湖北省十年高考新定义题分类评析

☉中国人民大学附属中学 吴中才

☉湖北省公安县第二中学 袁泽军

湖北省十年高考新定义题分类评析

☉中国人民大学附属中学 吴中才

☉湖北省公安县第二中学 袁泽军

湖北省自2004年自主命题以来，横跨新旧课程改革，高考数学命题的发展大致经历了三个阶段：第一阶段（2004年）是起步模仿期，第二阶段（2005～2006年）是改革尝试期，第三阶段（2007年～现在）是成熟稳定期.高考数学试题突出能力立意，坚持稳中求新，力求体现试题背景公平、设问方式多元化的特点.于是，新定义题就应运而生，而且逐步成为湖北省高考数学试题一道靓丽的风景线.

除2004年外，其余十年都命制了新定义题.为了管窥湖北省高考数学命题，现对湖北省十年高考新定义题进行分类评析，以期抛砖引玉.

一、以集合为背景

例1（2005年理科第1题）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q=｛a+b|a∈P，b∈Q｝，若P=｛0，2，5｝，Q=｛1，2，6｝，则P+Q中元素的个数是（）.

A.9B.8C.7D.6

评析：本题以集合为背景，定义了集合之间的一种“＋”运算，研究集合的元素个数，考查集合元素的性质和简单的计数原理，难度不大.

例2（2006年理科第8题）有限集合S中元素的个数记作card（S）.设A、B都为有限集合，给出下列命题：

①A∩B=⊘的充要条件是card（A∪B）=card（A）+ card（B）；

②A⊆B的必要条件是card（A）≤card（B）；

③A∉B的充分条件是card（A）≤card（B）；

④A=B的充要条件是card（A）=card（B）.

其中真命题的序号是（）.

A.③④B.①②C.①④D.②③

评析：本题以集合的元素个数为背景，定义了“card”，研究集合元素的个数与集合关系和运算之间的关系，考查了充分必要条件等知识，综合性较强.

二、以数式为背景

例3（2012年理科第13题）回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如22，121，3443，94249等.显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99.3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.则：

（Ⅰ）4位回文数有______个；

（Ⅱ）2n+1（n∈N+）位回文数有______个.

评析：本题以一类具有对称特点的整数为背景，借鉴了语文中的“回文”修辞手法，定义了“回文数”的概念，从特殊到一般，考查了计数原理.

另外，本题（Ⅱ）也可以这样解答：2位回文数有9个，3位回文数有90个，这是初始条件.计算4位回文数的个数可以看作2位回文数中间添加成对的“00，11，22，…，99”，因此，4位回文数有9×10=90（个），若记2n（n∈N+）位回文数的个数为S2n，则这里蕴含的递推关系是S2（n+1）= 10S2n.同样，奇数位回文数可以看作在偶数位回文数的最中间添加0～9这十个数，因此S2n+1=10S2n.从这个角度理解，本题还考查了数列的递推关系或等比数列的通项公式.

评析：本题以杨辉三角和组合数（式）为背景，将“莱布尼茨三角形”引进了试题，考查考生的类比归纳及推理能力.第一空侧重观察、类比、归纳，考查了合情推理能力，也可以进行推理运算求解；第二空则利用力与数列极限知识，设计精巧，设问合理.

三、以运算为背景

例5（2011年理科第9题）若实数a、b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补.记φ（a，b）=-a-b，那么φ（a，b）=0是a与b互补的（）.

A.必要而不充分的条件

B.充分而不必要的条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要的条件

评析：本题以实数a、b的积运算为背景，定义了a与b“互补”的概念，考查了充分必要条件和数与式的推理运算能力，题目难度不大、新颖得体.

（Ⅱ）求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；

（Ⅲ）记g（x）=|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值.（参考公式：x3-3bx2+4b3=（x+b）（x-2b）2）

评析：本题以运算为背景，定义了一种新运算“⊗”，通过新运算给出一个函数f（x），然后研究与函数极值、切线、最值相关的问题，考查了导数在研究函数问题中的应用.

四、以数列为背景

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件

B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

评析：本题以数列为背景，借助数列的平方、商运算，新定义了“等方比数列”，考查了充分必要条件、对等比数列与新定义的概念的理解，以及进行简单平方与开方的运算能力.

