小提琴弓弦系统的振动形态及振动机理研究

张承忠， 叶邦彦, 梁立东, 胡习之, 赵学智

(1. 华南理工大学机械与汽车工程学院， 广东 广州 510640; 2. 华南师范大学软件学院， 广东 佛山 528225)

小提琴弓弦系统的振动形态及振动机理研究

张承忠1,2， 叶邦彦1, 梁立东1, 胡习之1, 赵学智1

(1. 华南理工大学机械与汽车工程学院， 广东 广州 510640; 2. 华南师范大学软件学院， 广东 佛山 528225)

小提琴弓弦系统的振动机理非常复杂。通过分析传统弓弦黏滑摩擦振动模型和弦振动现代理论模型以及弦振动形态实验，提出了基于能量状态变换的单摆摩擦振动模型。该模型考虑了振动系统的能量状态变化，并对振动周期给出限制，从而较好体现了小提琴琴弦的振动行为。设计了基于高速摄影的非接触式光学测量系统。通过实验，测量了拨弦和拉弦两种不同机制的弦振动状态参数，特别对弦上各点的振动位移和周期、相位变化、弦振动的瞬态和包络状态等进行了实验测量和理论分析，从而探明了小提琴弓弦之间摩擦振动的状况和特性。

亥姆霍兹运动； 粘滑摩擦； 小提琴弓弦振动机理； 自激振动； 高速摄影

1 概 述

小提琴的弓弦振动机理非常复杂。一直以来科学家们提出很多不同模型，来探索其机理和奥秘。

小提琴的弦振动系统由弓(激励器)、弦、琴马和琴体共鸣腔组成。当弦被弓激励后，系统按照其自身振动特性产生振动，如果琴弦得到不断激励(拉奏)，系统就保持持续的振动，这是自然界普遍存在的自激振动现象，其特点是系统从一个非周期性能量源周期性地提取能量补充其损耗。从而产生持续而稳定的振动。

现代关于弓拉弦的物理学研究是由亥姆霍兹1862年开始进行的[1]，随后，诺贝尔物理奖获得者拉曼等人对弓拉弦的振动问题一直进行了研究[2-6]。

一般来说,机械系统自激振动现象的理论建模是为了找到方法阻止其振动，这时也许并不太关心振动的细节行为。然而对于弓弦乐器研究来说，弦运动的细节就非常重要，因为可以通过控制其振动状态来寻找改善乐器的声学特性的方法。

弓拉弦理论研究的很多工作都是建立在弓弦摩擦力学模型的基础上的，弓弦经典的物理模型是Coulomb摩擦模型，当弓以正常的方式运动时，弦的振动呈现“亥姆霍兹角”，折角沿着弦来回行进，如图1所示。这种“亥姆霍兹运动” 已被很多学者研究过了[2，8]，但有一些问题目前还不清晰，如弓如何影响弦的运动和系统的能量如何变化等[7]。

本文使用高速摄影三维振动测量系统研究了琴弦的振动形态，提出了一个弦振动等效单摆模型。该模型考虑了系统的能量状态变化，并对振动周期给出限制。

图1 弓拉弦的Helmholtz 运动Fig.1 Helmholtz motion of bowed string

2 弦振动理论模型的发展

2.1 Helmholtz运动和弦振动过程的周期特性

亥姆霍兹关于弦运动的理论将弦上点的位移曲线描述成一个不对称的锯齿波，如图1(a)所示，位移以初始恒定速度vr持续到时间tr。随后在tF又以恒定速度vF返回到另一端。由于弓的单向运动当弦被弓毛粘着时，受静态摩擦力作用产生正向位移；当弦的回弹力大于静摩擦力之后，弦以相反方向返回并受滑动摩擦力作用。

广义的周期锯齿波函数的必要条件是：vrtr=vFtF，根据Helmholtz的推导[1]，沿着弦的任何位置，如图1(b)的观察点C，振动逆程时间与振动周期的比遵从

(1)

式中Xc为琴码到观察点的距离，而L是弦的长度。

2.2 圆角和数字波导模型

图2 数字波导模型的摩擦力与弦的速度关系Fig.2 The relationship of friction and speed of the string of digital waveguide mode

