MOOC课程《数学之旅》的实践与体会

王维克

（上海交通大学，上海　200240）

MOOC课程《数学之旅》的实践与体会

王维克

（上海交通大学，上海200240）

MOOC对数学教学来讲，因为功利性刺激减弱，如何吸引学生，同时还不失数学的深刻性，这是对每个数学教师的挑战.从《数学之旅》课程中挑选3个典型案例，试图用讲好故事的办法，围绕“数学抽象”这个主题展示数学抽象的魅力和强大功效.同时，就提高如何设计课程能提高学生和社会受众的数学抽象能力和数学涵养谈几点思考.最后，对MOOC课程新的特点的把握和驾驭，以及课程拍摄和课程上线的实践谈几点体会.

MOOC课程；数学的抽象；拓扑学；距离与空间；布劳威尔不动点定理

MOOC是大规模在线公开课程（Massive Open Online Course）的简称，为学习者提供大规模的开放性在线学习课程.MOOC这样一种课程形式，正以迅猛的速度在发展.MOOC改变了传统学校传授知识的模式，提供了一种全新的知识传播和学习方式，在教育观念、教育体制、教学方式等方面都有着深刻影响[1].对于传统教学带来一系列的变化和挑战是毋庸置疑的.对于大多数数学教师来讲，都是一个新的话题.因为过去的教学，强烈地依赖着考试、学分积累等功利目的来鞭策学生学习，课堂的趣味性、吸引力则是大多是教师不需要着重考虑的问题.但面临MOOC课程时，原来作为教师所具有的优势和抓手，都会丧失.但反过来，数学又是一门严肃的科学，如果只是讲述一些数学故事当然是可以吸引学生的，但是这就已经不是数学，也会违背数学教学的目的.

在这两难的角色中，应该怎么办？这里试图就个人设计和讲述《数学之旅》的实践中碰到的问题，谈一些体会和思考.

1　MOOC的挑战和机遇

首先，对MOOC应该有清醒的认识.MOOC这一形式会在多大程度上来替代传统教学，这有待时日来检验.但如果不认真应对和顺应这一潮流，会给教育工作者带来诸多的问题.为什么这样说呢，首先，MOOC是互联网催生出的产物.而互联网对人类生活的影响，从阅读形式、娱乐形式、甚至交流形式，还有一些商品购物习惯等带来的冲击都是巨大的.甚至有人戏言，人类也以互联网的熟悉和依赖程度划分为原居民、移民和难民.这足以看出，互联网对人类生活的巨大影响.而MOOC在各种公开教育课程里面，依赖于互联网扮演的角色，应该引起教育工作者足够的重视.MOOC作为在互联网课程教学中的一个新角色，比过去的传统公开课，对于学生来讲，更具有吸引力和影响力.

MOOC大致分为两种形态，一种是针对大众教育的，一种形态是作为传统课堂的补充，应用于学校教育.《数学之旅》主要是针对大众教育的MOOC形式，当然也可以作为一些学校传统课程的补充.针对大众的MOOC课程的特点：其一，这类课程的学生具有广谱性，它包括大众的方方面面，由于大众的知识基础参差不齐，故对教学内容提出了严峻的挑战；其二，MOOC这类课程本身没有功利性要求，它不像学校的课程，因为有考试等办法来强迫学生学习.相反，它吸引大众学习的手段就靠课程本身；其三，这样的课程由于网络传播的需要，一般比较短小，一堂课大约10～20分钟.这样碎片化的微课程，也使得教育工作者传统的教学理念需要改变.

以上这些，对于大多数数学教师来讲，都是一个新的话题.因为过去的教学，强烈地依赖着用系统的讲授和大量的习题练习、严格的考试程序、学分积累的功利目的来鞭策学生学习，课堂的趣味性、吸引力则是大多数教师不需要着重考虑的问题.但面临MOOC课程时，原来作为教师所具有的优势，和推动教学的抓手，都会丧失，不强烈地意识到这一点，课程将会是失败的.但反过来，数学又是一门严肃的科学，如果只是讲述一些数学故事和罗列数学史上的种种轶事趣闻，当然是可以吸引学生的，但是这就已经不是数学，也会违背数学教师作为“数学传道士”的初衷.

