无线MIMO系统信道容量分析

孙秀英 许鹏飞

（1.淮安信息职业技术学院计算机与通信工程学院，江苏 淮安 223003；2.东南大学信息科学与工程学院，江苏 南京 210096)

1 引言

在信息技术日益进步的今天，信息传输已经不再局限于文字，而是向多媒体传输方式转变。以往，无线通讯系统的发射/接收天线的选择非常有限，这就是所谓的SISO天线系统。SISO天线系统在信道容量上具有一个通信上不可突破的瓶颈--Shannon容量限制[1]。但是，无论实际的编码策略如何、调制技术如何，无线通道始终会给实际通讯带来一定的限制。现阶段，随着科技的发展，人们对数据传输速度的要求越来越高，因此，无线通信系统的容量亟待增加。而实现无线通信系统扩容的方式有很多种，比较典型的有：1加大系统发射功率；2拓展带宽；3架设更多的基站；4提高频谱利用率[2]。但是这些方法各有利弊，例如：加大系统发射功率会大大危害人们的健康，并且这对系统硬件的要求非常高，设计的复杂度也非常高。此外，发射功率在提高的同时，功率的能耗会大大增加，这是移动终端用户非常关注的问题之一。而增加基站需要密集地设置新的基站，这种方式需要投入的成本非常巨大，在万不得已时不会使用此法。在当前，无线应用市场使用最为广泛的是：UMTS（2GHz）、WLAN（2～5GHz），这两者都属于典型的微波频带[3]。而如果使用加大宽带的方式会带来严重的系统兼容冲突，这使得运营商的成本开支会大幅提升，所以，引入高频段的方式在近期内是不太可行的。

目前在众多的信号处理技术中，最受人们青睐的是多输入多输出技术（英文简称：MIMO），相关研究结果显示，在多径传播下无需提升带宽和发射功率，仅仅引入MIMO系统便可以大幅增加频谱效率，最终达到提升容量的目的。正是由于MIMO技术提高信道容量的这种特性，使得信息传输质量大幅提升，也博得了学术界的关注。其在3G与4G当中的应用前景都非常广泛[4]。如果平坦瑞利衰落信道呈现出独立同分布的特性，那么信道容量与天线数量会逐渐呈现出正向相关的关系。但在实际情况中，由于天线间距不够大、空间散射体不够丰富等原因，MIMO系统子信道间具有相关性，导致信道容量会有所下降。为了确定MIMO技术的实际性能，本文通过仿真的方式来研究天线数量和信道等变量与系统容量之间的关系。

2 理论基础

2.1 多输入多输出系统信道相关模型

按照发射端和接收端信道系数的相关性，我们把MIMO信道划分为不相关、半相关和全相关衰落信道[5]。

(1)不相关衰落信道：在这种信道当中，接收端和发射端都存在很多散射体，例如：城市微小区信道。但是两端的角度扩展度非常高，使得信道系数的联系非常微弱。在没有直射分量的情况下：

则信道可以表示可以为∶

式中HW指代在理想的情况下，瑞利分布MIMO信道矩阵；

hmn∈CN(0,1)指代符合独立同分布高斯随机变量的信道系数；

(2)半相关衰落信道：在这种信道当中，散射体仅仅存在于发射或者接收的一端，这种情况使得二者之间的角度扩展大大降低。此种类型的信道大多在基站空间或数量充足的情况下出现，天线之间没有相关性，且移动台周边存在很多建筑。此时，有：

则信道矩阵为：

(3)全相关衰落信道：在这种信道当中，在发射与接收端的远区场存在很多散射体，比较典型的例子就是：MIMO信道。此时：

则信道矩阵为：

图1向我们展示的是MIMO衰落信道。在瑞利分布中，我们引入一个等距线性矩阵（ULA），这个矩阵由nr根全相接收天线构成，天线之间的间隔是d，散射体存在于天线周围[6]。

图1 MIMO衰落信道的传播模型

图2向我们展示了天线阵列模型。其中包含的天线数量为nt个，由天线发出的信号会被反射体反射。为了更清楚地分析该模型，把接收端天线阵列模型单独表示[7]。

图2 天线阵列模型

现假定信号到达角的均值是θ，相关的概率分布密度函数是ρ(θi)，而角度扩展的取值是2Δ。

则对于θi方向的来波，间隔为dm,n＝(m-n)d的天线元素m、n之间的波程差为(m-n)dsinθi，由此带来的接收信号相位差为exp[-j2π(m-n)dsinθi]，因此其相关系数可以表示为：

不难看出，空域相关性与ρ(θi)函数之间的关系非常密切，但学者Lee认为ρ(θi)应当符合余弦分布的特点，学者Aszetly指出ρ(θi)应当符合高斯分布的各类特征，学者Salz则认为ρ(θi)应当满足均匀分布，而Pedersen却认为就DCS1800系统而言，拉普拉斯分布显得更为合理[8]。

在本文中，我们以ρ(θi)服从均匀分布为例，其概率密度函数为：ρ(θi)=12Δ，定性地研究d,θ,Δ与r的关系。

2.2 多输入多输出系统信道容量

现假设发射端天线并不了解信道的实际情况。那么这个时候可以通过均值来计算天线的功率，即Es/nt，此时，发射功率和接收功率的总取值相一致。在AWGN的影响下，天线会接收到一定程度的噪声，相应的信噪比是：ξ=Es/σ2。再假设信号带宽非常窄，那么便可以将信道频率响应视作平坦的[9]。

