数学活动设计应关注“六性”

☉四川省宣汉县中小学教学研究室 赵绪昌

数学活动设计应关注“六性”

☉四川省宣汉县中小学教学研究室 赵绪昌

数学学习本质上是一种活动，是人类运用数学的思想与方法，观察、解决现实世界中的问题，或对已有的数学结论不断抽象、概括形成新的结论和新的应用的数学活动，这种“活动”既包括外部的“物理活动”，也包括内部的“思维活动”.从发生的观点来看，外部活动是原初的，内部活动起源于外部活动，是外部活动内化的结果，内部活动又通过外部活动而外化.这两种活动可以相互影响，共同对个体的认知和体验起到相互促进的作用.数学教学是数学活动的教学，数学活动是学生经历“数学化”“再创造”的学习过程.数学活动可分为三类：一是发现数学的活动，二是应用数学的活动，三是数学交流的活动.它包含了和数学有关的一切活动，如数学概念的形成过程，数学结论的推导和发展过程，数学结论、方法的应用过程等.数学教学效率的高低在很大程度上取决于数学活动水平的高低.有效的数学活动至少应该具备以下两个特征：（1）活动应具有挑战性——创设有效的问题情境，激发学生的学习兴趣，让学生的思维受到适度挑战；（2）活动过程中，学生都有一个明确的学习目标——现在学习的是什么问题？教师应随时观察学生在思考什么，思维上有无障碍，如何引导.在设计数学活动时，涉及两个重要环节，即一个恰当的数学情境和可供学生进行有效活动的序列问题.数学活动的形式应该根据内容与实效来确定，可以是实验观察、动手操作、展示交流等不同形式或多种形式的结合.学生通过这样的数学活动，获得数学的基础知识、基本技能、基本思想方法和基本活动经验，并从数学活动中体会数学学习的乐趣，从而增强学生学习数学的兴趣，加深对数学价值的理解，进而提高学生的思考力、判断力和表达力.随着数学新课程的深入实施，广大的数学教师在课程理念方面已有一定的认识，比较重视改善学生的数学学习方式，重视数学交流、合作学习等数学活动的教学，并积累了较丰富的数学新课程实施经验.但是当前数学活动教学在很大程度上仍然停留在“为活动而活动”的表层上，数学活动展开不够充分，数学的本质凸显不够，数学教学缺乏创造性和数学性，学生内在的情感和思维没有被真正激活，这极大地影响了主体的主动建构.究其原因，不少教师对数学活动的理解还存在偏差，认为数学活动只是动手操作，不重视“数学化”的过程，缺乏对数学活动的形式及其作用的理性认识，不能准确地了解学生的真实思维活动，较多的只是凭自己的经验、直觉，甚至是主观臆断选择数学活动，不知道数学教学应该在何处活动、何时活动、怎样活动、活动应该达到什么目的，因而在实施数学活动教学时无所适从，不能科学地把握教学的进程与节奏.本文举例说明数学活动设计应关注“六性”.

一、目标性

教学目标是教学活动的出发点，也是归宿.教学活动应该以有效实现教学目标为依归.活动是教师引领学生达成教学目标的重要载体和手段，是学生走向目标的重要路径.没有目标的活动是盲目的，偏离目标的活动是低效的.在教学中，教师设计和安排的各种活动都必须有明确的目标，每一个活动都应该以达成教学目标为导向.教学内容是什么，教学内容的数学本质是什么，活动的设计能够达到怎样的目标，是我们着手数学活动设计时必须关注的问题.

案例1：“有理数的加法法则”的教学片断.

在教学“有理数的加法法则”时，设计如下的问题情境引导学生进行探索活动.

若规定足球比赛中赢球为“正”，输球为“负”，那么主客场两场比赛的过程和结果有各种不同的情形.例如，如果主场比赛赢了3球，客场比赛输了2球，那么两场比赛净胜1球.借助已有的数学知识和生活经验，上述过程和结果可以表示为：（+3）+（-2）=+1.

问题1：你能说出这样的比赛可能出现哪些不同的情形吗？能用数学式子表示吗？

问题2：观察各种不同的算式，你能从中得到启发，归纳出两个有理数相加的法则吗？

问题3：“两个相反数相加的和为0”与“异号两数相加的法则”有什么关系？

问题4：有理数的加法与小学时学习的数的加法有什么联系与区别？

对问题1，学生通过讨论，可列出两个有理数相加的各种不同的算式.在这个过程中，学生还可以感受到分类的思想.