另外一方面，数学作为学生培养和大众文化素质提高具有其它学科教育不可替代的作用，这方面数学界很多同仁作了大量工作，也有很好的见解[2～6].而MOOC这种形式的网络课程，是数学教师应该重视的战略契机.只有熟悉这种形式，驾驭这种形式，就可以借MOOC这种形式，更好地将数学作为一种文化形态传授给学生和大众，提高大众的数学涵养.

2　数学的抽象

首先，一个好的MOOC课程要有目的和主线，或者说，要有一种想达到某一种目的的激情和冲动.没有了这一种原始的激情和冲动，勉为其难地去做一个MOOC课程，可能会事倍功半，无功而返.设计《数学之旅》这门课的一个原始冲动是在当今数学学习中，很多学生从中学进入到大学学习数学时碰到数学抽象性的问题.初学大学数学都会遇到两类困难：一类是有些题目不会解，这类困难会使学习者越战越勇，一般不会严重地打击学习积极性；还有一类痛苦是他们根本不知道这本数学书试图说什么事情，或者不知道老师在讲什么，在抽象的数学描述面前完全不知所云，而这类困难，足以使得学习者丧失对数学的兴趣.这就是数学的抽象带给广大数学学子的一个致命性的困难.

但另一方面，数学的抽象正是数学所有的功能中最重要也最具美感的特性.从错综复杂的事物里面抽象出与问题相关的本质的特性，找到解决问题的途径，这正是数学的巨大功能和魅力所在.所以为数学的抽象正名，讲清数学为什么会这样抽象就十分重要.《数学之旅》这门课，试图通过一些具体实例，让学生在自己手上形成一些抽象的概念，同时从一些简单的、有趣的事例，通过数学抽象，找到一般性的数学定理，从而得到非常令人兴奋的应用，让学生感受数学抽象所表现人类心智的荣耀和解决问题时所展现的威力.

所以，这门课程设计是对受众展示数学抽象的魅力所在，同时在不知不觉中让受众了解一些学习数学抽象的思想和方法，知道“数学的游戏规则”，从害怕数学到有点喜欢数学，并且可以一定程度上驾驭数学，学会用数学思维的方式解决问题.

有了一个明确的目标之后，为了达到目的，需要采用一些亲和的讲法，设计一些故事场景，吸引学生.同时，故事引入的数学思想也应该是深刻而有用的.讲故事的方法有很多种，比如从时间轴入手，从过去讲到现在，再到未来，这样的叙事方式，在讲述数学历史或者某些研究的发展史时非常有效.比如在讲“微积分的发展”这一节中，采用了沿时间叙事手法，从圆的面积开始谈起，之后开始谈到欧多克索斯的“穷竭法”，刘徽的“割圆术”，阿基米德对穷竭法的深入，再开始引入了卡瓦列里的“不可分量原理”，笛卡尔的圆法”，沃利斯的“无穷算数”，介绍了一系列的一般的积分问题，带领大家看前人从不同的方向想微积分的大门靠近，之后英雄的序曲响起——引出了最重要的牛顿的“流数术”和莱布尼兹的微积分，介绍了牛顿和莱布尼兹殊途同归的工作，从而得到了牛顿—莱布尼兹公式.在这之后，继续讲故事”——介绍了伯努利兄弟、欧拉、柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯等人对于分析的严格化所作出的工作，再进一步地，延伸到了康托尔和勒贝格，又引出了勒贝格积分.通过这样的对历史人物小故事的串联，一步一步引导大家看完了微积分发展路程上的风景.但更多的场景不是沿时间展开，下面介绍一下有典型性的3个“旅程”，这些“旅程”的故事有的应该是大众熟悉的，但讲述故事的角度和得到的启示未必是熟悉的.

