变形预测的总体最小二乘拟合推估方法

金　童吴　飞陶武勇

（1.中国能源建设集团广东省电力设计研究院　广东广州　510530；2.东华理工大学测绘工程学院　江西南昌　330013；3.江西信息应用职业技术学院　江西南昌　330043）

变形预测的总体最小二乘拟合推估方法

金童1吴飞2陶武勇3

（1.中国能源建设集团广东省电力设计研究院广东广州510530；2.东华理工大学测绘工程学院江西南昌330013；3.江西信息应用职业技术学院江西南昌330043）

摘要：采用传统GM(1,1)方法对建筑物的沉降进行预测时，仅考虑了观测向量中的误差。但系数矩阵中的元素是由观测量组成的，不可避免地含有误差。建立GM(1,1)联合模型，采用总体最小二乘拟合推估法求解灰参数及沉降预测值，即顾及了观测值与系数矩阵中含有的误差，同时考虑到系数矩阵中常数项元素以及其它各元素间的相关性，将灰参数与沉降预测的解算同时进行，有效地提高预测精度。

关键词：总体最小二乘；拟合推估法；GM(1,1)；沉降监测

1　引言

由于变形体变形的原因十分复杂，为保证人民的生命和财产安全，对变形体进行变形监测和预报分析就显得十分必要［1］。沉降监测作为变形监测工作的一个分支，它涉及各类社会与经济问题，故沉降监测数据的处理也至关重要。灰色GM（1,1）模型计算简便，不需要大量的原始时间序列数据即可获得较好的预测结果［2］，已广泛应用于各类学科当中。1988年陈明东等首次采用灰色系统理论中的GM（1,1）模型对滑坡进行变形监测，此后该模型广泛地应用于滑坡监测及相关变形监测等工作中［3］。

本文以传统GM（1,1）模型为基础，结合目前已有文献中存在的一些不足，基于文献［4］提出的无缝三维基准转换模型的思想，建立GM（1,1）联合模型，并采用总体最小二乘拟合推估法进行求解。该方法考虑了观测值及预报值中存在的误差，顾及系数矩阵中常数元素的同时也考虑到了各项元素的相关性，并将灰参数与预测数据的计算同时进行。

2　GM（1,1）联合模型

假设原始数列，X（0）=［x（0）（1），x（0）（2），…，x（0）（n）］对其进行1次累加得到数列［5］：X（1）=［x（1）（1），x（1）（2），…，x（1）（n）］，式中建立一阶白化微分方程［5］：

式中t为时间，a，u为待求灰参数，系数矩阵及观测向量可以写成：

写成矩阵的形式可以得到［5］：

采用最小二乘方法，求解得到参数估值［5］：

求微分方程可得预测模型，再进行累减得［5］:

系数矩阵中第一列是由观测数据组成，不可避免地含有误差，对（2）式系数矩阵引入误差可以得到函数模型：

采用总体最小二乘法解算得到的两个灰参数，结合GM（1,1）的预报公式（4），计算得到 m期的预测值，将预测值组成系数矩阵可得：

则可得预报部分的函数模型：

因此可建立GM（1,1）联合模型：

顾及各元素之间的相关性，该模型的随机模型为：

3　拟合推估法

拟合推估模型的标准形式为［4］［6］：

式中y为n×1维的观测向量，ey、C分别为y对应的误差向量及系数矩阵，是 维的参数。β是k×1维未知随机信号向量，ey0、C0分别为y0对应的误差向量及系数矩阵。推估模型的求解包含平差部分和预报部分［4］。

若ey和ey0服从正态分布［4］：

依据最小二乘准则可得最优线性无偏的参数估值和预报值为［4］［6］：

总体最小二乘拟合推估法的基本思想是：同时考虑观测向量及其对应的系数矩阵和随机信号及其对应的系数矩阵中含有的误差，并且考虑观测向量部分与预报部分的相关性，将观测值及其系数矩阵、预报部分及其系数矩阵与参数之间的联合函数模型改写成拟合推估模型的标准形式，依据不同的函数模型，推出其对应的观测部分的方差以及观测部分与预报部分的协方差，最后采用拟合推估法进行参数的解算。

4　GM（1,1）联合模型的解算

4.1GM（1,1）联合模型线性化

GM（1,1）联合模型为非线性模型，需先将其转化为线性模型。将采用高斯-牛顿法将联合模型线性化后再进行迭代计算，设第j次迭代后的估值为a（j），则参数a表示为［4］：

