三角函数的图象

本节考题的重要类型是图象变换和求函数解析式，这类问题在选择题、填空题和解答题的第一问中都经常出现. 解题的关键是数形结合.

本节知识的重点和难点是：①能用“五点法”作出y=sinx、y=cosx的图象，并能作出y=tanx的图象；②能够由y=sinx的图象通过变换得出函数y=Asin（ωx+φ）+b的图象. 在确定正弦函数y=sinx（x∈[0，2π]）的图象时，起关键作用的5个点是（0，0）， ，1，（π，0）， ，-1，（2π，0）.

在确定余弦函数y=cosx（x∈[0，2π]）的图象时，起关键作用的5个点是（0，1）， ，0，（π，-1）， ，0，（2π，1）.

三角函数图象变换：主要途径是“先周期后相位”和“先相位后周期”，三角函数图象的变换主要是指同名的三角函数图象间的变换关系以及异名（主要是正弦与余弦）三角函数图象的变换关系，对于后者，变换时要先将它们利用诱导公式转化为同名的函数，两个同名函数图象的变换主要先考虑相位变换，再考虑周期变换，最后考虑振幅变换. 如果先进行了周期变换，再进行平移变换时，此时向左或向右平移的单位是 个单位长度，而不是φ个单位长度.

用待定系数法求正弦、余弦形式的三角函数解析式要注意：（1）已知函数图象求函数y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的解析式时，常用的解题方法是待定系数法，由图中的最大值或最小值确定A，由周期确定ω，由适合函数解析式的点的坐标来确定φ，但由图象求得的y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的解析式一般不唯一，只有限定ω的取值范围，才能求出唯一解，否则φ的值不确定，解析式也就不唯一.

（2）将若干个点代入函数解析式，可以求得相关待定系数A，ω，φ，这里需要注意的是，要认清选择的点属于“五点”中的哪一个点，并能正确代入式中. 依据五点法作图原理，对于正弦型函数y=Asin（ωx+φ）+k，点的序号与式子的关系是：“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为ωx+φ=0；“第二点”（即图象的最高点）为ωx+φ= ；“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为ωx+φ=π；“第四点”（即图象的最低点）为ωx+φ= ；“第五点”为ωx+φ=2π.

例1 已知函数f（x）= ·sin2xsinφ+cos2xcosφ- sin +φ（0<φ<π），其图象过点 ， .

（1）求φ的值；

（2）将f（x）图象上各点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在0， 上的最大值和最小值.

破题思路 根据方程思想，本题只有一个参数，所以把点 ， 直接代入函数解析式，得到一个等式即可；化简函数解析式，采用先周期变换、振幅变换，再相位变换比较简单.

答案详解 由题意把点 ， 代入函数的解析式得 sin sinφ+ cosφ- cosφ= ？圯 sinφ+ cosφ=sinφ+ =1.

（1）sinφ+ =1，φ∈（0，π），φ+ ∈ ， ，φ+ = ，φ= .

（2）f（x）= sin2x· + cos2x- = sin2x+ （1+cos2x）- = sin2x+ ，

依题意g（x）= sin2·2x+ = sin4x+ ，

当4x+ = ，即x= 时，g（x）取最小值- ；

当4x+ = ，即x= 时，g（x）取最大值 .

例2 函数f（x）=Acos +φ其中A>0，φ∈- ，0的图象如图1所示，

图1

（1）若函数y=f（x）的图象过点（π，1）和 ， ，求函数的解析式；

（2）如图1所示，点M，N是函数y=f（x）的图象在y轴两侧与x轴的两个相邻交点，函数图象上一点C（x0， ）满足 · = ，求函数y=f（x）的最大值.

破题思路 对于三角函数问题中的“知图求式”（及其性质），应重点关注以下方面：

（1）周期（可推出ω的取值范围）；

（2）振幅（可推出A（A>0））；

（3）特征点（可形成三角方程，以求φ的值）.

答案详解 （1）因为函数图象过点（π，1）和 ， ，

所以Acos +φ？摇=1，Acos +φ？摇= ，解得φ=- ，A=2，所以f（x）=2cos - .

（2）因为M，N是零点，所以令Acos +φ=0得 +φ=kπ+ （k∈Z），解得x=2kπ+π-2φ.

令k=-1，得x=-π-2φ，即M（-π-2φ，0）；

令k=0，得x=π-2φ，即N（π-2φ，0），所以 =（π-2φ-x0，- ）， =（2π，0）.

· =2π×（π-x0-2φ）= ，即π-x0-2φ= ，解得x0+2φ= ①.

又因为C（x0， ）在函数y=f（x）图象上，即Acos +φ= ，Acos = ，

将①代入得：Acos = ，即A=2 ，

所以函数y=f（x）的最大值是2 .

1. 已知向量m=（sinx，1），n= Acosx， cos2x（A>0），函数f（x）=m·n的最大值为6.

（1）求A；

（2）求将函数y=f（x）的图象向左平移 个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）在0， 上的值域.

2. 已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），其中x∈R，A>0，ω>0，- <φ< 的部分图象如图2所示.

图2

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）已知函数f（x）图象上三点M，N，P的横坐标分别为-1，1，5，求sin∠MNP 的值.endprint