知识交汇处命题思维探究

朱天斌

从2016年起，全国大部分省份（包括湖北省）将使用全国卷，因此大家应该多研究教材，多体会近几年的全国卷. 从总体情况看，新课标的文、理科数学试卷整体结构没有变化，分值也保持不变，知识点的分布与覆盖上保持相对稳定. 坚持对基础知识，数学思想方法进行考查.

《数学课程标准》明确提出：“从学科整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度.”通过分析近几年的高考试题，一些回归教材的基础题知识以及新题型、新思维的交织给新高考增添了许多魅力.具体体现在以下几个方面.

概念迁移后与定性或定量思考交织，注意分析，淡化运算

例1 如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x. 将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图象大致为（ ）

[A B C D]

解析 （1）当点[P]在[BC]边上运动时，即[0≤x≤π4]时，

[PA+PB=tan2x+4+tanx].

（2）当点[P]在[CD]边上运动时，即[π4≤x≤3π4.]

①[x≠π2]时，[PA+PB=（1tanx-1）2+1+（1tanx+1）2+1.]

②当[x=π2]时，[PA+PB=22].

（3）当点[P]在[AD]边上运动时，即[3π4≤x≤π]时，

[PA+PB=tan2x+4-tanx].

从点[P]的运动过程可以看出，轨迹关于直线[x=π2]对称，且[f（π4）>f（π2）]，且轨迹非线型.

答案 B

知识交织点 本题考查函数的图象与性质， “P到A，B两点距离之和”是椭圆概念的迁移，表面看觉得很难，但是如果认真审题，读懂题意，通过点P的运动轨迹来判断图象的对称性以及特殊点函数值的比较，也可较容易找到答案.

赏析 此题难点在于椭圆概念的迁移应用，若[P]在以[AB]为焦点的椭圆上，函数[f（x）]是定值（长轴长）. [P]点的变化分别对应了相应长轴长的变大→变小→变大→变小，具有对称性且非直线型，所以选B. 类似的题目如2013年新课标Ⅰ卷理科第1题.

例2 已知函数[f（x）=2x]，[g（x）=x2+ax]（其中[a∈R]）.对于不相等的实数[x1，x2]，设[m=f（x1）-f（x2）x1-x2]，[n=g（x1）-g（x2）x1-x2]. 现有如下命题：

（1）对于任意不相等的实数[x1，x2]，都有[m>0]；

（2）对于任意的[a]及任意不相等的实数[x1，x2]，都有[n>0]；

（3）对于任意的[a，]存在不相等的实数[x1，x2]，使得[m=n]；

（4）对于任意的[a，]存在不相等的实数[x1，x2]，使得[m=-n].

其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）.

解析 设[A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x1，g（x1）），D（x2，g（x2））.]

对于（1），从[y=2x]的图象可看出，[m=kAB>0]恒成立，故正确.

对于（2），直线[CD]的斜率可为负，即[n<0]，故不正确.

对于（3），由[m=n]得，[f（x1）-f（x2）=g（x1）-g（x2）]，

即[f（x1）-g（x1）=f（x2）-g（x2）].

令[h（x）=f（x）-g（x）=2x-x2-ax]，

则[h（x）=2xln2-2x-a].

由[h（x）=0]得，[2xln2=2x+a]，

作出[y=2xln2，y=2x+a]的图象知，

方程[2xln2=2x+a]不一定有解，所以[h（x）]不一定有极值点.

即对于任意的[a]，不一定存在不相等的实数[x1，x2]，使得[h（x1）=h（x2）]. 即不一定存在不相等的实数[x1，x2]，使得[m=n]. 故不正确.

对于（4），由[m=-n]得，[f（x1）-f（x2）=g（x2）-g（x1）]，

即[f（x1）+g（x1）=f（x2）+g（x2）].

令[h（x）=f（x）+g（x）=2x+x2+ax]，

则[h（x）=2xln2+2x+a].

由[h（x）=0]得，[2xln2=-2x-a]，

作出[y=2xln2，y=-2x-a]的图象知，

方程[2xln2=-2x-a]必一定有解，

所以[h（x）]一定有极值点.

