轴）上的分量大于0（小于0）时，向量方向指向x轴（y轴，z轴）正向（负向）方向.

2.弄清法向量在二面角中的方向

我们知道，二面角范围是[0°，180°]，设平面α，β的法向量分别为n1，n2，法向量与二面角的空间位置存在四种形式（如图2，图3，图4，图5），笔者给它们分别取名字，图2中的两个法向量都指向二面角的里面；图3中的两个法向量都指向二面角的外面；图4中的法向量n1指向二面角的里面，法向量n2指向二面角的外面；图5中的法向量n1指向二面角的外面，法向量n2指向二面角的里面.

3.确定二面角大小与法向量夹角的关系（师生共同讨论，证明）

定理1 若二面角的法向量都向二面角里面，则二面角大小与法向量夹角互补.

图 6已知：如图6，二面角α-l-β，设其大小为θ，α，β的

法向量分别为n1，n2，且都向二面角里面.

求證：θ+=180°.

证明：如图6，设法向量n1与n2相交于点P，

n1与n2所在直线与平面α，β分别相交于点A，B，l∩平面PAB=C.则l⊥AC，l⊥BC，

所以∠ACB为二面角α-l-β的平面角.在平面四边形PACB中，

∠PAC+∠PBC=180°.所以∠ACB+∠APB=180°，故θ+