儿童数字估计能力的研究进展及其启示

许晓晖

数字心理表征在数学学习中具有举足轻重的作用，从测量、空间几何到有理数、坐标系统、真实数字线的学习都离不开它的参与①Dehaene，S.，Izard，V.，Spelke，E.，＆ Pica，P.. Log or linear？Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures. Science，2008，320（5880）：1217-1220.。为此，近年来数字心理表征一直是数学认知领域的研究热点与焦点。众多心理物理学与神经心理学的研究表明，个体头脑中数字沿着心理数字线被表征②Dehaene，S.，Dupoux，E. ＆ Mehler，J.. Is numerical comparison digital？Analogical and symbolic effects in two-digit number comparison. Journal of Experimental Psychology： Human Perception and Performance，1990，16（3）：626-641.③Gallistel，C.R.＆ Gelman，R.Preverbal and verbal counting and computation.Cognition，1992，44（1-2）：43-74.。因此，数字线估计任务被用作检验个体如何表征数的经典实验，其要求被试在一条两端标有数字的线段上标出给定数字所处的位置（例如，线段的一端是0，另一端是10，请个体标出8 在该线段上的位置）①Dehaene，S.，Dupoux，E. ＆ Mehler，J.. Is numerical comparison digital？Analogical and symbolic effects in two-digit number comparison. Journal of Experimental Psychology： Human Perception and Performance，1990，16（3）：626-641.Whyte，J. C.，＆ Bull，R.. Number games，magnitude representation，and basic number skills in preschoolers.Developmental Psychology，2008，44（2）：588-596.②Barth，H. C.，Slusser，E. B.，Cohen，D.，＆ Paladino，A. M.. A sense of proportion： Commentary on Opfer，Siegler and Young. Developmental Science，2011，14（5）：1205-1206.③Barth，H. C.，＆ Paladino，A. M.. The development of numerical estimation： Evidence against a representational shift. Developmental Science，2011，14（1）：125-135.④Ebersbach，M.，Luwel，K.，Frick，A.，Onghena，P.，＆ Verschaffel，L.. The relationship between the shape of the mental number line and familiarity with numbers in 5- to 9-year old children： Evidence for a segmented linear model. Journal of Experimental Child Psychology，2008，99（1）：1-17.⑤Geary，D. C.，Hoard，M. K.，Nugent，L.，＆ Byrd-Craven，J.. Development of number line representations in children with mathematical learning disability. Developmental Neuropsychology，2008，33（3）：277-299.⑥Moeller，K.，Pixner，S.，Kaufmann，L.，＆ Nuerk，H. C.. Children’s early mental number line： Logarithmic or decomposed linear？Journal of Experimental Child Psychology，2009，103（4）：503-515.⑦Muldoon，K.，Simms，V.，Towse，J.，Menzies，V.，＆ Yue，G.. Cross-cultural Comparisons of 5-year-olds’estmating and mathematical ability. Cross-Cutural Psychology，2011，42（4）：669-681.⑧Siegler，R. S.，＆ Booth，J. L.. Development of numerical estimation in young children. Child Development，2004，75（2）：428-444.⑨Siegler，R. S.，＆ Opfer，J. E.. The development of numerical estimation： Evidence for multiple representations of numerical quantity. Psychological Science，2003，14（3）：237-243.⑩Slusser，E. B.，Santiago，R. T.，＆ Barth，H. C.. Developmental change in numerical estimation. Journal Experimtental Psychology： General，2013，142（1）：193-208.⑪⑫Young，C. J.，＆ Opfer，J. E.. Psychophysics of numerical representation： A unified approach to single- and multi-digit magnitude estimation. Zeitschrift fu¨ r Psychologie／Journal of Psychology，2011，219（1）：58-63.。采用数字线任务的研究结果既说明了个体的数字估计能力，更揭示了个体的数字心理表征。数字估计能力是儿童早期数学认知发展的关键经验，它可帮助儿童建立关于数字顺序、数量大小、数字之间相互关系以及数字空间表征的相关概念，从而为儿童数学认知能力的深入发展奠定基础。儿童数字估计能力的研究结果既可丰富有关、儿童数学认知、儿童认知发展等方面的相关理论，又可丰富儿童数学教育的内容，为建构相关课程提供坚实的理论基础与实证支持。纵观已有的相关研究，研究者首先探讨了多种数字心理表征即数字估计的模型，以尝试回答不同大小的数字如何映射到心理数字线上。在此基础上，研究者又进一步探讨了数字估计能力与数学认知发展的关系，影响个体数字估计能力发展的家庭与文化因素、数字估计能力发展的干预策略等。以下本文将从上述几个方面梳理有关儿童数字估计能力的研究进展，并尝试阐明作者对今后研究方向的思考。

