一类离散SEIR传染病模型的动力学性态

马 霞， 曹 慧

(1.太原工业学院 理学系， 山西 太原 030008； 2.陕西科技大学 理学院， 陕西 西安 710021)



一类离散SEIR传染病模型的动力学性态

马 霞1， 曹 慧2

(1.太原工业学院 理学系， 山西 太原 030008； 2.陕西科技大学 理学院， 陕西 西安 710021)

研究了一类离散SEIR传染病模型.利用再生矩阵的方法定义了模型的基本再生数，证明了无病平衡点的存在性与稳定性，以及疾病的持久性, 讨论了地方病平衡点的存在性和稳定性，通过数值模拟展示了地方病平衡点的全局性态.

离散传染病模型； 稳定性； 持久性； 动力学行为

0 引言

用数学模型来描述疾病的流行规律扮演着重要的角色.一般的传染病在感染初期都不会患病，经过一段时间的潜伏才发病，SEIR传染病模型是一类经典的具有仓室结构的传染病模型，适合带有潜伏期和患病恢复后具有永久免疫力的传染病模型.例如禽流感、非典、腮腺炎.

用离散模型描述传染病的流行进程是一个很好的选择，另外，公共卫生收集的部分传染病疫情的数据都是按年、月、周、天为单位的离散数据，使得离散模型的应用更为方便.现在越来越多的人对离散传染病模型的研究感兴趣，Allen，Carlos[1]等研究了离散的SI,SIR,SIS模型.Castillo-Chavez[2]和Yakubu[3]研究了离散SIS模型的复杂动力学性态.Y. Zhou等[4-6]研究了具有年龄结构的离散SIS模型的动力学行为.其它的一些传染病也已经被研究[7-9].

与连续的模型相比，离散模型的研究相对较少，在分析学中，连续的传染病模型解的性态易于进行定性分析，与之对应的离散传染病模型解的性态往往会出现复杂的动力性性态，甚至混沌现象[10].目前，关于离散模型的研究大部分关注的是基本再生数的定义，无病平衡点和地方病平衡点的存在与稳定，疾病的消除与持久，以及模型的分支问题.

本文在一定合理的假设下，建立了经典的离散SEIR传染病模型，对该模型解的渐近性态进行了比较全面的分析.第二部分给出了离散SEIR模型，定义了基本再生数.第三部分讨论了疾病的消亡和持续，以及地方病平衡点的存在性与稳定性.第四部分给出了数值模拟的结果.

1 离散SEIR模型

假设在感染初期不会患病，考虑感染者在康复后即获得永久免疫力的疾病传播问题.假定N(t)为t时刻的总人口数量，把总人口分为易感者、无症状的潜伏者、感染者和恢复者，用S(t),E(t),I(t),R(t)分别表示t时刻易感者、无症状的潜伏者、感染者和恢复者的数量.从t时刻到t+1时刻，除了自然死亡和常数输入(迁入和出生)人口，在仓室之间有人口的流动.假设Λ是新出生或迁入的人口，β是传染率，α是发病率，μ是人口的自然死亡率，γ是病人的恢复率，δ是染病者的因病死亡率，生物背景要求这些参数都是非负常数，βI(t)/N(t)表示单位时间内易感者被感染成为潜伏者的概率，αE(t)表示单位时间内潜伏者发病的人数，本文所讨论的具有标准发生率的离散SEIR模型如下：

(1)

把模型(1)中的方程相加可得：

N(t+1)=N(t)+Λ-μN(t)-δI(t)≤

Λ+(1-μ)N(t)

β+μ<1,μ+α<1,μ+δ+γ<1

(2)

2 疾病的消亡或持续

定理1 当R0<1时，模型(1)的无病平衡点P0是全局渐近稳定的，当R0>1时，模型(1)的无病平衡点P0不稳定.

证明：模型(1)在无病平衡点P0处的线性化矩阵为

显然，系数矩阵A有两个特征根1-μ均小于1，只需考虑特征方程

当R0<1,β+μ<1,μ+α<1,μ+δ+γ<1时，由Jury判据[13]可得特征值的模均小于1，所以无病平衡点是局部渐近稳定的.

