数学归纳法在数列解题中的应用

张官金

数学归纳法是解决有关数列问题的一种重要的方法。只有理解数学归纳法中的递推思想，理解数学归纳法的原理与实质，掌握两个步骤，才能灵活地运用数学归纳法解决有关数列问题。利用数学归纳法解决有关数列问题，有利于培养同学们观察、分析、论证问题的能力，培养同学们大胆猜想、小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意识。在解答与正整数n（n∈N*）有关的命题时，数学归纳法是一种常用的方法。下面举例说明如何用数学归纳法探索数列的通项公式、探索与数列有关的参数的取值范围、证明与数列有关的不等式。

一、巧用数学归纳法探索数列的通项公式

评析：①本题是探索型题，“先猜想、后证明”，对思维能力有较高要求；②运用数学归纳法的关键是“由当n=k时成立，如何过渡与转换为当n=k+1时也成立。”

二、巧用数学归纳法探索数列中参数的取值范围

评析：本题题涉及的知识点有数列、数列极限、方程、不等式、数学归纳法等，考查学生综合应用数学知识的能力，考查学生的运算、推理和逻辑思维能力；证明与自然数有关的命题，可优先考虑用数学归纳法，在确定a的取值范围时，利用了从特殊到一般的思想方法。

三、巧用数学归纳法证明数列不等式

评析：本题以函数为载体，考查导数及应用、数学归纳法、构造法、不等式证明、递推数列等基础知识和基本技能，考查分析、判断、推理和运算能力以及等价转化的数学思想。