欣赏数学之美

吴晓丹　徐章韬

1引言

自从“数学美”的概念被提出后，众多学者对其展开了论述，多数将其分类为对称美、和谐美、简单美、奇异美.但是，数学之美，绝不仅限于此，数学之美更展现在古今数学家锲而不舍、几十年如一日钻研探索的数学精神上；展现在他们坚持真理、追求极致、精益求精的科学态度上；展现在看似杂乱无章的符号、数字背后的紧密关联上；展现在美轮美奂、多姿多彩的计算机模拟数学图形变换上；展现在数学思想的深邃、数学方法的巧妙以及数学无处不在的广泛应用上.数学从不缺少美，缺少的是欣赏的眼光.张奠宙先生在文[1]中指出，数学欣赏往往要从欣赏几何图形外表的美观开始，然后逐渐到欣赏数学内涵的精妙.基于此，张先生把对勾股定理的欣赏分为四个维度：外表直观之秀，内涵深刻之慧，文化底蕴之浓，理性思考之精.笔者深以为然，本文将以勾股定理的发现、证明、拓展以及价值为着眼点，彰显数学之美，并呼吁广大教师不断提高自身数学素养，多角度、全方位地挖掘和探寻数学中所蕴含的美，寓美于教，以美启真.

2美在何处

2.1美在形式

大体上看，勾股定理可以从两个方面进行解读：

1.从代数角度叙述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么a2+b2=c2.

2.从几何角度叙述：以直角三角形斜边为边的正方形的面积等于以直角三角形两直角边为边的正方形的面积和（如）[2].

几何角度示意勾股定理如上所述，该定理内容精准、清晰、言简意赅，在用最平实的语言阐明道理的同时，留给读者充足的想象空间，引发其积极思考.其中公式a2+b2=c2形式整齐、和谐、简单、美观，给人以美的感受.另外，此定理的条件恰到好处，多一个太多，少一个太少，严密简练.爱因斯坦说过：“美，本质上终究是简单性.”这种简单性、准确性、严密性是美的特征，也是数学美的基本内容.

2.2美在内涵

有着“千古第一定理”之称的“勾股定理”可以说是初等数学中最重要、最美丽的定理.之所以美丽，不仅在于定理本身是联系数学中最基本、最原始的两个对象——数与形的第一定理，是代数方法与几何方法相互渗透的完美体现；不仅在于它是解决许多问题的重要工具和有效媒介，在现实生活中有着广泛的应用；更在于其本身蕴涵的丰富历史见证了古代人民的坚持与智慧，更见证了数学这门科学不断发展、不断超越的光辉历程，是学生感受数学文化熏陶，理解数学本质的大好机会.通过对勾股定理的探索以及对其蕴含的内在美的解读，使学生不仅能掌握定理本身，也能感受到其中无穷的数学魅力，产生对数学美的向往，有了对“美”的渴望，进而产生对“真”的追求.

2.3美在起源

在我国，“勾股定理”又称“商高定理”，因为早在公元前1100年左右的周公、商高时代，就知道了“勾三、股四、弦五”这个规律；西方文献一直把“勾股定理”称为“毕达哥拉斯定理”.“在任何直角三角形中，斜边上的正方形的面积等于两条直角边上的正方形面积之和”，据说这是继中国发现“勾股定理”540年后，毕达哥拉斯学派在研究地砖问题时得到的结论，并给出了某种证明，后来被欧几里得编入《几何原本》中.关于到底以谁的名字来命名此定理的诸多主张自然是出自于强烈的民族自豪感，含有莫数典忘祖之意，后来决定不用人名，索性称之为“勾股定理”，这样既反映了古代的光辉成就，又直观地点明了这一定理的具体内容.[3]这也正说明科学无国界，“勾股定理”闪耀的是整个人类在探寻数学宝藏之路上的智慧之光，在探索数学定理的艰辛历程中，东西方数学家们锲而不舍、孜孜以求、百折不饶的精神百世流芳.