实际上，理想的亥姆霍兹运动不太可能出现[7]。通过“平滑”尖角来修改亥姆霍兹运动的想法最早是由Cremer和Lazarus探索的[8]。而且开发出了一种周期性的类似Helmholtz运动的近似理论。弓弦运动的数字波导模型是由McIntyre和其同事[9]在扩展Cremer的方法基础上处理弦的瞬态运动得到的。弦在拉弓点的速度v(t)和作用在这一点的摩擦力f(t)有两种关系：第一个是非线性函数关系，如图2所示。当弦的速度与弓速v(t)匹配时两者黏在一起，而力可以取曲线的垂直部分的任何值。当弦和弓之间有相对滑动时，摩擦力改变方向，随着滑动速度的增加而下降；摩擦力f(t)和v之间的第二个关系来自于弦的振动动力学。f(t)是由于弓的作用激发弦的特定运动，导致驱动点产生特定响应v(t)。对于一条理想的无限长弦，作用力会生成一个波速，它与力成正比。波将沿着弦的两个方向向外对称辐射，而且不返回。然而在一条有限的弦上，由于波到达弦的两端后会反射回来，这时有下式

(2)

2.3 现代理论模型

通常有摩擦力的系统都是非光滑的而且在理论和数值分析上都会引起一些困难。在文献[12]中，研究了黏滑和滑黏的转换，在文献[13]中介绍了面向数值分析的黏滑混沌动力学，通过将Melnikov技术应用在非光滑动力学系统从而得到了黏着行为明确的公式，同时提出了一种交替摩擦模型，如图3所示。

图3 弓拉弦摩擦模型Fig.3 The friction model of bowed string

当皮带开始向右匀速运动时，质量滑块受静摩擦力的作用与皮带黏在一起向右作匀速运动，这时弹簧k1被拉长。当传送带继续向前运动时，弹簧伸长产生的回弹力大于摩擦力，滑块就会返回并与传送带产生了相对滑动。由于滑块与传送带之间的摩擦力与二者之间的相对运动速度有关，速度越大摩擦力越小，所以滑块会迅速后退。而当它退到一定距离后，又和传送带的速度相同，于是滑块又被静摩擦力带动随传送带一起前进，这样周而复始，形成摩擦振动。

3 弦振动的等效单摆摩擦模型

弹簧滑块摩擦模型虽然能解释弓拉弦的运动变化，但存在一些问题，如该模型没有固有的频率和以振动中心的对称特性，振动周期与皮带速度(弓速)有关，而且不能模拟拨弦振动形态。为了更好描述琴弦振动系统的能量状态变化和周期性运动特性，本文提出琴弦振动的单摆摩擦模型。该模型通过单摆的重力势能变化模拟琴弦的弹性势能变化，用单摆周期类比琴弦的周期运动，通过设定单摆滑块与圆形皮带的摩擦力和转速来代表弓压和弓速；通过改变单摆的杆的刚度，模拟不同特性的弦的振动形态。显然，弦振动单摆摩擦模型对其他弓弦类乐器也适用，如马头琴、二胡等。

如图4所示，当圆形皮带逆时针匀速转动时，质量滑块受静摩擦力的作用被皮带黏住，一起向右作匀速运动。当运动一段距离后，重力势能引起的向左分力G2增大到大于静摩擦力时，滑块就往相反的方向沿皮带滑动。这时皮带与滑块的相对运动速度增加，摩擦力减少。当滑块返回通过中点并到达最左边时，由于重力势能引起的向右分力和皮带的摩擦力作用，滑块又开始与皮带黏住向右作第二个周期的运动，这样周而复始。

图4 等效单摆摩擦模型Fig.4 The equivalent friction pendulum model

本模型通过单摆控制琴弦运动周期的变化。由于对一条理想的长度为L、横截面积为A的弦，弦两端固定并且受轴向张力F而拉伸，弦的横向振动频率f，即弦的基频率为

(3)

而在摆角较小的情况下单摆的频率为[6]

(4)

式中l为摆长，g为重力加速度。为了使单摆的频率与弦的基频相等，则设计理想单摆的摆长为

(5)

模型中摩擦力的作用可参考摩擦振动模型[4]。设琴弓与琴弦之间的摩擦力为fB(t)，在弦的位置XB处的摩擦力为

(6)

这里vC是弓弦的相对速度函数，FN是琴弓的标准弓压，在弓弦黏着期间，由弓速和静摩擦力控制琴弦的运动，而对于滑动期间有一个变化的较小的摩擦系数Rg(vC)，滑动摩擦系数可如下计算[6]

(7)

近年来许多学者对非线性运动的周期进行了大量研究，获得了周期解的许多有效算法[14-15]。对于图4等效单摆的理论模型，其周期解的数值算法可应用打靶算法得到，打靶算法通过求解两点边界值问题得到系统的周期解[14]。