其中δa（j）为第j+1次迭代的参数改正数，将上式代回（8）式得［4］：

为避免忽略二阶以上的小量可能导致的收敛错误或迭代发散，采用第j次迭代估值EA（j）和EB（j）代替EA和EB作为系数矩阵［4］，并依据（10）式可将上式进行改写，对应拟合推估法的标准形式可得［4］：

对应拟合推估法标准形式的无偏参数和预报值的公式可以得：

由于预报和估计是相对独立的过程［4］，只需按照（20）式、（21）式计算得到灰参数，迭代终止后，将计算结果带入（22）式和（23）式计算沉降预测值。

4.2GM（1,1）联合模型协方差阵

求解上述该模型需已知系数矩阵与观测向量之间的协方差，即DAA，DBA，DALn，DBLn。

分别令

其中U1、U3分别为n-1、m行n+m列的矩阵，并令U2、U4分别为n-1、m行n+m列的零矩阵。令V1=［0… 0］T,V2=［1… 1］T,V3=［0… 0］T,V4=［1… 1］T,其中V1、V2为n-1行1列矩阵，V3、V4为m行1列矩阵，且令U、V、W为U=［U1U2U3U4］T,V=［V1V2V3V4］T，，则可得：

由误差传播定律可得：

由于观测数据是在不同的时间点采用相同精度的仪器或者采用相同方法获取的，故可近似认为这些观测数据同精度［8］。设δ1=δi=δn，δi为该观测值中误差，可得QLn=In-1、QX=In+m，故QW=UQXUT=UUT。其中DA、DB可以通过DWW得到。

将已知的观测向量及观测部分和预测部分写成：

分别令

式中O1、O2为n-1行n列矩阵，且令O3、O4为m行n+m列0矩阵。

根据协方差传播律，可得：

5　算例及分析

5.1模拟数据算例

给定GM（1,1）模型中的灰参数真值 ，，第一期观测值真值 ，再根据公式（4）模拟13期观测数据，对前10期模拟数据的真值加入误差并作为观测数据，后3期不加入误差并作为预测部分。假设各期的观测精度相同，并对观测数据加入标准差 的误差。模拟1000组数据，最终取1000次计算结果的平均值。表1为1000组数据中任取一组含有误差的观测数据，文中采用均方根值（RMS）来检验不同方法的预测精度，表2为不同方法计算结果。

从表2中可以看出，本文所采用的方案，得到的计算结果的均值要优于其它方案，预测精度相对最小二乘而言提高了49%。图1为1000次模拟数据计算得到的预测部分沉降值的均方根值，从图中可以看出，本文所采用的方法得到的计算结果较为稳定且计算精度较高。

6　结论

最小二乘方法忽略了系数矩阵中含有的误差；总体最小二乘法将系数矩阵中常数列也认为含有误差进行处理；混合总体最小二乘法虽考虑了系数矩阵中的常数列，但各项元素之间是不等精度的，需予以考虑；普通加权总体最小二乘法考虑了各项元素的精度问题，但忽略了观测向量与系数矩阵中元素的相关性。本文提出了GM（1,1）的联合模型，该方法考虑沉降观测值及由沉降观测值组成的系数矩阵的误差，同时顾及两者之间的相关性，将预测值作为含有误差的观测量，并将灰参数的计算与沉降预测同时进行，对模拟算例进行解算，通过与其它常用方法的比较，论证了本文方法的有效性。

参考文献：

［1］周世健,赖志坤,藏德彦,鲁铁定.加权灰色预测模型及其计算实现［J］.武汉大学学报（信息科学版）,2002,27（05）:451-455.

［2］邓聚龙.灰色预测与决策［M］.华中工学院出版社,1986.

［3］陈明东,王兰生.边坡变形破坏的灰色预报方法 ［A］.中国地质学会工程地质专业委员会.全国第三次工程地质大会论文选集（下卷）［C］.中国地质学会工程地质专业委员会,1988:8.

［4］李博峰,沈云中,李微晓.无缝三维基准转换模型［J］.中国科学:地球科学,2012,42（07）:1047-1054.

［5］鲁铁定.总体最小二乘平差理论及其在测绘数据处理中的应用［D］.武汉：武汉大学，2010.

［6］TeunissenPJG,SimonsD,TiberiusC.Probabilityand observationtheory.LectureNotesDelftUniversityofTechnology,2008.204–212.

［7］刘小龙,邱卫宁,杨克明,刘一江.混合LS-TLS的GM（1,1）模型在基坑水平位移监测中的应用［J］.测绘地理信息,2014,39（06）:36-38+46.

［8］袁豹,岳东杰,李成仁.基于总体最小二乘的改进GM（1,1）模型及其在建筑物沉降预测中的应用［J］.测绘工程,2013, 22（03）:52-55.