通过问题2，引导学生借助生活经验——赢、输之间的关系（先赢后输、先输后赢、赢了再赢、输了再输），在探索、交流的基础上，共同归纳出有理数加法的法则.在这个过程中，学生经历了观察、分析、比较、探索、归纳的过程.

通过问题3，引导学生感受“特殊”与“一般”的关系.

通过问题4，引导学生把新知识纳入到原有的知识体系中.同时，帮助学生形成进行有理数加法运算的良好习惯——先判断和的符号，再进行计算.

这样，通过一系列的探索活动，学生不仅能主动地获得知识——有理数的加法法则，而且能在获得知识的过程中感受分类、归纳、特殊与一般等基本数学思想，使“数学思考”、“问题解决”目标与“知识技能”目标有机地融合.这样的数学活动有目标、有意义、有价值.

二、思维性

数学课堂教学的本质是数学活动，数学活动的本质是思维活动，没有数学思维的活动不是真正意义上的数学活动，没有一定思维深度的数学活动不是好的数学活动.判断学生是否经历了深层次数学活动的标准是有没有思维层次的递进.数学活动不仅仅是指探究性、具体化的活动，更重要的是指学生进行数学思考、数学探索和数学学习的活动.比如数学的理解过程，它包括了学生的数学思考和数学学习以及解题活动的过程，我们不能把这种活动的过程仅仅理解为一种形式，认为它是数学内容的载体和实现目标的手段，必须注重学生的高层次数学思维参与，突出“手”“脑”并用，注重对学生思维能力的培养.毕竟，在这些数学活动过程中，没有高层次思维的参与就谈不上“数学理解”.因此，数学活动的设计应关注思维性.

案例2：“认识三角形”的教学片断.

“认识三角形”一课的主要内容是三角形的边、角的概念及表示，三角形的分类以及“三角形三边的关系”.关于这些概念、表示及分类，一般是教师对照图形进行介绍，学生说说、议议，一般不用探究；而对于“三角形三边的关系”（a-b＜c＜a+b），如果教师仅仅是直接给出三边关系的公式，再做点儿简要说明，只需3、4分钟时间，之后安排大量的变式训练.这种强化式的机械记忆，虽然学生表面上也能记住，当堂检测也不会有什么问题，但这不是建立在思考、理解基础上的记忆，学生自然不能自觉、灵活地运用.一位教师设计的数学活动如下所示.

（1）搭火柴棒.

让同桌的两名同学合作准备5根小木棒，长度分别为3cm、4cm、5cm、6cm和9cm，任意取出3根小木棒首尾相接搭三角形，能搭成几个三角形？

（2）交流成果.

先请一位同学交流一下自己的尝试结果，再请1～2位同学补充，可得：3cm、4cm、5cm，3cm、4cm、6cm，4cm、5cm、6cm，4cm、6cm、9cm和5cm、6cm、9cm.

（3）交流结论.

师：根据上述情形，哪位同学能说出构成三角形的三边必须满足什么条件吗？

由两位同学回答后，归纳总结：三角形任意两边的和大于第三边.

师：你能将上述文字语言转换为符号语言吗？

生：设三角形三边的长度分别为a、b、c，则a+b＞c，b+ c＞a，a+c＞b.

（4）验证结论.

师：请思考，在三角形中为什么一定有a+b＞c？

教师画出示意图形（如图1），引导学生转化：a+b=BC+CA，c=BA；再请学生思考：为什么一定有BC+CA＞BA？

学生联想旧知“两点之间线段最短”.另两个式子，同理可得.

（5）延伸拓展.

从“两边之和大于第三边”过渡到“两边之差小于第三边”的探究.

师：请大家想想，刚才得到了两边之和大于第三边，你能联想到什么？你还想知道什么？

生：我想到两边之差.

师：“两边之差”和第三边的关系会是怎样的？如何获得“两边之差”呢？

图1

让学生观察上面三个式子，容易想到移项：将b+c＞a移项，得a-c＜b，同理得c-b＜a，b-c＜a，从而得出三角形的任意两边之差小于第三边.

