圆柱对称颗粒系统中应力转向比对声波速度的影响

摘 要：为理解类固态颗粒物体弹性波的传播性质，基于颗粒固体弹性理论，分析了圆柱对称颗粒系统（粮仓）中应力转向比对声传播速度的影响。结果表明压缩波波速对应力转向比的变化比较敏感，而剪切波波速对应力比的变化影响较小。

关键词：颗粒物质 弹性波 应力转向比 波速

中图分类号：TU443 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）12（a）-0247-02

颗粒物质具有许多独特的、不同寻常的性质，如何理解这些独特性质是凝聚态物理科学的一个难点[1]。由于声波能有效地进入弹性介质内部，因此，它能提供有用的、有时甚至是唯一研究真实材料性质的方法。通过测量波速和振幅衰减等可以反演出材料的结构和力学性质。近年来，关于颗粒物质的声波测量技术已经相当成熟，出现了大量的声波测量结果[2-3]。实验发现，在长波（波长大于颗粒力链长度）近似下，颗粒物质存在类似固体的压缩纵波、剪切横波和表面波的传播，并且能一个简单的弹性势能模型很好地描述[4-5]。从该弹性势能出发，该文计算了圆柱对称颗粒系统中的平面波传播速度随应力转向比（在工程领域里也称为Janssen比[1]）变化关系，探讨了应力转向比对声波波速的影响。

1 理论计算

根据固体弹性理论，线性扰动近似下的声波波速c由特征方程确定，其中为质量密度，为波矢k的单位矢量，四阶刚度张量，为弹性能w对应变的负二阶微分。弹性能对应变的负一阶微分则是应力。对于线弹性材料，弹性能是应变的二次型函数，刚度张量是常数，因此，声速与应力无关。对于类固态颗粒物质，jiang-Liu建议弹性能取为ξ），式中记号u是应变张量的迹取负值（文中将采用重复脚标自动求和的约定），是偏应变的模，B与ξ为模型参数[5]。由于颗粒物质的弹性能不是应变的二次多项式，应力与应变不再是线性关系，所描述的颗粒物质的弹性是非线性的，因此，声速将与应力有关。在应变主轴坐标系下，应变张量的非对角项为零，对角项分别为称为主应变。现假定波沿着方向传播，即，代入特征方程可以得出两个简并横波的波速和一个压缩纵波波速。类似地，当波沿着或方向传播时，压缩波的波速分别是或。利用应力应变关系，可以将应变表示为应力的函数，进而得到波速随应力的变化关系。

对于圆柱对称颗粒系统，假设对称轴沿X3方向，则应力在与对称轴垂直的平面X1X2内的各个方向都相同，，应力的各向异性只表现在X1（X2）和X3两个方向上，比值称为应力转向比。通过计算可以得到横波的波速为沿径向传播的压缩波波速为，沿轴向传播的压缩波波速为其中，分别为各向同性应力状态下的横波和纵波波速，记号为压强，分别为与应力转向比有关的剪切强度因子，反映了波速的剪切效应，其值为：

2 讨论与结语

当系统处于各向同性应力状态时，J=1，，系统存在一个纵波波速和一个横波波速。当J不等于1时，，即，说明应力引起的各向异性破坏了系统的对称性，使得沿径向传播的纵波波速与轴向传播的纵波速度不相等。

图1给出了剪切强度因子随应力转向比J的变化关系，其中模型参数ξ。可以看出，与相比，随J的变化很小。说明颗粒固体应力转向比的改变对横波波速的影响要比纵波小，或者说纵波对应力引起的各向异性要比横波敏感，这表明纵波的波速与传播方向密切相关。

图2给出了（即）随应力比的变化关系，并实验测量对比情况。离散符号代表实验测量数据（两种不同的样品制备方式：（▲）为紧密堆积方式；（■）为松散堆积方式），详见文献[2]。可以看出，比值主要由应力转向比确定，而与样品的制备方式关系不大，发现当参数时，理论计算与实验测量基本相符。

总之，该文基于颗粒弹性理论分析了圆柱对称颗粒系统中应力转向比对弹性波波速的影响情况。结果表明横波速度受应力转向比的影响较小，纵波速度受应力比的影响较大，纵波对系统应力引起的各向异性要比横波更为敏感。

参考文献

[1] Jaeger H M，Nagel S R，Behringer R P. Granular solids，liquids，and gases.Rev.Mod[J].Phys，1996，68（4）：1259-1273.

[2] 郑鹤鹏，蒋亦民，彭政，等.颗粒固体弹性势能的声波性质[J].物理学报，2012，61（21）：1-9.