等价关系在高等数学中的应用

韩宝燕

（山东工艺美术学院公共课教学部，山东 济南250000）

1 等价关系

1.1 等价关系的定义

定义1 设R为非空集合A上的关系，如果R是自反的、对称的和传递的，则称R为A上的等价关系.对于任何x，y∈A,如果∈等价关系R，则记作x～y.

下面举个例子。

例（1）在一群人的集合上年龄相等的关系是等价关系，而朋友关系不一定是等价关系，因为它可能不是传递的.一般称这种自反的对称的关系为相容关系.显然等价关系都是相容关系，但相容关系不一定是等价关系.

（2）动物是按种属分类的，“具有相同种属”的关系是动物集合上的等价关系.

（3）集合上的恒等关系和全域关系都是等价关系.

（4）在同一平面上三角形之间的相似关系是等价关系，但直线间的平行关系不是等价关系，因为它不是自反的.

1.2 等价类的定义及性质

设R是非空集合A上的等价关系，则A上相互等价的元素构成了A的若干个子集，叫做等价类.下面给出等价类的一般定义.

定义2 设R是非空集合A上的等价关系，对任意x∈A，令[x]R={y|y∈A∧xRy}，则称[x]R为x关于R的等价类，简称为x的等价类，简记为[x].

等价类具有下面的性质：

设R是非空集合A的等价关系，对任意的x，y∈A，下面的结论成立.

（1）[x]≠Ø，且[x]⊆A；

（2）若xRy，则[x]=[y]；

（4）x∈A∪[x]=A.

含义是（1）表明任何等价关系都是集合A的非空子集；（2）和（3）说的是在A众任取两个元素，它们的等价类或是相等，或是不交.比如，在例2.1中1、4和7的等价类彼此相等，都是{1，4，7}.但1和2的等价类彼此不交.（4）表示所有等价类的并集就是A.在例2.1中就是

{1，4，7}∪{2，5，8}∪{3,6}={1，2，…，8}.

2 等价关系的应用

等价关系作为一种特殊的二元关系，在数学分析、高等代数等学科中有广泛的应用.

2.1 求极限中的应用

在微积分中学习无穷小（大）量阶的比较时，遇到两个无穷小（大）量之比的极限.由于这种极限可能存在，也可能不存在，因此我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限称为不定式极限，分别记为型或型的不定式极限，下面我们将以等价关系为工具研究不定式的极限.

2.2 判断无穷积分的敛散性

我们都知道无穷积分的比较判别法：设函数f（x）在（a，+∞）（a≻0）上连续，若g（x）≻0及当x→+∞时，f（x）=O-（g（x））（表示f（x）与g（x）同阶，即,则积分同时收敛或同时发散.特别地，若，则s≻1时积分收敛，当s≤1时积分发散.利用等价关系可以把被积函数转化成与它等价的函数，由比较判断法很容易判断其敛散性([1]).

（2）利用（1+x）λ～1+λx

于是当α=-2β>1时积分收敛，当α=-2β≤1时积分发散([2]).

［1］耿素云,屈婉玲,张立昂,编.离散数学[M].3版.北京：清华大学出版社,2004.3

［2］左孝凌,李为建,刘永才.离散数学[M].上海：上海科学技术文献出版社,2000：100-131.