非平稳地震动过程模拟的谱表示-随机函数方法

刘章军， 曾 波， 吴林强

(1.三峡大学土木与建筑学院， 湖北 宜昌 443002； 2.三峡大学水利与环境学院， 湖北 宜昌 443002)

非平稳地震动过程模拟的谱表示-随机函数方法

刘章军1， 曾 波2， 吴林强2

(1.三峡大学土木与建筑学院， 湖北 宜昌 443002； 2.三峡大学水利与环境学院， 湖北 宜昌 443002)

在Priestley演变谱理论的基础上，采用随机函数的思想，建立了一类新的全非平稳过程模拟的谱表示-随机函数方法。在谱表示-随机函数方法中，实现了用2个基本随机变量即可精确表达原随机过程的目的。通过选取基本随机变量的离散代表点集，可以直接由演变功率谱密度函数生成具有给定赋得概率的代表性样本集合。以全非平稳地震动加速度过程的演变功率谱为例，验证了方法的有效性和优越性。最后，结合概率密度演化方法，进行了Duffing振子的随机地震反应分析与抗震可靠度计算。

非平稳地震动； 随机函数； 演变功率谱； 概率密度演化方法； Duffing振子

引 言

在地震工程中，地震动随机过程的合理描述与建模，是进行结构随机地震反应分析与抗震可靠度计算的重要基础。自1947年Housner首次将地震动看作是随机过程以来，关于随机地震动的研究得到了广泛深入的发展[1]。然而，在工程实际中，如结构的非线性随机地震反应分析，往往需要将地震随机激励的频域模型转化为时域模型，这激发了人们对随机过程模拟的研究热情。在随机过程的各种模拟方法中，谱表示方法[2-3]由于其理论完善、算法简单而被广泛采用，但其计算工作量较大，往往需要对数百上千个随机变量的模拟才能满足所需精度，从而极大地增加了工程实际问题的分析难度。为了有效地减少谱表示方法中随机变量的数量，文献[4]提出了随机过程的随机谐和函数表达，通过采用少量的随机谐和分量即可获得精确的目标功率谱密度函数，文献[5]进一步对谱表示方法的频率选点进行了优化。

对于非平稳地震动过程的模拟，工程中通常是先模拟平稳地震动过程，然后再利用强度包络函数非平稳化，这样得到的地震动过程幅值是非平稳，但频率仍是平稳的。为此，文献[6-7]直接由非平稳随机过程的演变谱表示理论，导出了非平稳地震动过程模拟的一个谱表示方法，其样本函数是由余弦级数公式计算产生的。然而，该谱表示方法仍然需要高达数百上千个随机变量才能保证所需的精度。鉴于此，本文在Priestley演变谱理论的基础上，给出了不同于文献[6-7]的非平稳随机过程模拟的另一类谱表示方法，其样本函数则是由一组标准正交随机变量的模拟来产生的。同时，采用文献[8]中随机函数的思想，将谱表示方法中的标准正交随机变量表达为基本随机变量的正交函数形式，从而实现了用2个基本随机变量来描述原随机过程的目的，这极大地降低了结构随机动力反应分析的难度。此外，针对新的建筑抗震设计规范[9]，本文在文献[10]基础上建议了一类非平稳地震动过程的演变功率谱模型。本文方法的一个显著特点，在于通过选取基本随机变量的离散代表点集，可直接由演变功率谱生成具有给定赋得概率的代表性样本集合。这一特点有利于与概率密度演化方法[11-12]的有机结合，进而为结构非线性随机地震反应分析与抗震可靠度计算提供有效的途径。

1 非平稳随机过程的谱表示

根据Priestley非平稳随机过程的演变谱表示理论[13-14]，一个单变量、一维、均值为零的实值非平稳随机过程f0(t)可表示为如下的积分形式[6-7]

(1)

