数学课堂中积累活动经验路径的再思考*

☉江苏省泰州市教育局教研室 钱德春

数学课堂中积累活动经验路径的再思考*

☉江苏省泰州市教育局教研室 钱德春

笔者曾以“从激活到升华：积累数学活动经验的基本路径［1］”为题，并以“相似三角形的条件（4）”为例，“从积累数学活动经验的视角来研究课堂教学的基本路径，将初中数学课堂分为经验激活、经验积累、经验迁移与经验升华等活动经验的四个层次”，以课堂观察者的角度谈了自己的粗浅认识.俗话说，百闻不如一见，百见不如一做.2015年3月25日，在江苏省中小学教学研究室“教学新时空——名师课堂”直播活动中，笔者也执教了同样的课题，并以这节课为载体，以“数学活动经验：从激活到升华”为主题，与几位专家和网友进行了网络研讨.通过自身的教学实践，经历与几位专家、网友的研讨过程，笔者对数学活动经验产生了新的感悟，对数学活动经验在数学课堂教学中的意义、对数学活动经验在学生数学认知能力发展中的作用有了更深刻的理解.

本文拟从研讨主题的选择缘由、课堂教学中积累数学活动经验的路径，结合自己的教学实践，谈谈自己的新认识，并对“经验激活”环节谈谈自己的再思考.

一、关于研讨主题的选择

关于主题的选定，笔者基于三个方面的考虑.有课标理念的考虑，有学生认知的考虑，也有课堂教学方面的考虑.

1.从课标理念层面考虑

杜威认为：教育就是经验的改造或改组.人的成长过程是基于已有经验，不断获得新经验、积累新经验的过程.2011版《义务教育数学课程标准》（以下简称“课程标准”）［2］首次提出了“四基”的要求，把基本活动经验与基础知识、基本技能、基本思想放在同等重要的位置.统计发现，“经验”一词在“课程标准”中出现了42处.著名教育教学论专家裴娣娜在谈到“经验”时说，人如果只有知识，没有经验是不完整的.人的知识总是从已有经验出发，在活动中建构；方法、思想在活动中感悟，而经验也在活动过程中积累、内化、升华.史宁中认为：数学基本活动经验包括两个方面，一个是“实践活动的经验”，一个是“思维活动的经验”.积累“思维活动经验”是数学课堂教学的一项重要目标，如何在课堂教学中落实这个目标，是值得大家思考的问题.

2.从学生认知角度考虑

笔者认为，数学活动经验对于学生数学学习活动的顺利进行有着十分重要的作用.不管是数学探究活动，还是数学思想方法的领悟、数学观念的形成，都会受到学生已有的数学活动经验的影响.学生已有的数学活动经验，可能会促进学生更加高效地积累新的、更高层次的数学活动经验，快速地理解掌握新的知识.但是学生已有的数学活动经验也有可能干扰甚至阻碍学生新的更高层次的活动经验的积累，造成对新知识的错误理解.如何在课堂教学中发挥学生已有经验的积极作用，值得我们实践与反思.

3.从数学教学角度考虑

很多一线教师对基础知识的教学、基本技能的训练、基本思想方法的渗透都有自己的思考，谈起经验来也是如数家珍，但当谈到如何将数学基本活动经验落到实处时，却出现了不少的疑问与困惑：一是过程性问题，即数学活动经验的积累应该是怎样的过程；二是合理性问题，即在具体的教学过程中，安排怎样的活动才能有利于学生获得经验；三是差异性问题，即同一个活动不同学生活动的经验有什么不同；四是思维性问题，即如何在“做”的基础上，帮助学生通过“思考”获得数学活动经验.这些都值得初中数学教师去思考.

基于以上原因，笔者将活动主题确定为“数学活动经验：从激活到升华”.

二、课堂教学中积累数学活动经验的路径新认识

文1将基于数学活动经验的课堂分为经验激活、经验积累、经验迁移和经验升华四个环节.在课堂教学中，笔者将原有的环节调整为：（1）激活经验，提出猜想；（2）探索猜想，积累经验；（3）运用新知，内化经验；（4）反思建构，升华经验四个环节，同时优化、丰富了四个环节的内涵.即通过问题串激活学生的已有经验，并在问题类比中提出猜想，接着通过探索活动来积累经验，再通过知识运用来内化经验，最后通过学生自主反思建构来升华经验.四个环节逐步递进、螺旋上升，每个环节都有不可或缺的作用.