（1）七桥问题.首先，重温一下“七桥问题”.这是讲述数学抽象的绝好案例.18世纪初在普鲁士的哥尼斯堡城有7座桥跨在普列格尔河上，它们将河中两岛和两岸相互连接.当地居民热衷于一个难题：是否存在一条路线，可以不重复地走遍7座桥.利用普通数学知识，每座桥平均走一次，那么7座桥走法有5 040种，而这么多的情况，要一一试验，这将会是很大的工作量.

在1735年，有几名大学生写信给当时正在俄罗斯彼得斯堡科学院任职的天才数学家欧拉，请他帮忙解决这一问题.欧拉在亲自观察了哥尼斯堡七桥之后，认真思考走法，但是始终没能成功，最后他证明了七桥问题无解，并且得到和证明了一个更为广泛的“欧拉定理”，在解答问题的同时，也开创了一个数学的新分支——图论和拓扑学.

七桥问题的本质在哪里呢？应该如何抽象出来呢？这个问题相信许多人亲自去试验过，在问题思考过程中就会发现，桥有多长，桥是石头的还是木头的，这些和问题都没有关系，都不是研究者需要的属性.而这个问题最关键的要害在哪里？需要的本质属性是什么呢？欧拉就完美地运用了数学的抽象解决了这个问题.首先，他把每一个岛都变成了一个点，还“大逆不道”地把一大片岸也变成了一个点，而把桥在变成了两点之间的连线时，为了区别两座桥，把本身是直的桥用一条弯曲的曲线代替.为什么可以这样呢？关键是考虑七桥问题时，关键的属性是点和线的连接，点或者是“一大片岸”，直线或者曲线对问题没有任何影响！这个问题的要害就在于不能产生新的连接和断开.将这些不需要的属性丢掉，看到问题的本质属性之后，就可以看到问题化为了一个所谓的“一笔画的问题”，然后就可以用数学方法去解决它.细细品味这其中的诀窍，就可以体会到抽象出问题的本质属性是解决问题的关键所在.

（2）距离与空间.第二个故事是关于“距离与空间”，这个旅程的设计是带受众进行一次抽象的亲历体验.先看“距离”，这是非常熟悉的一个概念.在三维空间中一说到距离，首先想到的就是两点连接直线的长度.但是在生活中，有时候距离的概念不那么简单.比如在海上航行，海上要讲距离，就不应该画直线，而应该画大圆来求距离.不仅两个点之间的距离定义不简单，还有许多别的事物之间的距离，比如两个函数之间的距离，甚至更加玄妙地提到两个人心与心之间的距离等，那么这样的距离又应该怎么来定义呢？

当把任何事物都看成两个点（或者说两个元素）的时候，就会考虑，有没有一个通用的距离，可以忽略具体的对象.这时关键的属性是什么呢？也就是说，不具体指明它是什么，而是指明这一对象具有什么样的关键属性！举个例子，比如苹果和水果.在《现代汉语词典》中：“苹果，指的是落叶乔木，叶子椭圆形，花白色带有红晕，果实圆形，味甜或略酸，这是苹果.”但是水果它就不能够这样具指了，因为水果太多了，梨是黄的，苹果是红的，那么怎么来描绘它？用它的属性，将它抽象出来——“可以吃的，水分较多的植物果实的统称”，这是水果的定义，为了更清楚可以再举例子，例如苹果、梨、桃.所以当不具指的时候，需要抓住的是它本身的属性.

那么距离最重要的属性是什么？可以想到，需要满足大于等于零的正性，需要有对称性，并且需要满足三角不等式.在得到了这些抽象出来的必要属性之后，就可以得到一个抽象的距离的定义了.即给定一个集合，再对集合的每两个元素，规定一个实数与之对应，并且满足正性、对称性和三角不等式.则这样的规则规定的实数，就称之为距离.

在得到抽象的距离的定义之后，就可以再定义范数——强化”了的距离，以及内积、拓扑等，而通过这些，又可以和现实空间比较，发现还有一个结构也是十分重要的——维数！而维数的本质就是线性结构.进一步地，就可以引出拓扑空间、度量空间、赋范空间和内积空间，再引出到巴拿赫空间和希尔伯特空间等.