4 琴弦振动形态的高速摄影实验研究

4.1 实验原理与方法

为了研究琴弦的振动形态和验证琴弦振动模型，在全息光学防振台上设计了一个琴弦的三维振动测量系统，如图5所示。测量系统的坐标定义为：X轴是沿着水平面的弦方向，Y轴垂直于弦的方向，Z轴的方向是垂直于面板。由于高速摄影只能拍摄X-Z平面的图像，通过45°反射镜，将X-Y平面的琴弦振动图像同时传到摄像机，标定点的三维运动特征数据通过对序列图片区域的裁剪、过滤和圆形霍夫变换等计算机图像处理方法获得。

图5 高速摄影实验Fig.5 Experiment of high-speed photography

实验采用HiSpec LTR高速数码成像仪进行拍摄，其分辨率为1 280×1 024，帧速率为18～30 000帧/s，实验中根据不同需要选择不同的拍摄参数。琴弦采用德国Pirastro牌号，分别调整到标准音高。

表1 高速摄影实验参数

小提琴琴弦振动包括拨弦和拉弦两种状态。为了全面测量琴弦的振动状态，本实验进行了全景录像和局部放大拍摄。放大拍摄需采用足够亮度的无频闪光源，以使摄像清晰。图的比例是根据照片上测试物预先粘贴的比例尺的长度进行标定。

离开香樟，我就来拜访我的第二个朋友，夹竹桃。初秋是夹竹桃盛开的季节。朵朵硕大而紫红的花朵在微风中摇曳生辉，像一位位婀娜多姿的少女，展示自己柔美的身材，夹竹桃细长的叶子在阳光下欢笑，它的枝条也是细长的，一簇簇细长的枝条在风中左摇右晃。蜜蜂也知道夹竹桃的花不能用来采蜜，所以只是远远地观赏。

实验时通过调整平面镜片的位置，使镜头内同时出现标记点的实像和虚像，实验参数如表1所示。

改变实验参数进行了拉弦和拨弦实验，实验得到的高速摄影视频图片以及部分小提琴琴弦振动图片序列如图6所示。

图6 高速摄影部分图片Fig.6 Several pictures of high-speed photography

4.2 拨弦理论分析与实验结果

琴弦在横向力作用下的运动方程为

(8)

图7 拨G弦时标定点的振动曲线Fig.7 Vibration curve when plucking G string

从公式(8)可以知道，拨弦时弦的横向运动属于阻尼的简谐运动。图7(a)是高速摄影实验测量得到的琴弦上标定点拨弦的衰减振动过程波形。显然该波形与单摆滑块不受皮带摩擦的琴弦单摆摩擦模型的振荡波形相符。图7(b)为实验获得的拨弦时弦上点的局部振动曲线。包括琴弦在Y，Z方向的位移波形和空间轨迹。由图可知两方向的波形都类似简谐振动的波形，与公式(8)相符。两波形存在相位差，这是由于标定点是作空间三维振动，其空间运动轨迹为一近似的椭圆。图7(c)的速度波形是从位移波形通过微分推导得到的。

4.3 拉弦分析与实验结果

(9)

式中f0为琴弦的基频，而β=(xB/L)为琴码至拉弓点的距离与弦长之比。

图8 拉G弦时标定点的振动曲线Fig.8 Vibration curve when powing G string

为了深入了解弓拉弦时弦的振动情况，揭示琴弦运动的真实状态，本研究对十多万帧视频序列图片进行了数据处理和分析，得到拉弦的振动曲线如图8所示。从标定点的位移曲线可以看出，小提琴琴弦的横向运动是一个近似的锯齿三角波形，图中x轴方向存在微小的位移，从图中可以看到，波形的正程上升时间较长，逆程较短，这是因为正程时琴弦受较慢弓速的制约作用，逆程则由于受弦的回弹力和较小的弓弦滑动摩擦力，所以快速返回。

图8(a)下面的图形为标定点的空间轨迹。由图可知，拉弦时由于弓的压力，弦保持在运弓平面内振动，本文通过横向和垂直两个方向的测量数据，证实了拉弦振动属于平面振动模式，与拨弦不同。这不但有助于分析弦振动的机理，还可根据运弓轨迹线的倾斜程度补偿因摄像头与运弓平面不垂直产生的幅值误差。

图9 G弦上不同标定点的振动波形比较Fig.9 The comparison of vibrational waveform of the different point on the G string

为了对琴弦的运动状态有更深入的了解，本文通过处理全景视频的图片序列，研究了全弦的振动形态，得到琴弦不同位置点的横向位移曲线如图9所示。结合弦振动的单摆摩擦模型可知，在弦振动的正程，琴弦受到弓的激励克服弦的张力产生位移，也就是说琴弦储存了弹性势能，振动系统获得了能量，而逆程时弦在回弹力的作用下，虽受到弓的阻碍，但由于滑动摩擦力较小，回程返回较快，所以系统总的来说是获得正能量，因此琴弦能一直维持振动。

