非线性时滞差分方程解的全局吸引性

田建雨　苏淑华　乐美桃

【摘要】本文构造出V-函数并证明二阶非线性差分方程解的全局吸引性的方法，同时构造了一个V-函数来研究非线性时滞差分方程：xn+1=cxn+f（xn-xn-k）解的全局吸引性，并且本文证明了时滞差分方程有关平衡点的吸引性、稳定性都可用非时滞差分方程来证明.

【关键词】非线性差分方程； 时滞性；V-函数；全局吸引性

1.引 言

本文讨论非线性时滞差分方程：

xn+1=cxn+f（xn-xn-k）（1.1）

其中c∈[0，1）的一个常数，k是一个正整数，f：R→R的一个连续函数，且f（0）=0，当u≠0时f（u）≠0.该方程由早期宏观经济模型中的“商业周期”模型而得来，并且该问题得到了许多学者的关注.近年来，差分方程解的有关性质的研究发展非常迅速，其中以当k=1时的二阶非线性差分方程的研究是最受人们关注的，Sedaghat证明了在不同的约束下，二阶非线性差分方程解的全局吸引性、稳定性、周期性、以及振动性等一系列的性质.H.A EL-Morshedy证明了二阶非线性差分方程在約束条件比较大的关于平衡点的全局吸引性以及振动性，其中最主要的方法是构造一个V-函数，利用级数的收敛性来证明.受到该篇的启发，本文将H.A EL-Morshedy推广到了高阶的情形，即对于高阶非线性时滞差分方程构造一个V-函数来证明方程在函数f以及参数c满足一定条件时方程（1.1）关于平衡点是全局吸引的.

定义1.1 当n≥-k时，方程（1.1）的解全是常数，该常数称为方程（1.1）的平衡点，即如果

xn=x-，n≥-k，

则x-是方程（1.1）的平衡点.显然，方程（1.1）只有唯一的平衡点0.

定义1.2 当任意的初始条件，方程的每一个解xn有limn→∞xn=x-，则称平衡点x-是方程的全局吸引点.显然当limn→∞xn=0时，0是方程（1.1）的全局吸引点.

定义1.3 当对任意的ε>0，存在δ>0使得当x-k-x-+x1-k-x-+…+x0-x-<δ时对所有的n≥-k有limn→∞xn=x-成立，称x-是局部吸引点，其中xn是方程的解，x-是方程的平衡点.

定义1.4 当任意的ε>0，存在δ>0使得当x-k-x-+x1-k-x-+…+x0-x-<δ时对所有的n≥-k有xn-x-<ε成立，称x-是局部稳定的，其中xn是方程的解，x-是方程的平衡点.

定义1.5 如果方程的平衡点x-是局部稳定也是局部吸引点，称x-是局部渐近稳定点.

2.全局吸引性

这节我们构造V-函数来证明非线性差分方程（1.1）的解关于原点全局吸引，首先，我们给出下面一些性质.

性质2.1 令xn，yn是两个实数列并使得yn=xn-xn-k（n≥1）且x2=cx1+f（x1-x1-k），则xn是方程xn+1=cxn+f（xn-xn-k）的解当且仅当yn是方程：yn+1=cyn+f（yn）-f（yn-k）（1.2）的解；原点方程xn+1=cxn+f（xn-xn-k）的全局吸引点当且仅当是原点方程yn+1=cyn+f（yn）-f（yn-k）的全局吸引点.

证明：先证第一部分，必要性：

如果xn是方程xn+1=cxn+f（xn-xn-k）的解，因为yn=xn-xn-k（n≥1）则：

yn+1=xn+1-xn+1-k

=cxn+f（xn-xn-k）-xn+1-k

=c（xn-xn-k）+cxn-k-xn+1-k+f（xn-xn-k）

=cyn-f（xn-k-xn-zk）+f（yn）

=cyn-f（yn-k）+f（yn）

=cyn+f（yn）-f（yn-k）.

则yn是方程yn+1=cyn+f（yn）-f（yn-k）的解；

充分性：

设yn是方程yn+1=cyn+f（yn）-f（yn-k）的解，因为yn=xn-xn-k（n≥1）则：

xn+1-xn+1-k=cxn+f（xn-xn-k）-cxn-k-f（xn-k-xn-zk）

xn+1=xn+1-k+cxn+f（xn-xn-k）-cxn-k-f（xn-k-xn-zk）

xn+1-cxn-f（xn-xn-k）=xn+1-k-cxn-k-f（xn-k-xn-zk）

因为x2=cx1+f（x1-x1-k）即x2-cx1-f（x1-x1-k）=0由归纳法知xn+1-cxn-f（xn-xn-k）=0即xn是方程xn+1=cxn+f（xn-xn-k）的解；

第二部分证明方程（1.1）的平衡点原点是全局吸引当且仅当方程（1.2）的平衡点原点也是全局吸引.如果limn→∞xn=0，由于yn=xn-xn-k，则limn→∞yn=limn→∞（xn-xn-k）=0，如果limn→∞yn=0，由于yn=xn-xn-k.则xn+1=cxn+f（xn-xn-k）=cxn+f（y）n，n=1，2，3…

x1=cx0+f（y0），

x2=cx1+f（y1）=c（cx0+f（y0））+f（y1）=c2x0+cf（y0）+f（y1）

由归纳法知xn=cnx0+∑n-1i=0cn-1-if（yi）由于0≤c<1则limn→∞cnx0=0令y～n=∑n-1i=0cn-1-if（yi） （1）当∑∞i=0f（yi）ci=M<∞，其中M是个常识，显然y～n=∑n-1i=0cn-1-if（yi）=cn-1∑∞i=0f（yi）ci=Mcn-1.

limn→∞y～n=limn→∞Mcn-1=0.

（2）当∑∞i=0f（yi）ci=∞由Stolze定理知

limn→∞y～n=limn→∞∑n-1i=0f（yi）ci1cn-1=limn→∞f（yn）1-c=f（0）1-c=0.

因此，limn→∞xn=0.

3.结 语

本文给出了构造一个V- 函数的方法来验证高阶非线性差分方程在平衡点的全局稳定性.即对于高阶非线性时滞差分方程构造一个V-函数来证明方程在函数f以及参数c满足一定条件时方程（1.1）关于平衡点是全局吸引性.