（3）不动点原理.这是一次从抽象到应用的旅程.从搅动咖啡这一日常生活行为中生发，开篇先提出问题：“在搅拌一杯咖啡过程中，是否有一个不动点呢？”接着将一根绳子来回折叠后还放回原来的位置，是否有不动点呢？从这里引出了一维不动点定理，再将其拓展到高维，最后到了无穷维的不动点定理.这是“由小及大”的故事展开办法，通过身边的小事生发出问题，容易引发受众的思考.随后推出了数学上深刻的布劳威尔不动点定理，也更易于让受众理解和接受.最后，再次讲述不动点定理在数学、生活和其它学科中的应用，如在经济学中的应用等，可以用于价格均衡体系中，并且该方向的研究学者——美籍法裔的经济学家G. Debreu因使用数学解析的办法解决这一问题而获得了1983年的诺贝尔经济学奖.而他的数学定理本质上和布劳威尔不动点定理是一致的.“搅动咖啡”和“诺贝尔经济学奖”之间，存在实实在在的数学联系，这是容易让人兴奋和记忆深刻的.而从中表现数学抽象的魅力就会潜移默化地影响受众了.

事实上，身边的趣味问题很多，在提出之后也更容易让大家踊跃思考，比如可以通过思考“天气预报为什么不准？”而引出混沌现象，通过“海岸线到底有多长？”引出分形，等等.

3　MOOC课程的体会

MOOC的课程的制作其实很多时候都像拍摄微电影.它的难点在于：首先，在制作上没有真实的学生，讲课者只是面对镜头在讲，缺乏了课堂的真实感.其次，MOOC的课程会分多次拍摄，有时候由于场地时间等原因，课程并不会按照逻辑和计划的课程顺序一节节进行拍摄，而有可能会跳跃性或是颠倒地拍摄，连续的两次拍摄之间可能没有很强的逻辑联系，这就要求讲课者的思维极快地转换并进入下一节课的思维状态中，这对于大脑来说也是高强度的工作.与此同时，课程的拍摄往往时间较紧，一节课结束，马上开始拍摄下一节课，往往整个课程会在三五天内全部拍摄完，这本身也是高强度的连续工作，对于精力的集中也要求颇高.最后，为了保证课程的质量，还要求讲课者本人要对课程的讲授内容有很好的驾驭能力，在讲课时需要有自己的状态.

在拍摄前期和拍摄过程中，讲课者和团队需要做大量的工作.以研究者为例，在讲课前，首先自己再次观看了之前所拍摄的一些视频课程，让自己对课程再一次熟悉，同时也再次做好面对镜头的准备.在拍摄之前，研究者需要和团队人员讨论拍摄方案，包括拍摄地点，拍摄细节，展现的内容等，不同的课程可能需要在不同的地点进行拍摄，如讲解不动点定理一节，由于采用了从搅动咖啡生发出问题的方式进行讲解，故该节的拍摄就在咖啡馆进行；而在讲解混沌现象一节中，则牵涉到天气问题，从而在草地上进行拍摄；与此同时，还在图书馆、办公室等进行过拍摄，当然，在摄影棚中的拍摄也是必不可少的.这些拍摄的设计、内容等，都在拍摄前需要做好详细的脚本.在实施拍摄的过程中，需要有内行在旁边旁听，以免讲解中出现一些口误或者纰漏等.详细的脚本可以帮助主讲人在两次拍摄之间的准备时间里，再次熟悉下一节课的内容，调整思维等.

在拍摄完成之后，后期的制作也同样有大量工作.在视频剪接等完成后，还需要多次反复观看和检查课程视频，以免出现讲课过程中由于疏忽而导致的错误、口误等，对课件也需要反复检查和修改，并且按照统一的格式要求进行修订.同时还需要制作高质量和合理数量的习题.在这些工作完成之后，需要进行上线测试，在测试过程中需要有人实时监测，一旦发现问题则马上进行修改，包括重新制作课件、重新上传课件、习题甚至重新拍摄等.在测试完成后，课程才可以正式上线运行.

