注重过程再现培养思维品质

☉安徽省肥西县上派初级中学 卫德彬

·安徽省合肥市卫德彬名师工作室·

注重过程再现培养思维品质

☉安徽省肥西县上派初级中学 卫德彬

再现数学思维过程，一是在发现和提出问题的过程中充分再现其思维过程；二是在分析和解决问题的过程中充分再现其思维过程.具体表现为：知识结构的建立、推广、发展的过程，以及解题方法和规律的概括、发展过程等.

现行数学教材中的许多内容大都简化了定理公式提出和推导证明的过程，省略了其中发现和探索的过程.至于这些定理公式是如何发现的，解决问题的方法是如何想到的，对中学生来说有一种说不出的神秘感.如果教师在教学中照本宣科，无疑将阻碍学生思维的发展和能力的提高.因此，在教学中，教师应精心重组教学内容，再现数学知识发生过程的思维活动，为学生创设问题情境，教给学生发现、创造的方法，培养学生用数学的观点和思想方法来研究、探索问题的能力，提高学生的思维品质.下面结合相关课题和教学实践谈一点做法与体会.

一、再现数学概念的形成过程，培养学生思维的目的性

决定数学教学效果的基本因素是：概念要明确.数学概念是从客观世界中直接或间接抽象出来的，其定义大多通过“展示（或具体操作）事例—抽象本质属性—推广到一般同类事物”得出.因此，学生对数学概念的形成，必须建立在对事物的具体形象的认识即感性认识的基础上，要引导学生通过观察、分析、比较，找出事物的本质特性.所以教学中要充分运用直观的方法，使抽象的数学概念成为看得见、摸得着、想得来的东西，成为学生亲身体验过的东西，这样既可以帮助学生理解概念，又有助于引起学生学习的兴趣.

案例1：在教学“正弦和余弦”的概念时，可分为三步进行，引导学生参与讨论并逐步建立“正弦和余弦”的概念.

第一步，设置两个问题.

问题1：在Rt△ABC中，已知斜边和一直角边，怎样求另一直角边？

问题2：在Rt△ABC中，已知∠A和斜边，怎样求∠A的对边BC？

对于问题1，学生很快想到利用勾股定理解决；对于问题2，有些学生可能也想到用勾股定理，经尝试无法解决，从而产生认知冲突——如何解决这类问题？以此激发学生探求的欲望.

第二步，引导学生探索发现.

（1）启发思考.在Rt△ABC中，∠A的对边BC和斜边有什么关系呢？学生可能无从下手，此时，教师进行点拨，能否从∠A的特殊值中找关系？

（2）从探索特殊情况中发现规律.①当∠A=30°时，在Rt△ABC中，∠A的对边与斜边有什么关系？

图1

③要求学生探讨一下，当∠A=45°或60°时，在Rt△ABC中，∠A的对边与斜边有什么关系？

学生不难发现，在直角三角形中，当∠A=45°或60°时，∠A的对边与斜边的比值也是固定的值.

（3）由特殊到一般.引导学生大胆猜想：当锐角A取其他固定值时，∠A的对边与斜边的比值也是固定的值.

（4）证明猜想.引导学生利用相似三角形的知识证明此猜想.

第三步，引入“正弦和余弦”定义.

在实施“问题解决”的教学过程中，不提倡首先给出定义、公式、定理等结论，而是围绕需要探索的内容进行“问题”设计，使之与学生原有的认识结构中的某些基础概念建立起实质性的联系或打破原有的“平衡”状态.这样，既符合教学内容的逻辑性，又符合学生的认识规律，调动学生的“知、情、意、行”协调统一地参与“问题解决”的活动，寓知识的发生、发展和规律的抽象概括、方法的揭示过程于问题系列活动之中，有利于培养学生思维的目的性.

二、再现数学定理（公式）的发现过程，培养学生思维的创造性

要使数学课堂教学作为一种活动过程来进行，就必须自始至终给学生参与活动的机会，满足学生创造的欲望，使学生时时处于积极创造的状态.教师应给学生提供一些有利于培养学生创造性思维的事例，引导学生通过计算、观察，发现这些数学事实带有普遍性的规律.

案例2：对于“三角形内角和定理”的教学，有不少老师已注意到突出定理结论的发现过程，利用剪拼方法，归纳得出三角形内角和为180°的结论.但是很少注意到再现定理被发现的过程，而这正是一个重要的思维环节.为此，我们设计如下的教学方案.

1.如图2，a∥b，它们被c所截得的同旁内角和∠1+∠2=？

图2

图3

2.若a与b相交，如图3，∠1+∠2仍然等于180°吗？发生了什么变化？减少了多少？∠3跑到哪里去了？可以得到什么结论呢？

这样的教学设计，再现了“三角形内角和”与“平行线性质定理”的关系，突出了它们的内在联系.

再如，在根与系数关系定理的教学中，我们编拟了一套题目：

3.解答下列各题.

（1）求出下列方程的两个根x1、x2.

①x2+3x-4=0；②x2-5x+6=0；③2x2+5x-3=0；④3x2-13x-10=0.

（2）计算每个方程的两个根的和、积的值，并找出x1+x2，x1·x2的值与其方程各项系数的关系.