1.激活经验，提出猜想

首先，笔者设计一个简单问题：

如图1，在△ABC中，M、N分别是AB、AC的中点，连接MN.△AMN与△ABC相似吗？为什么？

学生在“做”数学的活动中，自主构建得到了三种不同证法：①由三角形两边的中点联想到三角形中位线的平行功能和平行线截相似三角形，激活出“平行于三角形一边的直线与其他两边相交”的模型得到了证法1；②由三角形两边的中点联想中点的性质，结合公共角，激活出“两边成比例且夹角相等的两个三角形”的模型得到了证法2；③由三角形两边的中点联想到三角形中位线的平行功能和平行线的性质，激活出“两角相等的两个三角形”的模型得到了证法3.通过问题的解决，复习了三角形相似已有的三种判定方法，激活了学生已有的经验.

其次，设计了如下的问题串.

问题1：上面的3种思路实际上是我们已经学习过的“说明三角形相似”的3种条件，请谁再说一遍？

问题2：三角形相似的判定与我们学过的什么知识类似？判定2、3分别对应于什么？

问题3：一般三角形全等的判定还有什么定理？

问题4：你能否类比三角形全等的“SSS”，猜想三角形相似判定的类似结论吗？

图1

通过问题串，在进一步激活学生已有认知经验的基础上，引导学生通过类比联想得出“三边成比例的两个三角形相似”.问题2引导学生类比联想全等三角形的判定定理与对应的相似三角形的判定定理，由三角形全等的两种判定方法，纵向联想到三角形全等的第三种判定方法，进而得到问题3；由于经验得到激活，学生自然会进行横向联想得到问题4，由全等的“SSS”类比猜想到“三边成比例的两个三角形相似”的新结论，从而利用类比的方法探索新知的数学活动经验得到了进一步提升.

文1中的案例的经验激活过程仅仅通过对简单问题的一题多证的活动，激活学生已有的“三角形相似的三个判定”经验，为探究“三边对应成比例的两个三角形相似”作铺添.而本案例的设计在原有经验激活基础上，通过已有的数学结论类比出新的猜想，提出新的问题.这种基于认知的思想渗透、思维发展式的安排更为合理.

2.探索猜想，积累经验

探索猜想、积累经验的过程是数学活动经验发展过程中很重要的一个环节，这个过程将文1所述的经验积累、经验迁移与经验升华三个环节一并纳入“探索猜想积累经验”环节，并根据经验的个体性（差异性）和迁移性特点进行教学实践.

（1）差异性是经验积累的显著特征.

经验是个体的主观认识，而每个人的认知基础不同，不同的人对同一问题的理解也不尽相同.例如，为了探索“三边成比例的两个三角形相似”这个猜想的正确性，学生按照自己的经验，自主建构对这一个数学结论的理解，有的从合情推理的角度，试图通过画特殊图形来验证；有的从演绎推理的角度，试图用推理来证明.在探索猜想的证明途径时，直接证明△ABC∽△DEF有困难，学生又以原有的知识经验为基础，建构出将证明三角形相似转化为证明三角形全等的策略，从而把问题转化为已经解决的问题；在“边边边”相似定理的证明过程中，对于相似比为2这一特殊情况证明思路的探索，学生依据自己原有的知识经验，可得到多样化解决方法：一是取AB的中点M，过点M作MN∥BC交AC于点N；二是分别取AB、AC的中点M、N，连接MN（如图2）；三是延长A′B′到点D，使A′D= AB，过点D作DE∥B′C′交A′C′的延长线于点E；四是分别延长A′B′、A′C′到点D、E，使A′D=AB，A′E= AC，连接DE（如图3）.不同学生经历同一数学活动过程，获得解决问题的不同经验.

图2

因此，我们在进行教学设计时，要关注学生的个体特征，根据不同学校、不同班级、不同层次学生的不同感悟和体验，制定多样化的学习活动方案，使不同的学生获得切合自己的活动经验，达到“大家不同、大家都好”的效果.

（2）迁移性是数学活动经验的一把双刃剑.

迁移性是经验的另一个显著特点.经验的迁移分为正迁移与负迁移.所以经验迁移是一把双刃剑.在教学过程中要强化正迁移，减少负迁移.