式中Ut(ω)和Vt(ω)是实值非平稳随机过程f0(t)的谱过程，且满足实值非平稳随机过程谱表示的基本条件：

E[dUt(ω)]=E[dVt(ω)]=0,ω≥0

(2)

(3)

E[dUt(ω)dUt(ω′)]=E[dVt(ω)dVt(ω′)]=0,

ω,ω′≥0;ω≠ω′

(4)

E[dUt(ω)dVt(ω′)]=0,ω,ω′≥0

(5)

式中Sf0(t,ω)为双边的演变功率谱密度函数，可以同时调制幅值和频率。

将式(1)写成如下的离散形式[6-7]

(6)

式中ωk=kΔω，且频率间隔Δω需足够小，使得式(6)可以替代式(1)。

如果增量dUt(ωk)和dVt(ωk)定义为：

(7)

(8)

其中{Xk,Yk}为一组标准的正交随机变量，即：

(9a)

(9b)

式中E[·]表示数学期望，δjk为Kronecker记号。容易验证，式(7)～(9)所定义的增量dUt(ωk)和dVt(ωk)满足式(2)～(5)的基本条件。

对于工程实际问题，双边的演变功率谱密度函数Sf0(t,ω)在频率ω=0时，一般可满足Sf0(t,ω0)=Sf0(t,0)=0这一条件。于是，将式(7)和(8)代入式(6)中，即可得到实值非平稳随机过程模拟的第一类谱表示

(10)

这里，用f(t)表示模拟的随机过程，以区别于原随机过程f0(t)。这样，通过保留前N项来逼近原随机过程，即将原随机过程的无限随机度问题近似转化为有限(2N)随机度问题。

于是，实值非平稳随机过程模拟的均方相对误差可表示为

(11)

式中ωu=NΔω为计算截断频率，T为实值非平稳随机过程的总持续时间。一般地，对于地震动加速度过程，ε(N)值不宜超过0.05。

需要指出的是，在文献[6-7]提出的非平稳过程模拟的一个谱表示方法中，模拟过程是由N个具有相互独立随机相位角的余弦级数叠加而成；在本文方法中，模拟过程则是由2N个标准正交随机变量来表达的。类似于平稳随机过程模拟的谱表示方法[15]，可称式(10)为非平稳过程模拟的第一类谱表示方法，而文献[6-7]提出的余弦级数公式则称为第二类谱表示方法。尽管第二类谱表示方法所需随机变量的数量N，要比第一类谱表示方法所需随机变量的数量2N少；但第二类谱表示中随机变量所满足的条件要更严格些。亦即，第二类谱表示中随机变量必须满足相互独立的均匀分布条件，而第一类谱表示中随机变量仅需满足式(9)的标准正交性条件，而不必给出其具体的概率分布形式，这为本文采用随机函数来构造标准正交随机变量提供了基础。

2 标准正交随机变量的随机函数表达形式

在实值非平稳随机过程模拟的第一类谱表示式(10)中，{Xk,Yk}(k=1,2,…,N)为一组标准正交随机变量，必须满足基本条件式(9)。下面，利用随机函数的思想[8]，构造标准正交随机变量{Xk,Yk}的随机函数表达形式。

(12)

为进一步地构造高斯的标准正交随机变量，可采用等概率的反变换方法，利用上述标准正交随机变量的随机函数表达式(12)，即可构造两组高斯的标准正交(独立)随机变量[8]：

(13a)

(13b)

这样，通过引入随机函数形式和映射方式，将模拟随机过程f(t)的随机度2N降低为随机度2。这正如结构动力学中的Rayleigh-Ritz法，通过形状向量或基向量(约束)的引入，可将高维的多自由度结构系统缩减为低维的结构系统。因此，随机函数形式和映射方式均可视为是一种约束，通过合理选择随机函数形式和映射方式(约束)，能够有效地减少随机过程的随机度，从而极大地降低结构随机动力分析的难度。

3 非平稳地震动过程的演变功率谱模型

(14)

(15)