五、以函数为背景

例7（2007年理科第6题）若数列｛an｝

例8（2012年理科第7题）定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数（fx），如果对于任意给定的等比数列｛an｝，｛（fan）｝仍是等比数列，则称（fx）为“保等比数列函数”.现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：①（fx）=x2；②（fx）= 2x；③（fx）=；④（fx）=ln|x|.则其中是“保等比数列函数”的（fx）的序号为（）.

A.①②B.③④C.①③D.②④

评析：本题以函数为背景，使其作用于数列，新定义“保等比数列函数”的概念，立足数列知识，考查了等比数列的概念以及幂、指数、对数运算能力，研究函数作用下的数列是继以运算为背景定义新数列命题的又一创新.

例9（2014年理科第6题）若函数f（x）、g（x）满足组正交函数，给出三组函数：

其中为区间［-1，1］上的正交函数的组数是（）.

A.0B.1C.2D.3

评析：本题以函数为背景，研究函数的定积分的性质，新定义了“正交函数”的概念，考查三角运算与多项式运算，以及三角函数与多项式函数的定积分运算，深层次考查了偶函数的性质，难度较低.

六、以均值为背景

评析：本题以均值的几何意义为背景，新定义“调和平均数”的概念，考查对几何图形的代数度量的理解、圆的相关知识、射影定理以及推理运算能力.本题源自课本，又有所拓展，是考查高考复习中对教材的处理和挖掘的较好实例.

例11（2014年理科第14题）设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，且f（x）＞0.对任意a＞0，b＞0，若经过点（a，f（a））、（b，-f（b））的直线与x轴的交点为（c，0），则称c为a、b关于函数f（x）的平均数，记为Mf（a，b）.例如，当f（x）=1平均数.

（Ⅰ）当f（x）=_____（x＞0）时，Mf（a，b）为a、b的几何平均数；

（Ⅱ）当f（x）=_____（x＞0）时，Mf（a，b）为a、b的调和平

（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）

评析：本题以函数为背景，新定义了两正数关于函数的平均数，考查两数的几何平均数和调和平均数的概念、解析几何中直线的相关知识，以及运算求解的能力，难度中等.这是2010年对均值的几何意义考查之后，从函数角度理解和考查几何、调和平均数的新题.

七、以（解析）几何为背景

例12（2011年理科第20题）平面内与两定点A1（-a， 0）、A2（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.

（Ⅰ）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的值的关系.

（Ⅱ）当m=-1时，对应的曲线为C1；对给定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C2.设F1、F2是C2的两个焦点.试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积S=|m|a2？若存在，求tan∠F1NF2的值；若不存在，请说明理由.

评析：本题以轨迹方程为背景，新定义了曲线C，考查曲线与方程的知识、分类与讨论的方法、数形结合的思想、推理运算能力，以及对圆和圆锥曲线概念的理解和掌握情况，题型是比较传统的新定义题，但对C的形状的讨论和第二问的探究性问题的设问比较有新意，也有一定的难度.

例13（2010年理科第10题）记实数x1、x2、…、xn中的最大数为max｛x1，x2，…，xn｝，最小数为min｛x1，x2，…，xn｝.已知△ABC的三边边长为a、b、c（a≤b≤c），定义它的倾斜“△ABC为等边三角形”的（）.

A.必要而不充分的条件

B.充分而不必要的条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要的条件

评析：本题以三角形为背景，借助最大数与最小数，新定义了“倾斜度”的概念，考查充分必要条件，同时考查了学生对反例的运用意识和能力.

纵观湖北省近十年高考新定义题，从题型看，涵盖了选择题、填空题和解答题；从背景看，涉及了集合、数式、运算、函数、数列、解析几何等方面，目前还未涉及的有三角、立体几何、统计与概率等方面；从考查的知识看，较多地考查了充分必要条件、计数原理、与背景相关的数学知识，以及阅读理解和推理运算的能力.新定义题对众多考生而言背景公平，同时能较好地考查学生分析问题与解决问题的能力，能较好地体现高考的命题立意.

1.李红春，皮桂兰.好题精彩又重现，文化气息别样浓——对湖北省4道高考试题的赏析与感悟［J］.中学数学（上），2015（2）.A