在第二个教学环节中，笔者从探究思路、证明方法两个方面充分发挥正迁移的积极作用.一是探究思路的迁移：前面探索两个三角形相似的条件时，学生已经经历了作图（相似比为2）—检验再作图（相似比为k）—再检验的活动过程，初步积累了探究两个三角形相似的条件的经验，这节课教者充分利用学生的这些经验，让学生定量感知判定三角形相似的新条件——三边成比例的两个三角形相似；二是证明方法的迁移：直接证明△ABC∽△A′B′C′有困难，教者着力引导学生联想借鉴“问题2”的思路，将证明方法迁移过来，通过作平行线构建桥梁来沟通△ABC与△A′B′C′的关系，即把要解决的问题转化为已经解决的问题，完成了从定量到定性证明相似三角形判定新定理的任务.

图3

3.运用新知，内化经验

陶渊明在《饮酒》中写道：此中有真意，欲辨已忘言.数学活动经验常会给人“只可意会，不可言传”的心理感受.我们都有过这样的经历，在解决某个数学问题时，一看题目就会做，但问是怎么想到的，有时却难以表达.这就是经验的又一个特点——内隐性.原来四个板块只限于定理的探索的四个过程，但知识运用过程就是经验内化的过程.

在探索“边边边”相似条件定理的证明时，学生“过点M作MN∥BC交AC于点N”，这是学生自然的行为，什么原因促使学生这么做？学生或许缺乏思考，这里实际上就是前面证明“角角”判别法、“边角边”判别法中，添加辅助线的经验在学生潜意识里发挥作用.再如“边边边”相似条件定理的证明，学生能够想到从相似比是2的情形开始，就是源于学生潜意识中长期积累起来的从特殊到一般研究问题的经验使然.由此可见，数学活动经验很多都是内隐的.

教学中，应当努力使隐性的活动经验显性化，才能将经验转化为可观察的、可落实的、可检测的数学能力.一方面，通过探索，学生感受到了猜想的正确性，但这还是内隐的经验，此时必须明确：以后应该作为定理直接运用，证明相似又多了一种方法；另一方面，学生对定理的外延、内涵是否真正理解与掌握，就必须通过关联、辨析、变式三种途径内化新经验.

（1）通过知识之间的联系来内化.

比如直线、射线、线段的教学中，通过比较它们之间的联系与区别来内化知识.如通过一元一次方程与一元一次不等式的解法的比较，来内化一元一次不等式相关知识.凭借学生的经验，注意知识之间的联系，强化对新知识、新经验的理解，更有益于学生掌握数学本质.

（2）通过知识与方法的辨析来内化.

例如，在本节课的经验内化环节中，笔者安排了如下一个例题.已知△ABC的三边分别为AB=4cm，BC= 6cm，AC=8cm.根据下列条件，判断△DEF与△ABC是否相似，并说明理由：

①DE=12cm，EF=18cm，DF=24cm；

②DE=14cm，EF=9cm，DF=6cm.

①中两个三角形是相似的，而②中两个三角形是不相似的.通过这个反例让学生进一步加深对判定相似三角形新方法的理解.再如，在深化有理数乘方的概念的理解时，我们可以安排一个辨析活动，让学生探索有括号与没有括号、有分数线与没有分数线的区别，通过这个辨析来强化学生对底数为负数、分数时书写注意点的认识，使学生对有理数乘方的认识经验得到内化提升.教学中要通过对相似、相近、易混淆知识的辨析对比，帮助学生弄清内涵、明确外延、揭示特征、理解本质，内化所获得的新经验.

（3）通过问题的变式与解决内化.

如例2（教材的例5），如图4， E是四边形ABCD内一点，

图4

（1）∠1与∠2相等吗？为什么？

（2）判断△ABE与△ACD是否相似，并说明理由；

（3）如图5，若点B、E、D在同一条直线上，BD与AC相交于点F，图中还有哪些三角形相似？

图5

本题是课本例题、习题的整合改编，采用强化条件、扩充结论的一般到特殊的演变方法.（1）的解决是刚刚获得的判定两个三角形相似的经验——边边边判定法的直接运用，同时也是前面学习的判定两个三角形相似的经验——边角边判别法的内化运用；（2）的解决是前面所学的知识、积累的经验的综合运用，不仅要判定是否相似，还要进行方法的选择与优化，对于初学习相似三角形知识的学生而言，具有一定的难度，留给学生课后思考；（3）进一步特殊化，利用已经证明了的相似三角形对应角相等，转化得到结论，问题的设计充分体现了经验内化指向.