式中c为地震动峰值加速度出现的时间，d为控制A(t)形状的指数；c和d可根据场地类别确定。

(16)

(17)

式中Τ为非平稳地震动加速度过程的总持续时间；参数ω0,ξ0及a,b可根据规范中的场地类别和设计地震分组来确定。

在双边的演变功率谱密度函数式(14)中，反映地震动强弱程度的谱参数S0(t)可表示为

(18)

图1 演变功率谱密度函数Fig.1 Evolutionary power spectral density function

表1 演变功率谱模型参数取值

Tab.1 Parameter values in the evolutionary power spectral model

模型参数设计地震分组场地类别I0I1ⅡⅢⅣ第一组3527．5221611ω0/s-1第二组30251913．59．5第三组2522．516118第一组0．350．40．50．60．7 ξ0第二组0．40．450．550．650．75第三组0．450．50．60．70．8第一组3．13．32．92．852．65 γ第二组2．852．852．752．62．55第三组2．652．62．652．52．45a/s-133．5456 b0．350．30．250．20．15c/s34567d22222地震动总持时T/s1215202530

注：圆频率单位1/s = rad/s

4 非平稳地震动过程的模拟与验证

限于篇幅，本文以式(12)生成的非高斯标准正交随机变量为例来分析。同时，仅考虑地震烈度为8度，设计基本地震加速度PGA=0.2g，场地类别为Ⅲ，设计地震分组为第二组，结构阻尼比为0.05的情况。

如果放松演变功率谱能量随时间的分布，取其时间平均，即可得到时间平均功率谱密度函数的表达式为[7]

(19)

式中Td为地震动的有效持续时间，本文取Td=14.5 s。

为了生成非平稳地震动加速度过程的代表性样本集合。首先，需要将相互独立、均匀分布的基本随机变量Θ1和Θ2在区间[0,2π)×[0,2π)上选取离散代表点集，本文按华罗庚-王元的数论方法进行选点[18]，其中选点总数s=987，同时计算各代表点的赋得概率。其次，利用随机函数形式(12)或(13)以及映射方式，可得到谱表示式(10)中的标准正交随机变量的确定性取值。最后，应用实值非平稳随机过程模拟的谱表示式(10)，即可生成一系列的代表性样本时程，同时获得每条代表性样本时程的赋得概率。事实上，离散代表点的赋得概率即为对应代表性样本时程的赋得概率。

在非平稳地震动加速度过程模拟的谱表示中，参数ωu=219.9 rad/s，N=1 800，Δω=0.122 17 rad/s，其均方相对误差为ε(N)=2.7%，能满足误差要求。同时，时间间隔Δt=0.01 s满足Δt≤π/ωu的条件。图2为生成的代表性样本时程，具有非平稳地震动加速度过程的典型特征。

图3为代表性样本集合的均值、标准差与目标的均值、标准差比较，从图中可知，两者的符合程度比较理想。图4为样本集合的功率谱密度函数与按式(19)定义的时间平均功率谱比较，两者的符合程度也十分理想。这表明，在二阶数值统计意义上，样本集合特性与目标相符。

图2 代表性样本时程Fig.2 Generated representative sample function

图3 样本集合的均值、标准差与目标的比较Fig.3 Comparison between mean and standard deviation from 987 samples ensemble and from the target

图4 样本集合功率谱与时间平均功率谱的比较Fig.4 Comparison between 987 samples ensemble PSD and the time average′s PSD

图5 样本集合的反应谱与规范的比较Fig.5 Comparison between 987 samples ensemble′s response spectrum and the code′s response spectrum

图5给出了用本文方法所得987条代表性样本时程的均值反应谱与规范反应谱的比较。从比较的结果来看，两者在长周期部分(大于3 s)有较大差别外，在其他周期部分的拟合程度较好，这是由于规范给出的反应谱在其图形上经过处理的缘故，尤其是在长周期部分。如果考虑均值反应谱及其1倍标准差的范围，这样规范反应谱的大部分能被包含在内。同时，为了能满足长周期结构的抗震分析需要，可进一步对演变功率谱密度函数中的谱参数S0(t)进行等效修正，即在谱参数S0(t)中乘以一个与结构周期有关的修正系数，从而使代表性样本集合的均值反应谱与规范给定的反应谱在0～6 s整个周期段内保持一致，这将在后续的研究中加以考虑。