这样围绕“三角形三边的关系”的公式进行了一次探究活动，用时约15分钟，它是由同桌之间借助5根火柴棒，通过自己摆弄、尝试，感觉到：有的能搭成、有的不能搭成，这是一个数学实验的过程，学生从中获得了一些感性认识，再通过同伴的交流、合作，概括出“两边之和大于第三边”的结论且将其符号化，又通过“为什么成立？”将感性认识上升至理性认识.其中，这个对“三角形两边之和”的探究自然而顺畅，从探究的交流结论开始学生感觉有些困难，但在教师的启发、引导下，学生能主动结合旧知去思考、探究！通过类比思想，自己发现了“两边之和”“两边之差”的规律，再一次感受成功.通过追问“满足什么条件吗？”你能联想到什么？“你还想知道什么？”将其构成学生探究的突破.这种不断深入的探究活动，用时十几分钟，不仅让学生亲身经历了结论的形成过程，感受成功的快乐，而且有助于学生掌握探究的方法，训练学生的思维.

三、主体性

数学活动是学生自己建构数学知识的活动.学生的学习不是一个被动接受知识强化储存的过程，而是用原有的知识处理各项新的学习任务，通过同化和顺应等心理活动和变化，不断地构建和完善认知结构的过程.因此，我们在进行数学活动设计时，要着眼于学习者的主体地位，让学生对活动享有绝对的参与权、选择权，以激发其学习动机和责任感，充分发挥学生的主观能动性，促进学生对知识意义的主动建构.同时，要依据学习目标和不同学段学生的思维特点，不仅要注意学生浅层次的感性参与，即通过简单的思维和简单的活动方式参与课堂活动，如教师设疑学生答问，围绕设问展开小组讨论等，更要关注学生较高层次的理性参与，即学生在活动中独立质疑，归纳总结，运用已知解答或推论出新知，运用相关知识提出新设想，提出有理有据的质疑或不同见解等，这样的活动体现的是学生的主体地位，注重的是学生的思维过程和能力的开发，活动指向的是学生的持续发展和终身发展.

案例3：“完全平方公式”的教学片断.

（1）探索活动.

①前面已经学习了多项式的乘法，你能说说运算法则吗？运算的依据是什么？

②（x+b）（x+d）可以利用公式直接写出结果，它是（a+b）（c+d）在a=c=x时的特例（先行组织者）.在（a+b）（c+ d）=ac+ad+bc+bd中，你认为还有哪些特殊情形？你能得到什么？（完全放手让学生探究，学生的结论多种多样，包括完全平方公式和平方差公式）

③完全平方公式有哪些特征？请你用自己的语言表述公式.

（2）公式应用：略.

（3）几何解释：如果a、b表示线段的长，则a2、b2分别表示正方形的面积，你能根据公式（a+b）2=a2+2ab+b2的形式，自己构造图形表示完全平方公式吗？

（4）课堂小结.

①请你说说公式的结构特点及应用时应注意的问题.

②请你总结一下这节课讨论问题的基本过程.（从一般到特殊，考察特例）

③能否循着上述思路，再提出一些值得研究的问题？

完全平方公式是多项式乘法（a+b）（c+d）在c=a、d=b时的特例，多项式乘法是完全平方公式的知识生长点.教师引导学生在多项式乘法基础上探究特例，切合知识的发生、发展过程和内在的逻辑线索，符合学生的认知规律.课堂小结时引导学生反思该课学习的公式的探索过程，有利于学生积累基本活动经验；鼓励学生继续探究特例，有的学生提出推广次数，研究（a+b）3、（a+b）4等，有的学生提出推广字母个数，研究（a+b+c）2，有利于培养学生发现和提出问题的能力.这些数学活动的设计很好地向学生渗透了从一般到特殊、归纳的思想，教给学生数学研究的一个重要的“基本套路”——考察特例.

探索公式时学生自己寻找特例，对公式进行几何解释时自己构造图形，课堂小结时自己提出研究的问题.虽然探究活动耗时多，学生练习的量有所减少，但学生探究的空间大，是真探究，学生靠自己探究出公式，学生自己提出好的问题和研究思路.下课了学生还沉浸在浓厚的研究氛围之中，学生的成就感得到了充分的满足，学生对数学的兴趣得到了充分的激发.

本课充分挖掘知识内容所蕴含的发展价值，成功实现了课堂教学的育人价值，充分体现了以学生发展为本的教学理念，达到了授之以“育”的教学效果，数学活动关注了主体性，是生本立意的教学活动.