学生通过计算、观察和分析，很快找出了两根和与两根积与其方程各项系数的关系，在此基础上进一步引导学生猜想、归纳，并安排下述填空题.

4.填空题.

（1）设x1、x2是方程x2+px+q=0的两个根，则x1+x2= _________；x1·x2=_________.

（2）设x1、x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，那么x1+x2=_________；x1·x2=_________.

通过以上计算、观察、猜想及证明的过程，学生既动手，又动脑，提高了参与教学活动的积极性，培养了观察、归纳的能力及创新意识.

三、再现数学规律的探索过程，培养学生思维的深刻性

课堂教学是师生的双边活动，教师的“教”是为了诱导学生的“学”.在教学过程中，我们应该根据教材的内在联系，利用学生已有的基础知识，引导学生主动参与探索新知识，发现新规律.这对学生加深理解旧知识、掌握新知识、培养学习能力是十分有效的.

案例3：在教等腰三角形性质定理：“等腰三角形两底角相等”时，笔者进行如下教学设计.

先通过动手实践（剪一个等腰三角形纸片并对折）发现两底角相等，然后进行证明思路的探索.

（1）证明两角相等，有哪些方法？这个问题可启发学生积极思考，调动学生原有认知结构中关于证明两角相等的知识和方法，起到“搜索”和“整理”的作用.

（2）这些证明两角相等的方法能证明等腰三角形两底角相等吗？学生经过尝试，发现几种方法都不能直接应用，从而想到要改造图形——作辅助线.

（3）如何作辅助线？联系前面的动手实践，发现对折把等腰三角形分成两个全等三角形.同时也发现这条折痕是等腰三角形顶角的平分线，因而作顶角的平分线也可达到目的.

（4）还有其他作辅助线的方法吗？经过讨论、尝试，学生发现作底边上的高或中线也能解决问题.从而感悟到增添恰当辅助线的重要性及作辅助线的常规方法.

这样设计可以有效地培养学生思维的深刻性，使学生学了一道题，掌握一片题.

四、再现解题思路的推导过程，培养学生思维的严密性

数学是一门逻辑性很强的学科，首先反映在系统严密、前后连贯上，每个知识都不是孤立的，它既是旧知识的发展，又是新知识的基础.只有遵循中学生的认知规律，引导学生运用已有知识去推导新的结论，才能发展学生的学习能力.

实践显示，初中学生在解要求稍高的习题时，思维常常会产生偏差，造成解题不严密的问题.为此，要有针对性地设计一些讨论题，让学生展示思维过程，从而有针对性地进行辅导.

案例4：在教学一次函数后，笔者在课上设计了如下三道讨论题：

（1）直线y=2x+4与坐标轴围成的三角形的面积是多少？

（2）直线y=2x+b与坐标轴围成的三角形的面积是多少？b与4有什么区别与联系？

（3）若直线y=2x+b与坐标轴围成的三角形的面积是4，如何求b？

第（1）题为第（2）题作铺垫，以减少第（2）题的难度，第（2）题是第（1）题的推广和扩充，第（3）题是让学生逆向思考问题.通过讨论，学生明确b是表示实数，不仅仅是正数，从而得出了完善的解.在此题的讨论过程中不仅仅是渗透分类的思想，更主要的是使学生更好地掌握数形结合的解题方法，从而培养学生思考问题的严密性.

五、再现数学方法的思考过程，培养学生思维的广阔性

数学思想方法是数学的精髓，是数学素养的重要构成之一，学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力.因此，教学中，要有意识地让学生领会到其中体现和渗透的数学思想方法.

问题1：以a、x为两直角边长的直角三角形的斜边长是多少？并画出图形.以b、y为两直角边长的直角三角形的斜边长呢？（联系到x+y=c，学生可能会画出图4和图5两个图形）

图4

图5

问题2：当点P在什么位置时（如图4），AP+PB最短？

图6

问题3：如图6，要在河边修建一个水泵站，分别向张庄（A）、李庄（B）送水，修在河边的什么地方，可使所用的水管最短？

有了前面问题2的解决，学生能很快地解决问题3.

这一系列问题的探索与解决，体现了思维的创造性与广阔性.在整个问题的解决中渗透了类比、联想、猜想等创造性思维方式，通过策略与方法的体验和操作，提高了学生的创造性思维品质.同时在问题解决教学中又自然地渗透了实际生活中的问题.

如果教师在数学教学活动中，重视问题的教学设计，悉心研究问题设计的科学性、艺术性，再现数学思维的过程，学生面对富有趣味和价值的数学问题，就能够活跃思维、展开思维，去接受问题的挑战，去探究知识的奥秘.那么，蕴藏在学生头脑中智慧的种子就必然会发芽、开花和结果.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.董学良.“问题解决”与学生思维品质的培养［J］.中小学数学（初中版），2010（11）.

3.高慧明.数学教学中培养学生思维品质的激励策略［J］.中学数学（下），2011（12）.

4.周小红.谈初一学生数学思维品质的培养［J］.初中数学教与学，2011（11）.

5.卫德彬.暴露数学思维过程，激活学生创新潜能［J］.初中数学教与学，2010（3）.W