通过问题解决能否内化知识还取决于问题的设置，所设计的问题要具备四个特征.一是关联性，所选择的内容与所学知识关联，即紧扣本节课的知识目标；与教材关联，即理解教材、用好教材；与学生认知关联，即要符合学情.二是层次性，即分层设计，既要有基本题，也要有中档题，还要有变式拓展提高的能力题.三是生成性，这是知识、能力、情感态度和价值观等方面的追求.四是思想性，数学思想方法是数学教学的核心，例题、习题的选择和设计要注意包含数学思想方法的渗透.

4.反思建构，升华经验

写作中有一个“凤头猪肚豹尾”的说法，一节数学课的结束部分犹如文章的结尾，尾收得好就是画龙点睛，否则效果就适得其反.文1的“经验升华”过程仅限于猜想结论的一般化证明，这里将原有“经验升华”环节赋予了新的内涵，通过学生的自主反思、自主建构，将探索获得的新经验上升为内在的、稳定的知识、方法和思想，同时引发新的问题、新的思考.

（1）在反思中建构网络.

问题1（你学到了什么知识？）和问题2（你掌握了哪些判定三角形相似的方法？）的目的是帮助学生建构知识体系，让学生的知识结构化；问题3（通过本节课的学习，我们知道探究问题的路径是什么？）的目的是帮助学生进行探索新知思路的归纳，在这个过程中提炼方法、思想、策略，如类比思想、转化思想、从特殊到一般与从一般到特殊思想等.这个环节的独特之处在于：突破了一些课堂小结中的提问泛、大、空的局限性，通过知识、方法、路径、思想等几个问题串，引领学生进行反思建构，不仅让学生从知识、技能方面谈收获，而且要从方法、经验方面谈感悟，使学生的认知水平得到提升，经验得以升华，问题更具体、指向更明确.

（2）在引导中提出质疑.

好的数学课结尾还有一个重要的功能，那就是引导学生质疑，生成新的问题，让学生带着问题走出课堂，让课堂回味无穷，也为下一节课做好铺垫，这是课堂的魅力所在.本节课教材练习第2题：如图6，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（2，0）、B（4，0）、C（0，4），将各顶点的横坐标、纵坐标都乘2，得相应的点A′、B′、C′的坐标.

（1）画出△A′B′C′；

图6

（2）△A′B′C′与△ABC相似吗？为什么？

在反思建构后，笔者提出了这样一个问题供学生课后思考：

在网格内以C′（0，8）为顶点画一个三角形，使其与△ABC相似且面积最大.这其实是在设计悬念，为后续相似三角形的应用教学打下伏笔.

三、“经验激活”环节的争鸣与再思考

在网络研讨中，“经验激活”环节是关注的热点，引来很多争鸣.课本在“实践与探索”中，设计了这样一个环节：“画一个三角形与已知三角形相似”，课堂上，是让学生操作感知，还是给出图形让学生直观感知？笔者（也是执教者）的初衷与点评专家、网友的意见还有一定的距离.

1.专家及网友的建议

专家在点评中认为：教材安排的操作活动，是让学生通过操作，定量感知判定相似三角形的新条件，为学生从定量到定性形成判定三角形相似的新定理奠定基础.学生操作虽然费时费力，但如果缺少了外显操作活动中来自感官的经验和操作经验作支撑，那么学生的数学思维活动就成为了无源之水、无本之木，因此，可以尝试让学生按照不同的比来画两个三角形，从而为数学思维活动提供赖以存在的土壤.

无独有偶，课堂教学与研讨在网络直播后的第二天，上海复旦大学一位博士在QQ里和笔者私聊，对本节课中问题的引入环节提出了商榷.他认为，学生更需要直觉思维的培养.这节课可以让学生先作图：有一个三角形，三边长度分别为3、4、5，请作出这个三角形.这里故意不给长度单位，学生多半会在自己的作图纸上先确定一段线段为单位1.由于学生画出的线段长短不一，作出的三角形也是大小不一，然后问：虽然大家画的图形大大小小，各不相同，但是它们之间有没有关系？相互之间的三角形三边都成比例，学生一定会从直觉上判断它们为相似形，从而得到猜想.