在图9各曲线上取同一瞬时琴弦上不同位置的位移值，可描绘出某一瞬时弦的振动轨迹，在一个周期内取多个瞬时的数据，就可得到弦振动一个周期的形态，如图10所示，弦振动包络线接近抛物线，是由各点位移曲线的最大正负位移值绘出的，它们出现在不同的瞬时，即所看到的包络线实际是由弦上不同点持续形成的。这结论与亥姆霍兹关于琴弦折角运动的描述相符合。

图10 琴弦的振动形态Fig.10 The vibration of the string

实验得到拉弦时弦上不同位置点的位移回程时间变化见表2。从表2的数据可知，弦的位移回程时间与弦振动周期的比值基本满足公式(1)，其中的误差估计是受弓弦作用的外部条件影响，如弓的压力和松香的摩擦作用等。

表2 弦上各标定点位移曲线的周期变化

本实验还研究了拉弓参数对弦振动的影响，G弦各种拉弓参数实验情况如图11所示。从实验结果看到，运弓方法无论是拉弓还是推弓，以及弓速和弓弦接触位置发生变化时，位移曲线都符合亥姆霍兹描述的锯齿波形，且基本满足公式(1)。

图11 各种拉弓参数的位移比较Fig.11 The comparison of displacement of the different bowing parameters

由拉弦经验可知，增加弓速或者靠近琴码拉弓需要更大的拉弓力才能保持合适的琴弦振动。因为如果拉力太小，正程时弓不能保持握住弦；如果拉弓力太大，逆程滑动阶段振幅会发生故障，从而不能形成正常的Helmholtz运动。

5 结 论

本文通过理论分析和高速摄影实验，研究了小提琴弦的振动形态和琴弦亥姆霍兹运动，得到如下结论：

(1) 采用三维高速摄影光学测量系统和计算机图像处理技术，能较精确地检测琴弦的三维振动形态。实验数据验证了弓拉弦的运动曲线是由亥姆霍兹预言的锯齿三角波。对琴弦上不同位置点的位移数据考察可知，琴弦振动包络线是由弦上不同点持续形成的，这与亥姆霍兹的琴弦折角运动描述一致。

(2) 基于琴弦振动形态的实验研究，本文提出了一个等效单摆摩擦振动模型来描述提琴琴弦拨弦和拉弦的振动特性。该模型能较好模拟弓弦的黏滑运动过程和解释振动锯齿波形的正、逆程时间变化；

(3)本文通过分析琴弦等效单摆摩擦振动模型，明确了弓弦自激振动的作用机理：弦振动正程时，弦受到较大的静摩擦力激励，琴弦储存了弹性势能，逆程虽受到弓的阻碍，但由于滑动摩擦力较小，回程时间较短，所以系统总的来说是获得正能量，琴弦能一直维持振动。

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Research on vibration state and mechanism of violin string

ZHANGCheng-zhong1，2，YEBang-yan1，LIANGLi-dong1，HUXi-zhi1，ZHAOXue-zhi1

(1.School of Mechanical and Automotive Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510640, China；2. School of Software, South China Normal University, Foshan 528225, China)

The mechanism of bow-string vibrating system of violins has been awaysa complicated problem. Through the analysis of the classical stick-slip friction string vibration model and the modern theory of string vibration respectively, as well as the experiment results of string vibration state, anequivalent pendulum friction model based on energy state changing is proposed. The model takes into account the changing of energy state of vibrating system, and set restrictions for the vibrating period. As a result, the vibration behavior of violin string is well reflected. In this paper, a non-contact optical measurement system based on high-speed photography is designed. In the experiment, the state parameters of string vibration for the mechanisms of plucked and bowed string are investigated respectviely. Experimental measurement and theoretical analysis are carried out in particular for the vibrating displacement and period of points on the string, as well as the phase change, transient string vibration state and the envelope of string vibration, whichleads to a better understanding of the friction vibration state and characteristics of violin string.

Helmholtz motion; stick-slip friction; vibration mechanism of violin bow-string system; self excitation vibration; high speed video photography

2013-12-17；

2015-01-17

国家自然科学基金资助项目(51375178)

TN911.7; TH165.3

A

1004-4523(2015)03-0359-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.03.004

张承忠(1968—)，女，博士。电话： (0757)86687822；E-mail: zcz_505@163.com

叶邦彦(1949—)，男，教授，博士生导师。E-mail: byye@scut.edu.cn