动中有静，变中有定

解析几何其本质是用代数的方法研究几何图形的性质，即通过引进直角坐标系，建立点与坐标、曲线和方程的对应关系，将几何问题转化为代数问题，从而用代数方法研究几何问题。解析几何充分体现了数形结合的数学思想，是教学中渗透数形结合思想的有效载体。有了这个强有力的工具，我们就可以通过建立曲线的方程来研究曲线的几何性质。南开大学的顾沛教授在讲授《数学文化》中指出：从变化的数学模型中研究不变的性质是数学研究的方向之一。这个观点对于高中实际教学有着普遍的指导意义。同时对理解高考数学试题的考察导向也有指导作用。高中解析几何内容因为其思维复杂、计算繁琐等特点，让学生惧怕。所以很多省份高考将解析几何题作为考察学生数学能力和素养的重要题型。解析几何中“动”与“静”、“变”与“定”的相互转化互存共生，运动中有相对静止的现象，变化中也蕴含着大量的不变性质。所以探究平面解析几何中曲线不变的几何性质可以考察学生的探究意识和探究能力，是众多高考命题专家命制平面解析几何题的考察重点和热点。变化中的不变性质同时也正是曲线内在美、和谐美的魅力所在。本文旨在通过一些例题浅谈如何利用曲线的方程来探究曲线过定点这个不变性质。

一、直线过定点问题

点评：解法一是从特殊到一般的探究方法，先通过两条特殊直线，找到交点（即定点），然后再证明这点在所有直线上。这种从特殊到一般的思想是处理定点问题的一种有效探究性方法，其优越性体现在为定点的确定指明了方向。解法二是从不定方程的角度反客为主，利用参数的任意性来获得方程恒成立的代数条件从而确定定点的坐标，这种方法是处理曲线过定点的常用方法。

变式1：已知直线L：（m+1）x−（4m−1）y−5=0。求证：不论实数m为何值，直线L恒过第一象限。

二、圆过定点问题

点评：处理圆过定点问题和直线过定点类似，关键是要从圆的方程中分离出参变量，对圆的方程变形成以参变量作为未知数的方程，利用参变量的任意性来确定变量的取值，从而确定圆过定点坐标。