令V(E(t),I(t))=αE(t)+(μ+α)I(t)，则

V(E(t+1),I(t+1))-V(E(t),I(t))=

(μ+α)(μ+δ+γ)(R0-1)I(t)<0

这里V=0当且仅当E=I=0，在{(S,E,I,R)∶ΔV=0}内的最大不变集是单点集{P0}，由LaSalle不变原理[13]可得，当R0<1时，模型(1)的无病平衡点P0是全局渐近稳定的.

定理2 当R0>1时，疾病将会在人群中持续存在，即系统(1)是一致持久的.

证明：定义X={(S,E,I,R)|S,E,I,R≥0}，X0={(S,E,I,R)∈X|E>0,I>0},

∂X0=XX0,令Φ：X→X,

Φt(x0)=Φ(t,x0)是模型(1)的解映射且满足初值Φ(0,x0)=x0,x0=(S(0),E(0),I(0),R(0)).

容易验证空间X,X0是正不变的，且X0是空间X的相对开集，X0是空间X的相对闭集.解映射Φt是紧的和点耗散的，利用文献[14]中的定理1.1.3可知，Φt有一个紧的全局吸引子.

令M=(P0)=(Λ/μ,0,0,0),

M∂={(S,E,I,R)∈∂X0|Φt(S,E,I,R)∈∂X0,∀t≥0}，下面证明

M∂={(S,E,I,R)∈∂X0|E,I=0}.

显然，{(S,E,I,R)∈∂X0|E,I=0}⊂M∂，只需证M∂⊂{(S,E,I,R)∈∂X0|E,I=0}，这意味着若(S(0),E(0),I(0),R(0))∈M∂，则E(0)=I(0)=0，反之，假设至少E(0),I(0)中有一个大于零，不失一般性，设E(0)>0成立，下面证明对于t∈[0,T],E(t),I(t)都将大于零.

由模型(1)中的方程可得

E(t)≥(1-μ-α)E(t-1)≥

(1-μ-α)tE(0)M1

I(t)=(1-μ-δ-γ)I(t-1)+αE(t-1)≥

(1-μ-δ-γ)I(t-1)+αM1>

(1-μ-δ-γ)tI(0)M2Λ+(1-β-μ)S(t-1)≥

R(t)≥(1-μ)R(t-1)+γM2≥

则对于t∈[0,T]，有(S(t),E(t),I(t),R(t))∈X0成立，故产生矛盾.因此，

M∂⊂{(S,E,I,R)∈∂X0|E,I=0}.

另外，在M∂中Φ有唯一的不动点P0，当R0>1时，唯一的不动点P0是不稳定的，运用文献[15]中的引理5.9可知,在∂X0中，M中没有子集能形成一个环.由

如果R0>1，我们可以断言存在一个足够小的正数σ>0，使得

(S0,E0,I0,R0)∈X0

(3)

(4)

当t>T2时，考虑如下系统

该系统的雅克比行列式为

3 地方病平衡点的稳定性

令P*(S*,E*,I*,R*)是模型的平衡点，则有:

αE*-(μ+δ+γ)I*=0,γI*-μR*=0,

由于N*=S*+E*+I*+R*,通过计算可得，当R0>1时，模型有唯一的地方病平衡点P*,其中,

为研究模型在地方病平衡点P*处的稳定性，模型在平衡点P*处的雅克比矩阵是

尽管在理论上我们可以使用Jury判据来讨论模型的地方病平衡点的局部稳定性，但由于模型的复杂性，使得Jury判据不具备实际操作性，我们利用数值模拟的方法来讨论地方病平衡点的稳定性.取定参数值Λ=50,β=0,12,μ=0.006,γ=0.07,α=0.03,δ=0.001,计算可得R0=1.3,正平衡点P*(S*，E*，I*，R*)=(6 400,322,126,1 464),通过计算可得模型(1)在P*处的雅克比矩阵是

并且ρ(J)<1,由Jury判据[8]可得模型(1)的地方病平衡点P*是局部渐近稳定的.为了研究平衡点P*的全局性态，我们选取上述参数值，选取四组不同的初始值来做数值模拟，数值模拟的结果显示模型的解最终趋于平衡点P*(如图1所示)，说明模型(1)的地方病平衡点P*可能是全局渐近稳定的.