四、引导性

数学活动是指在教师的指导下，学习者充分发挥其主体作用，以活动为形式，通过一定的数学情境来体验其中的数学知识，获得直接经验的过程.因为有效的数学活动意味着教师需要唤醒、引导学生数学学习的积极性来促进和激励学生学习的主动性，不断引发学生学习的内在需求，这是数学活动有效进行的动力.由此可见，教师在教学活动中的角色极为重要.这种重要性主要体现在数学活动必须按照引导的方式组织教学，把活动转化为一系列问题，循循善诱，驾驭整个课堂活动的进程和方向，让学生的数学活动有目标、有方向、有收获.

案例4：“分式”的教学，在学生归纳总结出分式的概念后，设计活动.

（1）选择一个你喜欢的x的值，求分式的值；

（2）当x取什么数时，分式有意义？

（3）当x取什么数时，分式的值是零？

活动（1）的目的是让学生在活动中体验到这里的字母可以取正数，也可以取负数；可以取整数，也可以取分数.同时通过这个活动，让学生体验分式中的字母能取的数是有一定的限制的，如这里的x不能取1，从而使问题（2）和（3）的解决顺理成章.

然而，没有教师的必要引导，学生很难给出“0”或“负数”的例子，如果就学生给出的几个简单的正整数，匆匆让活动结束，那么这个活动的价值就无法体现，活动也等同虚设.这时候教师的必要引导，就显得格外重要了.如教师可以这样引导：还有很多数字在我们的身边，而我们却没有察觉到，你能联系我们提出的问题“选择一个你喜欢的x的值，再说一些不同的数吗”？

在解决了前面的问题之后，为让学生在活动中体验“x≠1”并保持问题的探索性，就需要教师设置一些问题引导学生讨论，增加师生互动.

比如可以设问：老师也喜欢一个数，因为它是我的幸运数，你们能猜出来吗？

（学生猜想，教师注意课堂的变化.当学生猜不出时，可以揭示答案：我喜欢的是“1”，因为我出生在1月.这样的回答，引起学生的思维冲突，以利于下一步问题的解决）

生：x不能取1.

师：如果x取1，结果会怎么样呢？

生：会使分式无意义.

师：要使分式有意义，x应满足什么条件？

虽然只是几句简单的引导语，但已经体现了活动的目的，学生在活动中体验到了分式中字母的取值可以是有理数，也可以是无理数，但使分式有意义是前提条件，解决了本课的难点.

五、探索性

数学教师在设计数学活动时，所选择的问题及安排的数学活动不但要适合于学生现有的数学思维水平，也要考虑到促进学生的数学思维向下一个数学思维阶段发展，即既要考虑到学生数学思维能力水平的限制，又要考虑到数学思维发展的潜力.从这样的角度去分析，数学教学应该不断深入了解学生真实的思维活动，善于引起学生观念上的不平衡，采取有效的教学对策，促使学生的数学思维水平不断上层次.一个有效的策略，就是加大数学活动的探索性成分，引导学生对已有数学知识做进一步整理和改组，适当加大数学知识的难度和渗透科学认识的教学，重视学生对科学方法、科学价值的掌握和理解的导引教学，加强对学生整理知识和重组知识能力的培养，使学生能从知识材料间的问题和矛盾中不断探索、发现和解决问题，实现认识的深化和发展.

案例5：“切线长定理”的教学片断.

教师设计如下数学活动.

活动1：分别画出已知圆的一条切线；两条相交的切线.

活动2：教师讲解切线长概念，并强调辨析切线与切线长的区别.

活动3：如图2，利用图形的轴对称性，说明图中PA与PB、∠APO与∠BPO有什么关系.

活动4：得出猜想，验证，形成定理并命名为切线长定理.

这样的活动设计，学生自始至终都是由教师牵着走，学生心里自然会产生以下疑问：学习了切线之后为什么要画两条切线，有什么目的？为什么要给“这条线段长”下定义，有什么用处？为什么要比较“PA与PB、∠APO与∠BPO”的关系？这样的数学活动，虽说学生也经历了“观察—猜想—验证—形成定理”的过程，但是，这一过程完全是在教师的“预设”中，教师预先布置好路线，确定好目标，学生要做的只是“按图索骥”，并非是学生主动发现知识的过程，更不是以知识的发生、发展为线索展开探索活动.

