论放缩法在高中数列与不等式中的运用

田冲

【摘要】数列与不等式是高中数学课程的精华，在高中数学教学中占有重要地位.其中，不等式的主要教学特点是通过对不等式本质的分析与讲解，充分利用不等式的实际应用特点处理生活问题，从而让学生感受到数列与不等式的优越性，提升学生将理论结合实际的应变能力.为此，本文就通过笔者自身经验，突出以放缩法作为探讨对象，通过对高中数列与不等式的分析，阐述放缩法在其中的巧妙应用.

【关键词】放缩法；高中数列；不等式运用

引 言

高中数列与不等式通常是指包含有an，sn或者是带有n前缀的式子，数列不等式的命题在高考知识点中发挥着关键作用，也必定是热点考察知识的重要体现.但是，数列与不等式是一项综合性的知识链接，应用的范围和要求基础较高，也具有相当灵活的变换特点，因此就具备了一定的学习难度.在数列与不等式的学习过程中，利用放缩法去解决应用问题既是便捷途径，却也是困难途径，诸多学生在实际的学习处理过程中感到吃力，对解题思路和放缩法的理解不到位.

一、对放缩法的应用把握

对放缩法的应用把握就是指对放缩力度的大小，以及放缩精细的程度，以达到预定的标准.通过对题目类型的把握，迅速的找到解题突破口，逐渐培养学生严谨的思考能力和学习兴趣，发现数学中数列不等式的内在魅力，认识到放缩法在解决此类问题中的有效性.

1.分组的放缩形式

在实际计算中可以通过分组的放缩形式来达到预期结果，例如在使用放缩法处理多项式的过程中，就可以采用分组的放缩形式来进行结果运算.

2.部分的放缩形式

为了避免在放缩过程中出现超出预期效果的大小范围，就采用了一部分不动，另一部分进行相应变化的部分放缩形式.

3.逐步放缩的形式

假如面临的是多个不同样式的放缩结果，并且出现了结果之间的互异性，最简便的办法就是对计算逐步进行，这种放缩方式可以最大限度的提升放缩的精度大小.

4.宏观的放缩形式

宏观放缩主要就是说如果运算过程中存在可以推导得出的等式，或是已经存在的等式，就可以对存在组合性质的元素进行等式重构，并对残留的部分执行放缩过程.宏观上的放缩形式最大的优势就是对精度的提升，方便解题的准确性和便捷性.

二、单调的函数放缩法形式

参照具体的题目类型和所提供的信息，对等式架构进行重构，得到新的单调函数，并对其进行下一步放缩，从而得到结果.比如说：在某例题中为求任何正整数对于等式都成立的问题，就可以对其进行单调函数放缩，因为直接做差，难以找到切入点.而得到该函数的单调性能却是比较容易的，定义域的范围为正整数范围，排除导数的可能性，通过计算可以找到解题思绪，但是依然困难重重，很难下手.但是，数列有着特殊的函数性质，它呈现的是一种单调状态，就会得到函数存在的单调特点.

三、放缩形式存在的效果

防缩变形在根本上区别于恒等变形，放缩变形无论是在形式上，还是空间上都给人们提供了更多的可能性，可以自由的创造更大空间和添加更多计算的局部内容.使得放缩后的计算形式达到简化效果，结构明了，具体一定的规律性，从而很好的解决问题，实现放缩形式作用的最大化.本文以下题为例讲述：{bn}在符合b1大于等于1，bn+1=bn的平方减去n-2的值乘以bn加三，Tn+3+1比b1的值加上3加1比b2的值，一直加到1比3加bn的值，问题是求证tn小于二分之一.因为bn加三等于bn乘以bn减去n的值，再加上2乘以bn加三的值，又因为bn大于等于n的值，所以得出bn+1加3大于等于2乘以bn+3的值，n属于正整数，运用跌乘计算得出bn加三的大于等于2n-1乘以b1+3大于等于2n+1.所以1比bn+3的值小于等于1比2n+1.n属于正整数，因此得出结论：Tn小于等于1比2的二次的值加上1比二的三次的值，再加上1比2的四次的值，一直加到1比2的N次值之比等于二分之一减去1比2的n+1次的值，值数小于二分之一.由此看出，把握题目特征对其进行变形，接着删掉其中一个正项，这种计算手法是放缩在不等式中最常用的技法，假如此题在放缩计算后进行分裂项，进行数学归纳等是无法实现的，这也说明了放缩形式中的很多问题.

四、采用放缩形式的注意事项和计算方法

首先要对放缩的大小方向做到心中有数，无论是放大缩小都必须针对结论而言，针对的大小数值呈现反向动作，也就是计算结果大于标准项则进行缩小，小于标准项则进行扩大.除此之外，针对放缩的项数可以从第一二三项分别开始，也大可不必是对所有的存在项进行统一放缩.在放缩法的一般形式与常用技巧中，其一是对于根式的放缩形式，其二是对于分式分子分母的大小缩放，适用的规律一般为真分数分子分母一块减掉同样的正数，呈现变大趋势，假分数的分子分母一块减掉某个正数，呈现的是递减趋势.其三是在传统不等式的基础上进行放缩操作，其四是对于二项式的定理收缩形式，其五是针对特殊情况采用舍弃添加某些项数.

五、结 语

综上所述，正确掌握收缩尺度的大小，对于放缩法的正确运用具有重要意义.必须通过不断的思考锻炼，认识到题目本质的考察方向特性，才能对计算流程有一个足够的认识，把复杂的解题过程规模化.比如说在构建函数的过程中，如果前后的不等号出现差别，无法对其单调性进行准确判断，这时运用单调函数去解决该类问题就显得不合时宜.进行略微的调整，在同样的中心问题下，可以用不同的具体方式进行解决.

【参考文献】

[1]朱国宏.探析数列型不等式证明中“放缩法”的妙用[J]，高中数理化，2014，（09）：04-08.

[2]楊萍德.数列不等式中的放缩技巧[J].青苹果，2014，（03）：03-07.