倘若编码长度非常长，并且可以足够多地处理信道衰落状态。也就是说，信道衰落的各种状态都会在编码长度范围内出现，那么这个时候的香农容量便可以视作不同信道下的平均信息概率取值，通常也被叫做各态历经容量。所以，这一容量是长时统计下的衰落信道容量的平均值。

换句话说，时变信道的信道情况实际上是典型的随机变量，但是该变量的各类取值均能视为确定信道，所以每个取值就会对应相应的容量值，那么时变信道的瞬时容量也能够视为随机变量[10]。将这里的瞬时容量求和，然后除以总数量便可得到各态历经容量，其具体情况见下图：

图3 时变信道容量示意图

信道各态历经容量为：

3 仿真与分析

3.1 典型MIMO系统的信道容量分析

在前文分析的基础上，我们对SISO、MISO、SIMO、MIMO的容量进行仿真和分析。以瑞利衰落信道为例，假设发射天线和接收天线均不相关，采用Monte-Carol方法和Matlab环境分别经过1000次迭代[11]，SISO与SIMO,MISO的比较仿真结果如图4和5所示。

图4 SISO与SIMO,MISO的比较

图5 SISO与SIMO,MISO的比较

通过仿真我们可以得出以下结论：

(1)假设信噪比相同，那么SIMO(1×2)的容量明显优于SISO的容量，且前者容量比后者高出接近60%。而SIMO(1×4)的容量相比SISO高出接近140%，这一仿真结果与理论结果是相同的。信道容量之所以会增加，原因在于空间分集降低了衰落作用的效果，而天线的合并使得信噪比大幅上升，SIMO能够收集到nr个信号的副本，因此，在天线增加的过程中，信道容量会相应地增加。

(2)假设信噪比相同，那么MISO的容量和SISO相比相差无几，出现这一现象的原因在于：n个天线虽然能够产生n个峰值增益，但发射天线对信道情况并不了解，那么使得自适应分配发射功率与波束形成技术很难在多元天线当中发挥作用，发射总功率会被n均分，这就意味着天线的发射功率均值会略微降低，如果存在那么这个时候，MISO与SISO二者的容量取值会大致相同。

(3)假设nt=nr=4或nt=nr=2，那么MIMO的容量与SISO相比，前者几乎是后者的4倍或2倍，原因在于MIMO借助空间复用形成了n条可同时发挥作用的子信道，这些子信道的容量和就是信道的总体容量，因而其取值会大幅上升。

3.2 相关性对信道容量的影响

为了直观地研究角度扩展对相关系数r和信道容量的影响，图6和图7给出了θ=0ο，Δ 分别为10ο,30ο,60ο,90ο时，相邻天线的相关系数、各态历经容量等和天线之间的距离d的关联度。

同样地，为了研究平均到达角对相关系数r和信道容量的影响，图8和图9给出了θ=0ο，Δ 分别为10ο,30ο,60ο,90ο时,2×2MIMO信道各态历经容量、等距天线等于角度扩展之间的关联度。

图6 角度扩展与系数的关系

图7 角度扩展与各态历经容量的关系

可以得出：(1)不断增加天线间距d，信道间相关系数r不断变小，直至趋于稳定，信道各态历经容量越大；(2)对于相同的天线间距d，不断增加角度Δ，信道相关性r减小，信道各态历经容量越大。

图8 平均到达角与系数的关系

图9 平均到达角与各态历经容量的关系

由此得出：当天线间距d一定时，平均到达角越趋向于与阵列平行方向，信道相关性越大，信道各态历经容量越小。假定定义为相关系数[9]。则：图10表示的是，发射端子信道相互独立情况下，α变动时，信噪比和各态历经容量之间的相关性曲线。

图10 相关系数与容量的关系

图11 衰落因子与各态历经容量的关系

不难看到：(1)空域相关系数取值很小时，各态历经容量的取值会相应增加；(2)当相关系数取值很小时，信道容量变化非常微弱，反之，信道容量会大幅减小。

图11给出了对于莱斯衰落信道，随着衰落因子的变化，各态历经容量的曲线。数据表明：信道容量的取值会随着衰落因子数量的上涨而不断下降。由于衰落因子表示直射分量与散射分量的比值，即散射分量越小，信道容量越小。

4 结论

本文主要对MIMO系统信道容量进行了相应的分析，并得到如下结论：如果瑞利衰落信道独立且平坦，那么天线数量在增多的同时，信道的容量也会相应增加，但是在实际应用的时候会发现，信道容量并不会随着天线的增多而一直增加，而是在达到一定值之后趋于恒定。此外，本文分析了相关性与MIMO信道容量之间的关系，在进行仿真分析之后得出如下结论：(1)各天线之间的间隔变大，来波角增加的时候，到达角均值和阵列的垂直度就越高；系统的相关系数越小，信道容量越大。(2)倘若相关系数不足0.3，那么其对信道容量的影响非常微弱，而如果相关系数超过0.7，那么其对信道容量的影响就非常大。(3)在莱斯衰落当中，如果衰落因素量上升，那么信道容量就会相应下降。这也很好地说明了MIMO系统正是由于利用了多径散射来达到增大容量的目的。

[1]张雯.多输入多输出系统的关键技术研究[D].西北工业大学，2006.

[2]王小斌.MIMO（多输入多输出）系统的信道容量分析[D].郑州大学，2013.

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