图2

古希腊数学研究几何学的线索主要有两条，一条是研究图形本身的性质，另一种思路即是构图，通过构图研究图形之间的关系及性质.笔者试着揣摩当时发现这个定理的数学家所处的情境，当他通过画圆的一条切线研究了切线的性质及判定后，很容易利用构图思想，构造出圆的两条相交的切线有哪些特殊的性质，当这位数学家通过观察、猜想、验证得出线段PA=PB后，便试着用文字语言来描述这个定理，当他发现用文字语言描述PA、PB比较麻烦时，便给这条线段长下了个定义叫“切线长”，顺势将这个定理命名为“切线长定理”.所以在教学的过程中，我们的活动设计应回归到数学研究的本质，从这个定理是怎么研究出来的设计教学，这样才能真正体现探索性.基于以上的思考，设计以下数学活动.

活动1：前面我们学习了切线的性质以及切线的判定方法，几何的研究过程实质上是一个构图的过程，我们能构造出圆的两条相交的切线么？

活动2：在你构造的图形中（如图3），你有什么发现？请写出你的猜想，并加以验证.

活动3：用文字语言表达你的发现.

活动4：当学生难以或用比较繁的语言表述线段PA时，教师介绍切线长的定义，并辨析“切线长”与“切线”，顺势将此定理命名为“切线长定理”.

这样的设计立足于学生的学，以学生的主体探索为中心来展开教学，自然流畅，教师通过构图思想引导学生发现问题，并学会自己或通过合作交流解决问题.定理的教学过程不仅要让学生经历“观察—实验—猜想—验证”的过程，更重要的是，学生应自主地发现问题并学会探索，教师不能代替学生找问题，整个活动的流程应让学生体验像数学家一样去探索数学的过程.

图3

六、交流性

我国《全日制义务教育数学课程标准》在阐述“解决问题”时指出“学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果”.问题解决的四个重要组成部分是发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，数学交流可以促进问题解决的有效达成.按照斯滕伯格的理论，数学思维分为分析性思维、创造性思维和实践性思维.有的学生善于分析性思维，他们在通常的学业测试中会取得较好的成绩；有的学生善于创造性思维，他们在提出问题和方法的突破上会有所长；有的学生善于实践性思维，在数学定理的认识中会找寻示例来促进理解.在学生的相互交流中，三种不同的方式都会出现，彼此启发或弥补，从而使得数学思维活动兼顾三种思维的培养.因此，数学教学要重视学生的数学交流活动，给学生相互交流、相互理解的机会，让学生尝试用数学语言解释数学概念和现象，表述问题的推理论证过程，说明数学结论的合理性，进而培养学生数学表达的条理性、逻辑性和严谨性，提高学生的数学素养.

案例6：“探索多边形的内角和”的教学片断.

多边形的内角和问题是通过添加辅助线将其转化为三角形的问题得以解决的，这个问题对于培养学生的发现性思维能力具有积极的意义，考虑到学习内容的特点和学生的实际情况，设计如下的数学活动.

（1）教师首先让各小组内的每名学生针对图4中的多边形，自己独立思考、自主添加辅助线，推导出n边形的内角和公式.

图4

图5

图7

图6

（2）当每名学生都用自己的计算方法求出n边形的内角和后，再让学生在小组内进行交流，说说自己添加辅助线的方法和计算结果，进而相互比较、分享他人的成果（图5-7是学生得到的几种添加辅助线的方法）.

（3）各小组间交流、汇总.

经过全班合作，共同概括，最后发现：虽然添加辅助线的方法不同，但基本思路是一致的（即通过分割多边形，把多边形内角和的问题转化为三角形内角和的问题），无论按照哪种分割方法去计算，其结果都是一样的.最后，学生经过思考、计算、交流、归纳，得到了结论：n边形的内角和等于（n-2）·180°.

不难看出，该活动从易到难，具体地给出了数学活动的内容，始终注意让学生自己思考，并要求学生在活动中，相互交流，探讨和说明思考问题的方法以及思考的过程.通过这样的活动，可使学生学会思考，学会探索，学会表达，促进学生的数学思考力、理解力和表达力的提高.这种数学活动关注交流性，交流注重的是实质而不是流于形式.

数学教学需要数学活动，结合具体内容和学生情况设置合理的数学思维活动和数学实践活动，体现了教师的教学能力和专业素养.我们只有不断学习、不断探索、不断反思，才能提高数学活动设计的实效性，从而提高数学的课堂教学效益.Z