解析数值计算问题的求解方法——评《现代数值计算》

书名：现代数值计算

作者：同济大学计算数学教研室

出版社：人民邮电出版社

出版时间：2009年10月

定价：28.00元

目前，有效地使用计算机求解数值问题的方法和过程的理论与实践研究已经成为现代数学学科构成的重要组成部分，如何利用计算机解决纷繁复杂的数学问题已经成为数值计算领域的重要内容。随着科学技术的发展，数值计算和数值分析已经越来越受到人们的重视，特别是数值分析作为科学计算方面的主要课程被列为高校基础课程之后，现代数值计算更受重视。经同济大学计算数学教研室的相关教师的多年研究，在原有教材的基础上改编而成的适合于工科学生目前学习需求的教材——《现代数值计算》一书是以数值计算中解决分析数值计算问题，寻求数值计算的解题方法。《现代数值计算》是同济大学一线教师共同编写而成的，以Matlab软件为平台，对数值计算的基本概念与方法进行讲述和介绍，强调算法形成的思路以及计算的实践，同时加强了数值实验。

《现代数值计算》涉及函数插值与函数逼近、线性与非线性方程（组）的求解、微分与数值积分的分析、矩阵的特征值与特征向量的计算、微分方程近似数值的求解等在内的数值计算的基本内容以及工程研究和学科新领域计算求解新方法（如在多重积分领域的蒙特卡罗方法、快速傅里叶变换、大型线性方程组中的分块迭代算法、数值求导中的稳定算法等）。这些新方法是在工学领域研究过程中典型案例经验基础上的方法创新。此外，作者在介绍一些经典算法时为了更贴近学生的思维、增强实用性，还附上了工程中广泛运用的Matlab程序，以便于大家在修完此课程后能快速地上手做一些工程项目中的计算与编程问题。

《现代数值计算》以实际应用为目的，以基本原理为基础，以基本技术为主线，以Matlab为平台，加强学生的编程能力。现代数值计算包括连续系统离散化与离散形方程的求解问题以及考虑性和收敛性的问题。全书共9章，其中第1章“科学计算与Matlab”是该书的基础部分内容，分别介绍了Matlab环境和在该环境下的科学计算；第2章“线性方程组的直接解法”；第3章“多项式插值与样条插值”；第4章“函数逼近”；第5章“数值积分与数值微分”；第6章“线性方程组的迭代解法”；第7章“非线性方程求根”是对以二分法求根的思想为基础的迭代法和收敛法并用的非线性求根法的阐述；第8章“矩阵特征值与特征向量的计算”；第9章“常微分初边值问题数值解”。作为现代数学教材，《现代数值计算》介绍了数值计算领域中的基本思想、基本理论与基本算法以及实用性计算方法。但是由于该教材的编写初衷是给工科学生作为教材，并且受教学课时和学生接受程度的限制，《现代数值计算》这本教材的编写只是对数值计算领域理论和基本计算方法内容的一个初步介绍，但是它的实用性却不容忽视。为了便于初期的数值计算方法的掌握，作者在介绍一些数学计算上比较深入，并未对相关的理论做详细的证明，反之是简单地将结果运用其中，便于理解和深入学习。在该书的最后，作者将一些相关的参考书目列在其中，有兴趣的读者或者是想要进行继续深入研究的学者可以根据这些内容轻松地找到可用的资料。

该书已经将数值计算的求解方法全面具体地展示给读者。一般在数值积分计算中主要运用求定值积分的近似值的方法。在这种情况下主要是借助微积分学的牛顿-莱布尼茨公式计算定积分，或是非线性函数求定积分。构造数值积分公式中的插值型求积公式也是最通用的积分计算公式。此外，牛顿-柯茨公式、龙贝格求积公式和高斯型求积公式也都是准确程度很高的积分近似值求解方法。但是由于数值计算的结果是离散的，存在一定的误差是不可避免的，因此在数值计算的过程中一定要保障其稳定性，控制误差的增长，确保高精度计算。

《现代数值计算》一书在每章后面配合教学内容给出大量习题，并提供了配套的习题解答，可供阅读者自学使用。全书吸收了国内外优秀教材的优点，结合当前数值计算的一些新方法，由浅入深地介绍了各种概念和算法，并附有许多实践性的题目。《现代数值计算》要求读者首先掌握高等数学的相关知识、线性代数以及初步的概率方面的知识，是一本浅显易懂、适合大学本科学生和工科研究生使用的数值计算基础教材。该书适合作为高等院校本科生和工科研究生数值计算课程的教材与参考书，也适合作为相关科研人员的参考用书。