等差数列及其通项公式教学设计

翁丹琪　谢陈祎奔

一、学习内容分析

本课选自《普通高中课程标准试验教科书·数学必修5》（人教A版）。数列是高中数学重要内容之一，主要研究的是等差数列的定义、通项公式的推导。学生已经学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法：通项公式和递推公式，有了一定的基础，本节课的内容是学习等差数列求和的基础，使数列的知识进一步深入和拓广，同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”，“类比”的思想方法，起到了承上启下的作用。

本节课借助生活中的典型实例，让学生通过自己分析、推理、归纳等活动过程，从中了解等差数列的定义和通项公式。通过本节课的学习，要求学生理解等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式，并且了解等差数列与一次函数的关系。

二、学习者分析

学生对数列的知识已经有了大概初步的了解和认识，对数学公式的运用也具备一定的技能，已经熟悉由观察到抽象的数学活动过程。他们的思维正从属于经验性的逻辑思维向抽象思维发展，但仍需要依靠一定的具体形象的经验材料来理解抽象的逻辑关系，同时思维的缜密性还要加强。

三、教学重点难点

重点：1.等差数列的概念；2.等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：1.理解等差数列“等差”特点及通项公式含义；2.等差数列的通项公式的推导过程。

四、教学目标

1.知识与技能：理解等差数列定义，掌握等差数列的通项公式，了解等差数列与一次函数的关系。

2.过程与方法：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力及渗透函数、方程的思想。

3.情感态度与价值观：通过对等差数列的研究，加强理论联系实际，激发学生的学习兴趣，培养学生将数学学习放眼生活，用生活眼光看数学的思维品质。

五、教学过程

（一）创设情境，引入新课

情境1：把班上学生学号从小到大排成一列。

问题1：这是数列吗？你能归纳出它的通项公式吗？

师生活动：教师引导学生结合已学过的知识回答问题。（an=n）

情境2：看书本上的实例

问题2：书上的三个数列又分别有什么规律呢？

师生活动：学生回答它们的规律，教师归纳上面数列的共同特征（d是常数）。

（二）探索新知，突出重点

问题3：满足上面这种特征的数列很多，我们有必要为这样的数列取一个名字。

师生活动：学生共同回答：等差数列；教师写出课题：等差数列。

问题3：如何定义等差数列。

师生活动：教师引导学生思考并尝试给出定义，再由学生发言给出定义，教师板书定义并加以补充完善，从而得到严格的等差数列定义。

教师归纳（板书）：

等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。

对定义进行分析，强调：①同一个常数；②从第二项起。

（三）推进概念，发现性质

问题4：想一想，一个等差数列最少有几项？它们之间有什么关系？

师生活动：学生思考后回答，至少三项，然后老师引导学生概括等差中项的概念。

教师归纳（板书）：

等差中项：设三个数a，A，b成等差数列，则A叫a与b的等差中项。同时有A-a=b-A。

说明：（1）上面式子反过来也成立。

（2）等差数列中的任意连续三项都构成等差数列，反之也成立。

设计意图：概括等差中项的概念，总结等差中项公式，用于发现等差数列的性质。

（四）探究通项公式

思考：对于一个数列，我们最关心的是每一项，而这就要求我们能知道它的通项公式。下面我们来研究等差数列的通项公式。

师生活动：教师推导出等差数列的通项公式，学生跟着老师的思路并进行回答。

教师归纳（板书）：

若一等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则根据等差数列的定义可得：

a2-a1=d，即a2=a1+d，

a3-a2=d，即a3=a2+d，

a4-a3=d，即a4=a3+d

……

猜想：a40=a1+d，

进而归纳出等差数列的通项公式：

an=a1+（n-1）d

此时指出，这种求通项公式的方法叫不完全归纳法，这种导出公式的方法不够严密，为了培养学生严谨的学习态度，在这里向学生介绍另外一种求数列通项公式的办法——累加法。

累加法：

a2-a1=d，a3-a2=d，a4-a3=d，

……

an-an-1=d

将这（n-1）个等式左右两边分别相加，就可以得到

an-a1=（n-1）d，即an=a1+（n-1）d（1）

当n=1时，（1）也成立。

所以对一切n∈N*，上面的公式都成立，因此它就是等差数列an的通项公式。

（五）课堂练习，巩固提高

例1：（1）求等差数列8，5，2…的第20项？

（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？

师生活动：学生练习。

教师归纳（板书）：

解：（1）由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得

a20=8+（20-1）*（-3）=-49；

（2）由a1=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为

an=-5-4（n-1）=-4n-1

成立。解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。

（六）复习小结，深化内涵

问题6：这节课你学到了什么？

师生活动：教师鼓励学生积极回答，请学生小结学习了本节课有什么收获，其他同学进行补充，然后教师根据学生回答进行概括补充。

教师归纳：

主要内容有：（1）等差数列定义和通项公式；（2）等差中项：A叫a与b的等差中项；（3）等差数列的性质。