小学生数学符号意识发展研究综论

陶红强

摘要：发展学生数学符号意识，尤其是小学生的符号意识，应成为小学数学教学的重要目标之一。围绕数学符号意识这一主题，很多学者从概念内涵、培养策略等角度已经进行了探索，并取得了大量的研究成果。对符号意识研究所取得的成果进行总结，并分析出其优点与不足，以启发从研究对象、内容、方法三个方面做进一步的研究。

关键词：小学数学;数学符号意识;概念内涵;培养策略;发展规律

中图分类号：G623.5 文献标志码：A 文章编号：1673-9094（2015）06A-0055-03

“数学的本质是概念和符号，并通过概念和符号进行运算和推理”[1]，而符号性是数学学科的特质。这种具有数学学科特质的符号，即数学符号，是表达数学对象和进行数学思考的工具。因此数学教学的目的之一就是要使学生懂得数学符号的意义，会运用数学符号解决实际问题和数学本身问题，发展学生的符号意识。为此，我国义务教育数学课程标准（2011年版）把发展学生符号意识作为重要的学习内容，并明确指出“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式。”从以上对数学符号意识的相关描述进行分析，可以得知数学符号的背后暗含了数学抽象、推理、模型等思想，这些基本思想将在学生日后的生活和后续学习中发挥重要作用。这些都充分体现了学生数学符号意识的重要性。为此，国内外一大批学者和一线教师在数学符号意识的内涵、具体表现以及培养策略等方面做出了探索。本文对关于符号意识研究所取得的成果进行了分析和总结，指出了其优点与不足，以启发后继的研究。

一、国外关于符号意识概念内涵的研究

对于符号意识，目前并没有一个统一的、精确的定义。匈菲尔德等人认为：“符号意识包括能够给符号、表达式和公式赋予意义，并感受到它们的结构。”[2]阿凯菲进一步把符号意识与数学意识进行类比，由此给出了符号意识的一些基本特征，“其中包括：建立公式的技能，确认等价表达式的能力，以及怎样通过这些公式和表达式去表示数学的意义。同时，他还指出，符号意识是学习代数的必要条件”[3]。从两位外国学者对符号意识的描述来看，他们都是从某个方面、某个局部来认识的。例如：匈菲尔德主要是从能否理解符号意义这个角度来看的;而阿凯菲则是从用符号表示数学对象的角度来看的。这些观点虽然有助于我们对符号意识的了解，但并不全面。1990年Fey提出符号意识应包括这样几部分能力：“认识与鉴别能力，估算能力，验算与预告能力，选择能力”[4]。较以上两位学者，Fey提出的见解比较全面，对我们进一步理解符号意识具有很高的参考价值。佐恩则把符号意识看作“从符号中抽象出数学意义和结构，用符号有效地表达数学意义和结构，以及通过符号的操作发现新的数学意义和结构的一般化能力”[5]。从佐恩的描述来看，他对符号意识的解释更为具体，有利于我们从实践的角度来培养学生的符号意识。但是以上学者所说的都不是符号意识的真正内涵，而更倾向于对数学符号能力的体现，所以，什么是符号意识真正的内涵，值得我们进一步去思考。

二、国内关于符号意识概念内涵的研究

义务教育数学课程标准（2011年版）对符号意识的内涵做出了具体界定：“符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。”我国很多学者和一线教师的观点都和上述观点一致。例如，鲍建生和周超认为符号意识应包括以下几个层面：“运用符号去表示数学的意义和结构;能够理解符号所表示的数学意义和结构;对符号进行演算（包括等价变形）;运用符号进行思维，从而发现新的数学意义和结构。”[6]再如，我国学者王林认为：“符号意识最重要的内涵是运用符号进行数学思考和表达，进行数学活动。这里包含两层意思：第一，理解并会用符号表示数、数量关系和变化规律;第二，用符号可以进行运算，可以进行推理，其结果具有一般性。”[7]这些关于符号意识的研究多是用描述的方法对符号意识给出界定，虽在实际操作中具有可操作性，但仍不能让教师得到符号意识的定义。重庆师范大学教授黄翔对义务教育数学课程标准（2011年版）提出的符号意识做出了进一步的解读，认为其对符号意识的要求具体体现于“符号理解、符号操作、符号表达、符号思考4个维度”[8]。通过以上分析，我们发现这些学者对义务教育数学课程标准（2011年版）的不同解读，虽然最终都没有给符号意识下一个明确定义，只是描述了符号意识的具体体现，但正是这些学者的研究，为我们把“数学符号意识”的概念具体到可观察、可操作的行为层面提供了思路，使后继的进一步研究具有可行性。

三、关于符号感、符号意识发展的研究

有关符号意识现状的调查研究比较少，主要是在硕士论文和博士论文中。汤强的博士论文《7—9年级学生数学符号语言的理解与表示》从数学语言的理解和表示两个方面入手进行研究，最后得出结论：“导致学生在符号理解和表示上出现不同表现的本质原因是语言知识和符号意识。”[9]这项研究说明了符号意识的重要性，但是该论文虽然说学生不同表现的本质原因为语言知识和符号意识，却只是从语言角度来发现问题、分析问题和解决问题。从符号意识角度来研究相关问题则没有深入下去。孙萌的论文《初中数学符号语言学习与教学探究》主要是对初中生数学符号语言学习出现的问题进行分类，剖析，找出对策。论文研究认为“问题有这样几类：符号语言认识方面的问题、符号语言表达的问题、符号语言学习情感问题”[10]。这项研究也为我们研究数学符号意识指明了方向，即符号认识、符号表达等，但该文没有进一步阐明哪个阶段的突出问题是什么，如在哪个阶段符号认识问题比较突出等。