2.4美在多样

自从“勾股定理”被发现以后，古今中外众多学者集思广益，给出了各种不同形式的证明，不断拓展、日益深化.我国有记载的最早的勾股定理的证明是赵爽在他所著的《勾股圆方图注》中给出的.“这几乎是一篇无字论文，构思之巧妙，推理之严格、之简洁，令千载后人为之叫绝（王树和语）”用四个全等的直角三角形（边长分别为a、b、c），拼成一个中空的正方形（如），赵爽勾股弦图把直角三角形涂上红色，并把每个直角三角形的面积称为朱实，中间的正方形（边长为a-b）涂上黄色，面积称为黄实，大正方形的边长为c，面积称为弦实，将此图称为弦图.利用弦图我们很容易得到一个重要的证明思路，弦实=朱实+黄实，也就是：大正方形的面积=四个直角三角形的面积+中间小正方形的面积，由等积式导出代数恒等式即：c2=4×12ab+（a-b）2，c2=2ab+（a-b）2，从而c2=a2+b2，继而证得[4].

2002年在北京举行的国际数学家大会以赵爽弦图作为会标，实现了古代与现代的对接.这标志着国际数学家对“弦图”的尊重，足以彰显“弦图”之美、勾股定理之重要.

五巧板剪割图北师大出版社《义务教育课程标准试验教科书》在勾股定理章介绍了“五巧板证法”，作直角△ABC，以斜边AB为边，向内作正方形ABDE，延长BC交DE于点I，作DF⊥BI，取CG=CB，再作HG⊥AC，正方形ABDE被分割成五块：①—⑤（如）.沿着这些线段将正方形剪割开来，就得到一副五巧板.做两副五巧板，可以拼接出如所示的图形，该图通过图形的“出入相补、面积拼接”，可以直观的证明出勾股定理[4].

五巧板拼接图加菲尔德梯形图美国第二十任总统加菲尔德对初等数学有着浓厚的兴趣和高超的才能，1876年在《新英格兰教育杂志》上发表了他对勾股定理的一个漂亮证明.如所示，将两个全等直角三角形一横一竖拼接成直角梯形，利用梯形面积公式，得到S梯形ABCD=12（a+b）2=a2+2ab+b22，S梯形ABCD=S三角形ADE+S三角形BCE+S三角形CDE=ab+ab+c22，

比较以上两式相等，从而得到a2+b2=c2.[4]

上述过程足以彰显：同样一个问题，以不同的视角切入，会探寻到不同的思路和方法，而不同的证明方法又各有特点，平分秋色.赵爽弦图证法的巧妙在于他独特的逻辑起点、构图方式，以及这种方法背后蕴含的对图形灵活的割、补、截、拼为我所用的思想方法；而利用五巧板来证明，可以说“寓教于乐”，符合学生心理特点，能够激发其学习兴趣，与此同时，通过让学生亲自参与解决问题的过程，培养他们认真观察、主动思考、合作交流的能力，更符合以学生为主体的教育理念；加菲尔德的证明过程也可以说是殊途同归，他通过巧妙的构造，将代数式的证明完美的转化为面积恒等的证明，运用梯形的面积等于组成它的三角形面积的和来构造等式，直观易懂，同时也展示了代数与几何之间紧密又奇特的关系.

通过勾股定理的证明，使我们清楚地知道在数学问题中没有固定的解题思路、解题过程甚至没有固定的答案，所以解题模式应不拘一格，要灵活多变.采用另辟蹊径的视角、剑走偏锋的着眼点，深入的挖掘数学独特美，领悟其深邃的内涵，经过不断的努力尝试，往往会得到意想不到的收获.从这种角度看数学的美体现在它的独创性、严密性和数形高度统一性，体现在别出心裁的数学逻辑思维、悠久厚重的文化底蕴，以及巧妙多样的证明过程，还有从古至今众多数学家不断探索，多方求证的数学精神上.

