高考数学试题分析及思考探究

李功慧

【摘要】“注重通性通法，淡化解题技巧”是数学《大纲》中一贯坚持的口号，而且每年的高考试卷都体现了这一思想，所以在复习的过程中，仅仅有知识的累积还远远不够，还要注意归纳方法、类比总结数学思想、掌握常见的通用的解题方法，才能在琐碎的知识点间做到游刃有余、化腐朽为神奇.

【关键词】向量数量积；代数形式；几何形式

在高三的复习中，我们要在琐碎、繁杂的知识点间做到胸有成竹、游刃有余，就要注重归纳和整理.这时候，一题多解固然必要，但是多题一法却显得尤为重要和具有普遍意义.“通性”就是概念所反映的数学基本性质；“通法”就是概念所蕴含的思想方法，针对某一类题型所用的一贯套路进行求解.下面我想针对向量数量积具体题目，谈谈重视什么才是追求数学教学的“长期效益”？

图 1例1 （2013年陕西宝鸡第三次模拟）a=（0，1），b=（1，0）且（a-c）·（b-c）=0，则c的最大值是.

设c=（x，y），则a-c=（-x，1-y），b-c=（1-x，-y）

由已知（a-c）·（b-c）=0，所以得：（-x）（1-x）+（-y）（1-y）=0，

整理得：x-122+y-122=12，所以如图1：

c=（x，y）的起点为原点O，终点在圆x-122+y-122=12上运动，

所以c≤ 12-02+12-02+22=2.

评注 几何解法中抓住向量数量积的坐标运算，构造出以圆为背景的图形，将向量模的最值问题转化为圆上的点到坐标原点的距离的最大（小）值的问题，把向量问题几何化，解法直观明了，但学生对转化和化归思想显得有些力所不及.代数方法用到了向量数量积的意义，数量积不等式，解一元二次不等式等知识，而这几部分知识都是高中数学课程中的基本概念与运算，学生易于掌握和按部就班地做下去.

变式1 （2009年全国高考题）已知a=b=c=1，a·b=0，则a-c·b-c的最小值为（ ）

A.-2 B.2-2 C.-1 D.1-2

几何解法 由已知设OA=a，OB=b，OC=c，因为a=b=c=1，a·b=0，

图 2所以如图2，A，B，C三点均在单位圆上，而且OA⊥OB，不妨设A，B两点分别在x轴和y轴上，当点C在劣弧AB上时，易知

∠ACB=135°，

a-c·b-c=ACBCcos135°=-22ACBC.

在△ABC中由余弦定理，得

AB2=AC2+BC2-2ACBCcos135°，即AC2+BC2+2ACBC=2，

所以，2≥2ACBC+2ACBCACBC≤2-2，

当点C在优弧上时，∠ACB=45°，

a-c·b-c=ACBCcos45°=22ACBC.

显然此时a-c·b-c的值是大于零的.

综上，a-c·b-c=-22ACBC≥-22×2-2=1-2，

故选D.

代数解法 a-c·b-c=a·b-a·c-c·b+c2

因为a=b=c=1，a·b=0，所以a+b=1.

a-c·b-c=-c·（a+b）+1=-c·a+bcos（c，a+b）+1≤-1×2+1=1-2.

故选D.

评注 例1是已知数量积和垂直关系，求模的最大值，而变式1则是已知垂直和模，求数量积的最小值.题目都是从数量积，向量垂直和向量的模出发，结合数量积的几何意义考查学生应用知识的能力，但针对本题而言，几何解法用到了余弦定理、基本不等式等基本解題思路，而且用到了化归思想和分类思想，这使得该题给同学们一种“小题大做”的感觉；而代数解法从数量积的定义出发，结合一个角的余弦值最大为1，就轻而易举的解出了本题.通性通法在这里发挥了它的“神奇”作用.