一、数字估计模型

基于数字线任务的考察，研究者提出了对数模型、线性模型、对数—线性表征转换模型、双线性模型与单／双循环比例幂模型等五种数字估计模型即数字心理表征模型。

（一）对数模型

对数模型（logarithmic model）是指个体表征数字时采用了一种对数关系的分布模型，前疏后密，夸大了低端数字间的距离，缩小了中高端数字间的距离，如数字1 和75 间的心理距离远远大于75 到1000 的距离。研究者借用费希纳定律提出该模型⑬Bank，W. P.，＆ Hill，D. K.. The apparent magnitude of number scaled by random production. Journal of Experimental Psychology，1974，102（2）： 353-376. Dehaene，S.. The number sense： How the mind creates mathematics.New York： Oxford University Press，1997.，并将婴儿和动物表征数字的距离效应作为有力证明⑭Dehaene，S.，Dehaene-Lambertz，G.，＆ Cohen，L.. Abstract representations of numbers in the animal and human brain. Trends in Neuroscience，1998，21（8）：355-361.⑮Starkey，P.，＆ Cooper，R. G.. Perception of numbers by human infants. Science，1980，210（4473）：1033-1035.。除来自婴儿与动物的研究证据外，Dehaene 等的研究发现，亚马逊地区的Mnundurucu 人，无论是成人还是儿童，对0-10符号与非符号数字线的估计都呈现对数表征⑯Dehaene，S.，Izard，V.，Spelke，E.，＆ Pica，P.. Log or linear？Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures. Science，2008，320（5880）：1217-1220.。研究者认为，此结果可能源于Mnundurucu 人既无结构化的数字系统，也无正规的学校教育。基于上述研究，Dehaene 等试图证明一个观点：个体将数字映射到空间上的最初、最直观的表征方式是对数表征①Dehaene，S.，Izard，V.，Spelke，E.，＆ Pica，P.. Log or linear？Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures. Science，2008，320（5880）：1217-1220.Booth，J. L.，＆ Siegler，R. S.. Numerical magnitude representations influence arithmetic learning. Child Development，2008，79（4）：1016-1031.。

（二）线性模型

另一些研究者则提出了线性模型（linear model），是指个体对数量的估计符合线性函数，即个体对所有数字的表征具有相等的空间距离，相邻数字之间的距离不随着数量的增加幅度而改变②Brannon，E. M.，Wusthoff，C. J.，Gallistel，C. R. ＆ Gibbon，J.. Numerical Subtraction in the Pigeon： Evidence for a Linear Subjective Number Scale. Psychological science，2001，12（3）：238-243.③Gibbon，J.，＆ Church，R. M.. Time left： Linear versus logarithmic subjective time. Journal of the Experimental Analysis of Behavior，1981，7 （2）：87-107.。线性表征符合现实中数字的分布情况，因此，使用线性表征对儿童能否准确估计具有重大意义。通过研究，线性模型的支持者探讨了儿童获得线性表征的年龄，Case 和Okamoto 指出，4 岁儿童甚至不能准确估计两个个位数中哪个距离第三个数更近（如3 与8 哪个距离6 更近），4-5 岁儿童只拥有一种数字表征的定性中央概念结构，如仅仅能比较多和少，而6 岁或者更大点的儿童开始并一直使用线性表征④Case，R.，＆ Okamoto，Y.. The role of conceptual structures in the development of children’s thought. Monographs of the Society for Research in Child Development，1996，61（246）： Nos.1-2.。Case 和Sowder 又进一步指出，在获得线性表征之前，儿童似乎不可能拥有精确的数字估计⑤Case，R. ＆ Sowder，J. T.. The Development of Computational Estimation： A Neo-Piagetian Analysis. Cognition and Instruction，1990，7（2）：79-104.。然而，Huntley-Fenner发现，在点估计任务中，5-7 岁儿童的估计符合线性模型的预测⑥Huntley-Fenner G.. Children’s understanding of number is similar to adults’ and rats’：numerical estimation by 5-7-year-olds. Cognition，2001，78（3）： B27-B40.。