即对于任意的[a]，一定存在不相等的实数[x1，x2]，使得[h（x1）=h（x2）].

即一定存在不相等的实数[x1，x2]，使得[m=-n]. 故正确.

答案 （1）（4）

知识交织点 以拉格朗日中值定理为背景，将导数、极值、不等式与数形结合交织考查.

赏析 高考四川卷第15题历来是一个异彩纷呈的题，个中精彩可从解析中体会到. 解决本题的关键是转化思想，通过转化使问题得以解决. 如果数学知识非常丰富，直接从以拉格朗日中值定理入手，此题更易解答.

构造函数与分类讨论，突破常规

例3 设函数[f（x）=aexlnx+bex-1x]，曲线[y=f（x）]在点（1，[f（1）]）处的切线为[y=e（x-1）+2].

（1）求[a，b]；

（2）证明：[f（x）>1].

解析 （1）[a=1，b=2.]

（2）由（1）知，[f（x）=exlnx+2xex-1].

从而[f（x）>1]等价于[xlnx>xe-x-2e].

设函数[g（x）=xlnx]，则[g（x）=1+lnx].

所以当[x∈（0，1e）]时，[g（x）<0]；

当[x∈（1e，+∞）]时，[g（x）>0].

故[g（x）]在[（0，1e）]上单调递减，在[（1e，+∞）]上单调递增.

从而[g（x）]在[（0，+∞）]上的最小值为[g（1e）=-1e.]

设函数[h（x）=xe-x-2e]，则[h（x）=e-x（1-x）.]

所以，当[x∈（0，1）]时，[h（x）>0]；

当[x∈（1，+∞）]时，[h（x）<0].

故[h（x）]在[（0，1）]上单调递增，在[（1，+∞）]上单调递减.

从而[h（x）]在[（0，+∞）]上的最大值为[h（1）=-1e.]

综上，当[x>0]时，[g（x）>h（x）]，即[f（x）>1.]

知识交织点 本题考查导数的基本概念与导数在证明不等式中的应用.

赏析 在第二问的证明过程中将不等式分拆为两个函数的最大值与最小值的比较，使整个问题得到巧妙的解决，特别是不等式中出现了[lnx]和[ex]相关表达式一般分解为两个函数. 此种思考方式在2011年的辽宁卷，2013年的全国卷也有所体现.

例4 已知函数[f（x）=x3+ax+14，g（x）=-lnx].用[minm，n]表示[m，n]中的最小值，设函数[h（x）=][minf（x），g（x）（x>0）]，讨论[h（x）]零点的个数.

解析 （1）当[x∈（1，+∞）]时，[g（x）=-lnx<0]，

从而[h（x）≤g（x）<0]，则[f（x）]无零点.

（2）当[x=1]时，若[a≥-54]，

则[f（1）=a+54≥0]，[h（1）=min{f（1），g（1）}=g（1）=0]，

则[x=1]是[f（x）]的零点。

若[a<-54]，

则[f（1）=a+54<0]，[h（1）=min{f（1），g（1）}=f（1）<0]，

故[x]=1不是[h（x）]的零点.

（3）当[x∈（0，1）]时，[g（x）=-lnx>0]，

所以只需考虑[f（x）]在（0，1）上的零点个数.

（ⅰ）若[a≤-3]或[a≥0]，

则[f（x）=3x2+a]在（0，1）上无零点，故[f（x）]在（0，1）上单调.

而[f（0）=14]，[f（1）=a+54]，

所以当[a≤-3]时，[f（x）]在（0，1）上有一个零点；

当[a≥]0时，[f（x）]在（0，1）上无零点.

（ⅱ）若[-3则[f（x）]在（0，[-a3]）上单调递减，在（[-a3]，1）上单调递增，

故当[x]=[-a3]时，[f（x）]取得最小值，

最小值为[f（-a3）]=[2a3-a3+14].

①若[f（-a3）]>0，即[-34]<[a]<0，则[f（x）]在（0，1）上无零点.

②若[f（-a3）]=0，即[a=-34]，

则[f（x）]在（0，1）上有惟一零点.

③若[f（-a3）]<0，即[-3