2.5美在拓展

正所谓“大音希声、大象无形、大美无言”，勾股定理这种宁静纯粹的美的姿态之所以能够广为流传，为古今中外众多学者所津津乐道，绝不仅仅是由于其形式之简洁秀美、内涵之广泛深刻、证明之匠心独运，还借助它在日常生活中无处不在的实用价值和在后续的数学学习中给人们带来的重重惊喜.“当勾股定理中的a、b均为1时，c为多少？”正是由勾股定理所引发的这一个再简单不过的联想，打破了长久以来人们深信不疑的“万物皆可数”的假说，向世人揭开了“无理数”的神秘面纱；“余弦定理”我们再熟悉不过，其代数表达式为：c2=a2+b2-2abcosC，如果C=90°，便容易得到：c2=a2+b2，可见，勾股定理可以理解为是在几何学中具有举足轻重作用的“余弦定理”的特例，换言之，在欧氏平面上将直角三角形转变为一般三角形，勾股定理便被推广为余弦定理；目前已有学者将勾股定理成功向三维甚至n维欧式空间进行推广，使得勾股定理不再局限于平面几何，成功的向我们展示了二维空间和三维空间的内在和谐美，加深了人们关于空间性质的认识，也为将低维空间结论向高维空间不断拓展做出了有益的表率；除此之外，勾股定理对方程思想的萌芽以及平面解析几何、立体几何、三角函数的拓展都起到了推动促进作用，在此就不一一赘述.

2.6美在价值

勾股树图勾股定理是一个会生金蛋的鸡，也是一个生机盎然永葆青春的古树，玉树临风——“勾股树”，改变动画的值，勾股树就会随“风”摇曳[5].从此图（）可看出，运用信息技术手段可以将数学知识动态的表达出来，使得浓郁的文化底蕴和先进的现代文明跨时空交织[6]，真正做到将数学的美进一步升华.从前文所述内容我们可以体悟到勾股定理之所以光芒万丈、美不胜收，不仅仅是由于它令人惊叹的定理内容，更和它教会了我们在探寻美、感受美的过程中领悟“形数统一”的思想方法密不可分.勾股定理的内容以及证明过程的不断探索，让我们清楚的认识到：在解决数学问题时，不仅要观其“表——空间形式”，还要探其“里——代数表达”，做到由“表”及“里”，透过现象看本质；换言之，遇到数学问题时，在充分理解其代数表达的同时不忘深入挖掘其几何意义，探寻二者微妙的内在联系，真正做到“取形之优——以形助数”、“扬数之长——以数辅形”，在“数”、“形”这对矛盾中找寻一种辩证美、平衡美，使其相得益彰、相映生辉，进而使数学问题得到全面彻底的解决.

3以美启真

数学本身蕴含着鲜活的文化背景，浸润了人类不断探索、不断发现的精神本质和力量，与人类社会（自然的、历史的、人文的）有着千丝万缕的联系[7].所以只要用心感悟，我们就会发现：数学无处不在、数学无处不用、数学无处不美.

数学视角，使我们透过现象看本质，探寻看似孤立事物背后的关联，让我们体察思想与方法的激烈碰撞与高度统一；数学思想，使我们感悟到数学是由数字和图形所组成的完美乐章，就像交响曲一样和谐高亢，让人睿智、让人深邃；数学文化，为我们展现数学在历史长河中的源远流长、涓涓流淌，以史为鉴，指引我们开创更加美好的景象；数学应用，让冰冷呆板的数学变得炽热灵活，让我们在工作生活中尽显数学人溢彩流光.

数学作为至高无上的艺术，散发出瑰丽无比的光芒，这就要求我们教师在今后的教学中，要学会用欣赏的眼光去审视数学知识，深入挖掘数学内容中所蕴含的数学美，并运用巧妙的手段寓美于教，唤起学生的审美欲望，使学生在汲取知识的同时，体会到数学独特的美学价值，培养其理性思维，以美启真，以美促智.

参考文献

[1]张奠宙.数学欣赏：一片等待开发的沃土[J].中学数学教学参考，2014（1-2）.

[2]杨小丽.勾股定理的PCK内涵解析[J].数学通报，2011（3）.

[3]鲁又文.数学古今谈[M].天津：科学技术出版社，1984.

[4]蔡宗熹.千古第一定理：勾股定理[M].北京：高等教育出版社，2009.

[5]徐章韬.信息技术下的勾股定理[J].中学数学（初中版），2011（3）.

[6]徐章韬.信息技术支持下的数学学科教学知识研究[M].北京：科学教育出版社，2013.

[7]徐章韬，王春华.多姿多彩的圆[J].湖南教育，2010，（8）.

作者简介吴晓丹，女，1990年出生，黑龙江省双鸭山人，华中师范大学数学与统计学学院数学教育方向研究生.