（三）对数—线性表征转换模型

基于对数模型和线性模型，Siegler 等提出了对数—线性模型转换（logarithmic-to-linear shift）的假设，以此来解释儿童数字估计能力发展的表征转换⑦Siegler，R. S.，＆ Booth，J. L.. Development of numerical estimation in young children. Child Development，2004，75（2）：428-444.⑧Siegler，R. S.，＆ Opfer，J. E.. The development of numerical estimation： Evidence for multiple representations of numerical quantity. Psychological Science，2003，14（3）：237-243.⑨Young，C. J.，＆ Opfer，J. E.. Psychophysics of numerical representation： A unified approach to single- and multi-digit magnitude estimation. Zeitschrift fu¨ r Psychologie／Journal of Psychology，2011，219（1）：58-63.⑩Booth，J. L.，＆ Siegler，R. S.. Developmental and individual differences in pure numerical estimation.Developmental Psychology，2006，42（1）：189-201.⑪⑫Laski，E. V.，＆ Siegler，R. S.. Is 27 a big number？Correlational and causal connections among numerical categorization，number line estimation，and numerical magnitude comparison. Child Development，2007，78（6）：1723-1743.⑬Opfer，J. E.，＆ Siegler，R. S.. Representational change and children’s numerical estimation. Cognitive Psychology，2007，55（3）：169-195.⑭Opfer，J. E.，Siegler，R. S.，＆ Young，C. J.. The powers of noise- fitting： Reply to Barth and Paladino.Developmental Science，2011，14（5）：1194-1204.⑮Opfer，J. E.，＆ Thompson，C. A.. The trouble with transfer：Insights from microgenetic changes in the representation of numerical magnitude. Child Development，2008，79（3）：788-804.⑯Ramani，G. B.，＆ Siegler，R. S.. Promoting broad and stable improvements in low-income children’s numerical knowledge through playing number board games. Child Development，2008，79（2）：375-394.⑰Siegler，R. S.，＆ Mu，Y. Chinese children excel on novel mathematics problems even before elementary school.Psychological Science，2008，19（8）：759-763.⑱Siegler，R. S.，＆ Ramani，G. B.. Playing linear numerical board games promotes low-income children’s numerical development. Developmental Science，2008，11（5）：655-661.⑲Siegler，R. S.，＆ Ramani，G. B.. Playing linear number board games—but not circular ones—improves low-income preschoolers’ numerical understanding. Journal of Educational Psychology，2009，101（3）：545-560.。与Case 等采用阶段性观点来解释这种发展不同，Siegler 秉持重波理论（Overlapping Waves Theory），认为个体了解并能够使用多种数字表征方式，发展不是一种表征取代另一种，而是各种表征共存并竞争，不同的情境下使用不同的表征模式，随着年龄和经验的增长，儿童会逐渐依赖于特定情境中最适合的表征模式。