在运行过程中，同样需要有人进行实时监测，并且担任助教，在网上回答课程学习者的问题和批改作业等，并发布信息.以《数学之旅》在Coursera平台上线为例，学生是通过观看教学视频、参阅参考书籍进行自学，第一周高峰时段看视频人数最多，达到9 352人，然后呈现急速下降趋势，到第三周之后人数趋于平稳.课程学习者完成每周平台推送的测试题.其中每周的测试题分为客观题和思考题两部分.客观题为15道选择题，由Coursera平台自动评分；思考题有4道，评分采用学习者互评方式（Peer assessments）设计.学习者先在规定时间内提交作业，作业提交完成后助教公布思考题参考答案和作业评价标准，由学习者按照互评标准为其他学习者（最少5名）的作业进行评分.这种互评方式的设计是有助于学习者之间进行互相学习，实现思维碰撞.另外，讨论区的互动，也是MOOC课程学习的一个重要方式.讨论区分成综合讨论区、课程讨论区、作业讨论区、技术问题区等板块，话题涉及课程学习内容的交流，疑难问题的探讨，学习方法的分享，学习者参与的动机，对课程改进的意见建议等.主讲教师和助教也参与了讨论区的建设和问题的解答.学习者通过论坛积极交流学习经验和体会，巩固所学知识.最后的期末考试由40道客观题构成，学习者可以自由查阅视频和参考资料，在规定时间前提交答案.由Coursera平台根据平时测试成绩（占60%）和期末考试成绩（占40%）计算总成绩，以决定学习者是否能够完成学业.在这各个教学环节中，教师和助教要作为组织者、参与者，十分紧张地守望着Coursera平台，按规定时间推出通知、习题、答案，回答网上提问，其中辛苦和兴奋是一言难尽的.

[1]MOOCs的挑战与大学的未来——访教育部科技发展中心主任李志民[N].中国教育报，2013-9-23（3）.

[2]周远清.数学文化课程与大学素质教育[J].数学教育学报，2014，23（6）：1-3.

[3]侯自新.将数学文化融入学校文化[J].数学教育学报，2014，23（6）：11-13.

[3]顾沛.为什么数学文化类课程能够“一呼而起久盛不衰”——在第三届数学文化课程建设会议闭幕式上的小结[J].数学教育学报，2014，23（6）：17-19.

[4]郑隆炘，巴英.论齐民友的数学观与数学教育观[J].数学教育学报，2014，23（4）：7-12.

[5]张奠宙.中国数学教育拒绝实用主义——从徐光启、傅种孙到姜伯驹[J].教育科学研究，2014，（12）：5-9.

[6]张奠宙，梁绍君，金家梁.数学文化的一些新视角[J].数学教育学报，2003，12（1）：37-40.

Practice and Experience of MOOC “The Journey of Mathematics”

WANG Wei-ke

(Shanghai Jiao Tong University, Shanghai 200240, China)

In this paper, we talk about the practice and experience on the design and application of MOOC “The journey of mathematics”. Since the MOOC is weakly utilitarian, it’s a challenge to math teachers how to attract students without loss of depth of mathematics. We choose three typical cases on how to tell a good story around the topic “abstractness” to show the charm and power of mathematical abstractness. Meanwhile, we also introduce our thinking about how to design the course to improve the mathematical abilities of students and other audiences. Finally, we talk about our experience on how to handle the new characteristics of MOOC and some skills of taking the course and putting it online.

Massive Open Online Course; mathematical abstractness; Topology; distance and space; Brouwer’s Fixed Point Theorem

G420

A

1004–9894（2015）06–0047–04

[责任编校：周学智]

2015–09–12

国家自然科学基金重点项目——多物理过程耦合的流体动力学方程（11231006）

王维克（1954—），男，湖北武汉人，教授，博士生导师，主要从事偏微分方程研究．