三角函数常见题型分析

陈侃

三角函数和其他数学知识联系紧密，且综合性强，在生产与生活中有着广泛的应用. 研究发现，高考试卷淡化了对三角函数式化简的技能、技巧的要求，转为重点考查三角函数图象和性质及其应用问题，突出对数学基本能力的考查. 下面围绕三角函数高考的热点问题，以近几年的高考试题为例，分类进行剖析.

三角形中的三角函数

例1 [△ABC]中，[D]是[BC]上的点，[AD]平分[∠BAC]，[△ABD]面积是[△ADC]面积的2倍.

（1）求[sin∠Bsin∠C]；

（2）若[AD=1，DC=22，]求[BD]和[AC]的长.

解析 （1）[S△ABD=12AB?ADsin∠BAD，]

[S△ADC=12AC?ADsin∠CAD，]

因为[S△ABD=2S△ADC]，[∠BAD=∠CAD]，

所以[AB=2AC].

由正弦定理可得[sin∠Bsin∠C=ACAB=12.]

（2）因为[S△ABD∶S△ADC=BD∶DC，]所以[BD=2].

在[△ABD]和[△ADC]中，由余弦定理知，

[AB2=AD2+BD2-2AD?BDcos∠ADB，]

[AC2=AD2+CD2-2AD?CDcos∠ADC，]

故[AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6，]

由（1）知，[AB=2AC]，所以[AC=1].

点拨 此类题主要考查三角函数在三角形中的利用. 解三角形的关键是在转化与化归思想的指导下，正确、灵活地运用正弦、余弦定理、三角形的面积公式等公式定理，适时、适度地进行“角化边”或“边化角”.

三角函数与向量的综合

例2 已知向量[a=（m，cos2x）]，[b=（sin2x，n）]，设函数[f（x）=a?b]，且[y=f（x）]的图象过点[（π12，3）]和点[（2π3，-2）].

（1）求[m，n]的值；

（2）将[y=f（x）]的图象向左平移[φ]（[0<φ<π]）个单位后得到函数[y=g（x）]的图象.若[y=g（x）]的图象上各最高点到点[（0，3）]的距离的最小值为1，求[y=g（x）]的单调递增区间.

解析 （1）由题意知，[f（x）=a?b=msin2x+ncos2x.]

因为[y=f（x）]的图象过点[π12，3]和[2π3，-2]，

所以[3=msinπ6+ncosπ6，-2=msin4π3+ncos4π3，]

解得[m=3，n=1.]

（2）由（1）知，[f（x）=3sin2x+cos2x=2sin（2x+π6），]

所以[g（x）=f（x+φ）=2sin（2x+2φ+π6）].

设[y=g（x）]的图象上符合题意的最高点为[（x0，2）]，

由题意知，[x02+1=1]，所以[x0=0].

即到点[（0，3）]的距离为1的最高点为[（0，2）].

将其代入[y=g（x）]得，[sin（2φ+π6）=1].

因为[0<φ<π]，所以[φ=π6].

因此[g（x）=2sin（2x+π2）=2cos2x].

由[2kπ-π≤2x≤2kπ，k∈Z]得，

[kπ-π2≤x≤kπ，k∈Z.]

所以，函数[y=g（x）]的单调递增区间为[kπ-π2，kπ，][k∈Z].

点拨 此题以平面向量为背景，需要结合平面向量的坐标运算来进行三角函数的化简与求值. 第二问考查三角函数的平移、伸缩变换，特别是[y=Asin（ωx+φ）]中的[ω，φ]对函数图象的影响.

三角函数的最值问题

例3 已知函数[f（x）=cosx?sin（x+π3）-3cos2x][+34， x∈R].

（1）求[f（x）]的最小正周期；

（2）求[f（x）]在闭区间[[-π4，π4]]上的最大值和最小值.

解析 （1）由已知得，

[fx=cosx?12sinx+32cosx-3cos2x+34]

[=12sinx?cosx-32cos2x+34]

[=14sin2x-341+cos2x+34]

[=14sin2x-34cos2x]

[=12sin2x-π3].

所以，[fx]的最小正周期[T=2π2=π].

（2）因为[fx]在区间[-π4，-π12]上是减函数，在区间[-π12，π4]上是增函数.

所以[f-π4=-14]，[f-π12=-12]，[fπ4=14].

所以，函数[fx]在闭区间[-π4，π4]上的最大值为[14]，最小值为[-12].

点拨 此题型特别要注意自变量[x]的范围. 通过函数的单调性来求最值，也可以通过整体换元，再利用三角函数的图象来求解.

三角函数在实际生活中的应用

例4 某实验室一天的温度（单位：[℃]）随时间[t]（单位：h）的变化近似满足函数关系：[f（t）=10-3cosπ12t][-sinπ12t，t∈0，24.]

（1）求实验室这一天的最大温差；

（2）若要求实验室温度不高于[11℃]，则在哪段时间实验室需要降温？

解析 （1）因为[f（t）=10-2（32cosπ12t+12sinπ12t）]

=[10-2sin（π12t+π3）]，

又[0≤t<24]，

所以[π3≤π12t+π3<7π3]，[-1≤sin（π12t+π3）≤1].

当[t=2]时，[sin（π12t+π3）=1].

当[t=14]时，[sin（π12t+π3）=-1].

于是[f（t）]在[0，24]上取得最大值12，取得最小值8.

故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.

（2）依题意知，当[f（t）>11]时，实验室需要降温.

由（1）得，[f（t）=10-2sin（π12t+π3）]，

故有[10-2sin（π12t+π3）]>11，

即[sin（π12t+π3）]<[-12].

又[0≤t<24]，

因此[7π6<π12t+π3<11π6]，即[10所以，在10时至18时实验室需要降温.

点拨 此题是三角函数在实际生活中的应用，解决这类问题的关键是把实际问题转化成数学问题，然后利用所学的三角函数知识来求解.

通过上述分析，三角函数题都能在教材中寻到基本原型题. 因此，在三角函数复习中，要以课本为主，梳理整合知识点，强化重点内容，提炼数学思想方法，突出通性通法，讲究知识的综合应用，提高分析问题、解决问题的能力.