2.笔者的初衷

笔者从数学逻辑的角度，在激活经验的基础上通过类比提出猜想，这样的安排基于三点思考.

（1）体现课程标准理念.

新课标强调：学习素材应尽量与学生的生活现实、数学现实、其他学科现实相联系，学生有现实生活的经验，有学科内部的经验，有跨学科的经验，还有操作的经验.在本节课备课时，笔者也考虑过几种问题引入方式.如通过画图提出问题；通过提出一个现实情境用原有方法不能判定三角形相似进而提出问题；由特殊情形如三角形的中位线得到的两个三角形相似，移出形外是否相似进而提出问题；写出“相似三角形三边成比例”的逆命题探索其正确性……最后还是选择通过从数学内部激活旧知、类比提出猜想的方法，同样体现了课程标准的理念.

（2）符合学生的认知特点.

从学生特征看，作为毕业年级的学生，处于从感性认识向理性认识发展的阶段，也必须为进入高年级更多关注学科本质做好思维上的准备，选择从数学内部入手来激活已有经验，更能引导学生关注数学本质和思维方式；从学习心理上看，学生对变化的、新颖的事物总是充满好奇与兴趣.教材中前两个判定定理都是运用画图的方法引出问题.本节课一改画图引入的方法，学生感受到问题引入方式的变化与多样，从而激发探究欲望，符合学生的认知特点.

（3）凸显“三线”教学策略.

本节课教学凸显三条线，即知识线、思路线和思想线，经验的激活既有知识之间关系的激活，又有策略的激活，还有探索路径的激活.而这种激活，又为下面的经验积累、经验内化、经验提升奠定了基础.一是整体感知知识.通过类比方法提出猜想的过程，尽管三角形相似的“边边边”判定方法还没有得到证明，但学生对三角形全等与相似的判定方法，三角形全等与相似的关系有了整体的感知.二是整体感知策略.通过三角形中位线得到的两个三角形相似的证明，以及复习前两个定理的过程，引导学生对猜想结论探索策略的思考.前两个定理的证明，都是通过构造第三个三角形，以这个三角形为桥梁，证明这个三角形与原来两个三角形中的一个全等、一个相似，那么猜想的证明是否可以借鉴这样的方法呢？三是整体感知思想.由三角形“边边边”的全等判定类比出三边成比例的两个三角形相似的类比思想；将证明三角形相似转化为证明三角形全等的转化思想；由从证明特殊情形的三角形相似入手推广到一般情形的三角形相似的从特殊到一般的思想等，学生都在经验激活环节有所感知.

（4）切合网络研讨主题.

这次网络研讨主题就是“数学活动经验：从激活到升华”.本节课从数学内部入手来激活学生的经验，即根据学生的认知基础和认知结构，设计恰当的问题情境，如由相似的前几种判定，联想到全等的三种判定，再由“SSS”类比出三角形相似的又一种判定，进而唤起与激活学生原有的认知经验，激发认知冲突，为进一步探究新知识、积累新经验奠定坚实的基础.这种方式切合了研讨主题.

3.笔者的再思考

“课程标准”（2011版）指出：教学中，要“重视学生已有的经验，使学生体验从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程”，教师应尽可能设计现实的情境，让学生通过操作观察、归纳抽象、猜想验证，经历数学的“再发现”与“再创造”过程，从这个意义上说，专家与网友的观点有理论依据，也具有实践意义.这就引发笔者新的思考，在今后的教学研究中，要更多关注、理解并处理好数学直观与抽象、合情与演绎、操作与思维、自主与合作、探究与讲授、情境与体系、知识与情感等诸方面的关系，以本真生态、灵动生成、充满生命张力的教学活动，让学生升华活动经验，绽放生命异彩.

1.钱德春，石建华.从激活到升华：积累数学活动经验的基本路径——探索三角形相似的条件（3）教学片断赏析与思考［J］.中学数学（下），2015（3）.

2.杨裕前，董林伟.义务教育实验教科书·数学（九年级下册）［M］.南京：江苏科学技术出版社，2014.

3.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.Z

*本文素材来源于2015年3月25日江苏省中小学教研室“教学新时空——名师课堂”初中数学第24场教学与研讨内容（相关视频见http://zxsx.jssjys.com/Html/Article/10951），感谢陈德前、任宏章、黄玉华三位老师参与网络研讨并提供相关素材.