5 Duffing振子的随机地震反应与抗震可靠度

近年来，概率密度演化理论在线性与非线性多自由度结构的随机动力反应分析、动力可靠度、体系可靠度计算以及基于可靠度的控制方面，取得了系统的研究进展[11-12]。非平稳地震动过程的谱表示-随机函数模型与概率密度演化理论相结合，可以实现工程结构的随机地震反应分析与抗震可靠度计算。

为简要说明非平稳地震动过程的谱表示-随机函数模型的工程应用，以Duffing振子为例来加以阐述。Duffing振子[19]是一个经典的非线性振动问题，在随机地震作用下的运动方程可写为

(20)

图6给出相对位移x(t)的随机地震反应的概率信息，其中图6(a)为反应的均值与标准差，图6(b)为典型时刻的概率密度函数，图6(c)为反应的概率密度演化曲面，图6(d)为等概率密度线。根据等价极值事件的思想[20]，容易获得相对位移x(t)的抗震可靠度， 如图7所示， 其中图7(a)为等价极值事件的概率密度函数，图7(b)为等价极值事件的分布函数。事实上，相对位移的等价极值事件的分布函数(纵坐标)即为抗震可靠度。

图6 结构随机地震反应的概率信息Fig.6 Probability information of random earthquake response of structure

图7 等价极值事件计算结构的抗震可靠度Fig.7 The seismic reliability analysis using equivalent extreme value event

6 结 论

地震动随机过程的合理描述与建模，是进行结构随机地震反应分析与抗震可靠度计算的重要基础。本文在Priestley演变谱理论的基础上，采用随机函数的思想，建议了一类新的全非平稳地震动过程模拟的谱表示-随机函数方法，实现了用2个基本随机变量描述原随机过程概率特性的目的，从而极大地降低了结构随机地震反应分析的难度和计算工作量。研究表明，本文方法可以方便地与最新发展的概率密度演化理论相结合，实现复杂工程结构的随机地震反应和抗震可靠性的精细化分析。

致谢：本文得到了同济大学土木工程学院李杰教授团队的指导和帮助，在此向他们表示感谢！

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Simulation of non-stationary ground motion by spectral representation and random functions

LIUZhang-jun1,ZENGBo2,WULin-qiang2

(1.College of Civil Engineering & Architecture, China Three Gorges University, Yichang 443002, China; 2.College of Hydraulic & Environmental Engineering, China Three Gorges University, Yichang 443002, China)

Based on the Priestley′s evolutionary spectral representation theory and the idea of random function, a hybrid spectral representation and random function approach is presented to simulate non-stationary stochastic processes. This approach uses two basic random variables to capture accurately the second-order statistics of the original stochastic process. Discrete representative points of the two basic random variables are selected, and representative sample functions with assigned probability are generated directly by the evolutionary power spectral density function. By means of the evolutionary power spectral density function of non-stationary ground motion acceleration process, the effectiveness and advantages of this approach are demonstrated. Finally, combining the probability density evolution method, the random dynamic response and reliability of the Duffing oscillator subjected to stochastic ground motions are investigated.

non-stationary ground motion; random functions; evolutionary power spectral density function; probability density evolution method; Duffing oscillator

2014-02-04；

2014-08-19

国家自然科学基金资助项目(51278282,50808113)；三峡地区地质灾害与生态环境湖北省协同创新中心

O324； P315.9

A

1004-4523(2015)03-0411-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.03.010

刘章军(1973—)，男，博士，教授，博士生导师。电话： (0717)6392137； E-mail: liuzhangjun73@aliyun.com