四、小学生数学符号意识培养策略的研究

数学符号语言的形成贯穿在中小学数学教学的全过程中。在小学阶段，尽管学生使用的数学符号比较有限，但是数学符号意识的萌芽已经开始，小学生数学符号意识的形成在一生学习过程中处于基础阶段，其重要性不言而喻。鉴于此，许多学者和一线教师从不同角度论述了小学生数学符号意识的培养策略。例如，南京师范大学李星云教授认为培养小学生数学符号意识的具体策略是“利用生活经验，激发学生的符号意识;设计问题情境，帮助学生形成符号意识;分阶段，有重点地逐步培养和发展学生的符号意识”[11]。特别是最后一个策略，分阶段有重点的培养，为我们继续研究小学生数学符号意识的发展阶段提供了思路。史炳星、马云鹏等老师提倡在解决问题的过程中发展学生的符号意识[12]。这主要是从符号运用的角度来发展学生的符号意识，对于系统地培养、研究学生的符号意识是不够的。《数学课堂中发展学生符号意识浅探》的作者杨春认为应从三个方面来发展学生的符号意识：“在情境中感受需要;在操作中升华内涵;在运用中体验规律。”[13]可以看出，这些策略比较偏向符号的运用方面。同样偏向于符号运用的相关研究还有西安交通大学第二附属小学的苏显炜老师，他在论文《小学生符号意识的培养研究》中认为：“通过尝试运用符号，建立学生的符号意识;通过灵活运用符号，强化学生的符号意识;通过解决实际问题，发展学生的符号意识;通过对比教学，提高学生的符号意识”[14]。而论文《数学符号意识的培养策略》作者雷笑艳、吴金鹏则从理解符号和应用符号的角度来谈培养小学生的符号意识[15]。和该观点相似的还有许光新，他认为：“应创设情境，促进学生理解符号意义;抓住联系，引导学生用符号进行多种表示;鼓励学生用符号去解决问题，培养学生的符号意识。”[16]由此，我们可以看出，关于符号的理解和运用应是符号意识形成的关键。

五、进一步研究的思考

国内外数学符号意识的研究虽然取得了不少的成果，但许多研究仍待进一步发展。

从研究对象来看，很多研究都比较注重对初中生和高中生数学符号意识的培养，而很少关注和研究小学生数学符号意识的培养。事实上，培养和发展学生的数学符号意识应贯穿于整个教育阶段，尤其要重视小学生数学符号意识的培养。小学阶段是学生数学符号意识的起点，也是进行后续学习的基础。对此，施里曼等人的观察发现（小学生使用符号不只是记录他们了解的事物，也是帮助进一步建构他们的想法，让他们在别的地方做不曾做过的推论）可以更好地说明。

从研究内容来看，目前的研究主要集中在两方面：一是关于符号意识的具体体现，而对于符号意识的内涵似乎到目前为止还没有一个明确的定义，这对教师们更好地理解数学符号意识的本质是不利的。二是主要集中在符号意识的培养策略上，特别是有关小学数学符号意识的培养。事实上，对于小学生数学符号意识的研究应该深入下去，特别是要进一步探索和揭示小学生数学符号意识的发展规律及其阶段性，这是重中之重。因为我们不能在不清楚小学生数学符号意识的发展规律以及阶段性的前提下去妄谈所谓的培养策略和途径。而只有把小学生数学符号意识的发展规律及其阶段性弄清楚了，才能更有效地去探索小学生数学符号意识的培养策略。

从研究方法上看，目前的研究大都是一线教师根据自己的教学经验来总结如何培养学生的符号意识。这些研究比较偏向于思辨，而实验研究，特别是高水平的实验研究比较少。

参考文献：

[1][7]王林.小学数学课程标准研究与实践[M].南京：江苏教育出版社，2011：109.109.

[2][3][5]鲍建生，周超.数学学习的心理基础与过程[M].上海：上海教育出版社，2009：323.323.323.

[4]王林全.发展学生数学符号意识的要领[J].数学通报，1996（5）.

[6]张号，童莉，黄翔.数学符号 从“感”到“意识”[J].数学教育学报，2014（1）.

[8]黄翔.数学课程标准中的十个核心概念[J].数学教育学报，2012（4）.

[9]汤强.7—9年级学生数学符号语言的理解与表示[D].重庆：西南师范大学，2009：Ⅰ—Ⅱ.

[10]孙萌.初中数学符号语言学习与教学探究[D].济南：山东师范大学，2013：Ⅰ.

[11]李星云.数学符号感的认识及培养策略[J].广西教育，2007（11）.

[12]史炳星，马云鹏，唐复苏.在解决问题的过程中发展学生的符号感[J].数学教育学报，2002（5）.

[13]杨春.数学课堂中发展学生符号意识浅探[J].广西教育，2013（10）.

[14]苏显炜.小学生符号意识的培养研究[J].时代教育，2012（7）.

[15]雷笑艳，吴金鹏.数学符号意识的培养策略[J].教学月刊（小学版），2014（3）.

[16]许光新.发展学生符号意识探微[J].教学月刊（小学版），2013（5）.

责任编辑：石萍

Review of Research on Pupils Mathematics Symbol Awareness Development

TAO Hong-qiang

（Liyang Wenhua Primary School， Liyang 213300， China）

Abstract： One of the most important goals for primary school mathematics teaching is to develop pupil's symbol awareness. Many scholars have explored the theme from the angles of connotation and strategy training with a wealth of research fruits. A review of such research can provide revelation for further research from three aspects： object， content and method.

Keywords： primary school mathematics; symbol awareness; connotation; strategy; principle