图1 地方病平衡点P*的全局渐近性态

4 结束语

本文分析了一类离散SEIR模型，得到了模型的基本再生数，分析了模型的动力学性态.结果表明:当R0<1时，模型存在唯一的无病平衡点并且是全局渐近稳定的;当R0>1时，模型还存在唯一的地方病平衡点，模型是一致持久的.最后，通过数值模拟展示了地方病平衡点的全局渐近性态.

[1]L.Allen.Somediscrete-timeSI,SIR,andSISepidemicmodels[J].Math.Biosci,1994,124:83-105.

[2]C.CastilloChavez,A.Yakubu.Discrete-timeSISmodelswithcomplexdynamics[J].NonliearAnalysis,2001,47:4 753-4 762.

[3]J.Franke,A.Yakubu.Discrete-timeSISepidemicmodelinaseasonalenvironment[J].SIAMJ.Appl.Math,2006, 66:1 563-1 587.

[4]Y.Zhou,F.Paolo.Dynamicsofadiscreteage-structuredSISmodels[J].DiscreteandContinuousDynamicalSystems,SeriesB,2004,4:843-852.

[5]CaoH,ZhouY.Thediscreteage-structuredSEITmodelwithapplicationtotuberculosistransmissioninChina[J].Math.Comput.Model,2012,55(3):385-395.

[6]ZhouY,MaZ.Globalstabilityofaclassofdiscreteage-structuredSISmodelswithimmigration[J].Math.Biosci.Eng.,2009,6:409-425.

[7] 曹 慧,王玉萍.具有饱和治愈率的离散SIS传染病模型的动力学性态[J].陕西科技大学学报(自然科学版),2013,31(5):147-150.

[8] 杜 鹏,段彩霞,廖新元.一类具logistic出生率的SIS传染病模型的全局稳定性[J].陕西科技大学学报(自然科学版)，2014，32(4):167-171.

[9]MaX,ZhouY,CaoH.GlobalstabilityoftheendemicequilibriumofadiscreteSIRepidemicmodel[J].AdvancesinDifferenceEquations,2013(1):1-19.

[10] 李颖路,雷 磊,马润年.一类离散的传染病模型分析[J].空军工程学报,2006,7(3):85-88.

[11]O.Diekmann,J.Heesterbeek,J.Metz.Onthedefinitionandthecomputationofthebasicreproductionratioinmodelsforinfectiousdiseases[J].J.Math.Biol.,1990,35:503-522.

[12]L.Allen,VanDenDriesscheP.Thebasicreproductionnumberinsomediscrete-timeepidemicmodels[J].J.DifferenceEquationsandApplications,2008,14:1 127-1 147.

[13]S.Elaydy.Anintroductiontodifferenceequations[M].NewYork:Sprink,2004.

[14]X.Zhao.Dynamicalsystemsinpopulationbiology[M].NewYork:Springer-Verlag,2003.

[15]P.Salceanu,H.Smith.Persistenceinadiscrete-timestage-structuredepidemicmodel[J].J.DifferenceEqua.Appl.,2010,16:73-103.

The dynamical behavior of a discrete SEIR epidemic model

MA Xia1，CAO Hui2

(1.Department of Science,Taiyuan Institute of Technology,Taiyuan 030008, China; 2.College of Science, Shaanxi University of Science & Technology, Xi′an 710021, China)

A discrete SEIR epidemic model is formulated and studied.The basic reproduction number is defined,and the dynamical behavior of the model is studied.The existence and stability of disease free equilibrium is proved,and the persistence of the model is obtained.The existence and stability of epidemic disease equilibrium is discussed.Numerical simulations are conducted to demonstrate the global stability of epidemic disease equilibrium.

discrete epidemic model; stability; persistence; dynamical behavior

2015-01-19

国家自然科学基金青年项目(11301314); 陕西省科技厅自然科学基础研究计划项目(2014JQ1025)

马 霞(1990-)，女，河南驻马店人，助教，硕士，研究方向：传染病动力学、生物数学

1000-5811(2015)03-0173-04

O175

A