Siegler 等进行了一系列研究来证明对数—线性数字估计模型转换的存在①Siegler，R. S.，＆ Booth，J. L.. Development of numerical estimation in young children. Child Development，2004，75（2）：428-444.Ebersbach，M.，Luwel，K.，Frick，A.，Onghena，P.，＆ Verschaffel，L.. The relationship between the shape of the mental number line and familiarity with numbers in 5- to 9-year old children： Evidence for a segmented linear model. Journal of Experimental Child Psychology，2008，99（1）：1-17.②Siegler，R. S.，＆ Opfer，J. E.. The development of numerical estimation： Evidence for multiple representations of numerical quantity. Psychological Science，2003，14（3）：237-243.③Booth，J. L.，＆ Siegler，R. S.. Developmental and individual differences in pure numerical estimation.Developmental Psychology，2006，42（1）：189-201.④Laski，E. V.，＆ Siegler，R. S.. Is 27 a big number？Correlational and causal connections among numerical categorization，number line estimation，and numerical magnitude comparison. Child Development，2007，78（6）：1723-1743.⑤Opfer，J. E.，＆ Siegler，R. S.. Representational change and children’s numerical estimation. Cognitive Psychology，2007，55（3）：169-195.⑥Opfer，J. E.，＆ Thompson，C. A.. The trouble with transfer：Insights from microgenetic changes in the representation of numerical magnitude. Child Development，2008，79（3）：788-804.⑦Ramani，G. B.，＆ Siegler，R. S.. Promoting broad and stable improvements in low-income children’s numerical knowledge through playing number board games. Child Development，2008，79（2）：375-394.⑧Siegler，R. S.，＆ Ramani，G. B.. Playing linear numerical board games promotes low-income children’s numerical development. Developmental Science，2008，11（5）：655-661.⑨Siegler，R. S.，＆ Ramani，G. B.. Playing linear number board games—but not circular ones—improves low-income preschoolers’ numerical understanding. Journal of Educational Psychology，2009，101（3）：545-560.。如在同一数量情境中，学前班儿童对0-100 数字线的估计更拟合对数函数，一年级学生的估计同等拟合对数与线性函数，二年级学生的估计则更拟合线性函数。对于同一年龄段儿童，二年级学生对0-100 数字线的估计更拟合线性函数，对0-1000 数字线的估计更拟合对数函数。对成人的研究也证明了个体同时拥有两种表征模式，Dehaene 等研究表明，美国成年人对0-10 符号与1-10 点数字线的估计呈线性模式，但对于0-100 点数字线与0-10 声音数字线的估计则呈现对数模式⑩Dehaene，S.，Izard，V.，Spelke，E.，＆ Pica，P.. Log or linear？Distinct intuitions of the number scale in Western and Amazonian indigene cultures. Science，2008，320（5880）：1217-1220.。

（四）双线性模型

尽管有大量研究结果可支持对数—线性转换模型，仍有研究者对此模型提出异议。Ebersbach等不同意幼儿最初的数字估计拟合对数表征的理论，提出在解释学前班、一年级儿童0-100 数字线任务的表现时，双线性模型（two-linear model）比对数模型具有更好的解释力⑪Siegler，R. S.，＆ Booth，J. L.. Development of numerical estimation in young children. Child Development，2004，75（2）：428-444.Ebersbach，M.，Luwel，K.，Frick，A.，Onghena，P.，＆ Verschaffel，L.. The relationship between the shape of the mental number line and familiarity with numbers in 5- to 9-year old children： Evidence for a segmented linear model. Journal of Experimental Child Psychology，2008，99（1）：1-17.。Ebersbach 等认为，心理表征模式反映儿童在不同数量范围的数字技能，因此，在数字估计中存在一种由至少两条线段组成图像的表征模式，两条线段的分界点在于幼儿熟悉与非熟悉的数字。年幼儿童在面对熟悉的数字时，心理表征符合斜度较大的线性函数；在面对不熟悉的数字时，心理表征符合斜度较小的线性函数。Ebersbach 等对学前班到三年级儿童的研究结果支持了该模型。

Moeller 等⑫Moeller，K.，Pixner，S.，Kaufmann，L.，＆ Nuerk，H. C.. Children’s early mental number line： Logarithmic or decomposed linear？. Journal of Experimental Child Psychology，2009，103（4）：503-515.⑬Moeller，K.，Huber，S.，Nuerk，H.-C. ＆ Willmes，K.. Two-digit number processing： holistic，decomposed or hybrid？A computational modelling approach. Psychological Research，2011，75（4）：290-306.支持双线性模型，但基于一系列有关一位数与两位数分离加工的研究证据，他们提出，对于尚未完全将两种加工机制整合于阿拉伯数字系统数位结构的低龄幼儿，其双线性模型的分界点应位于一位数和两位数之间。Moeller 等采用0-100 数字线任务对一年级儿童的研究结果支持了这一观点。Moeller 等推断，随着年龄的增长和教育的影响，个体从一位数和两位数或两位数和三位数为分界点的双线性表征，逐渐转换为单一线性表征，这一转换与对数—线性表征转换相比，更能合理地解释个体的数量表征。

（五）单／双循环比例幂模型

Barth 和Plaladino 是对数—线性表征转换模型的坚定反对者，认为该模型存在三个问题：首先，如果对数—线性表征转换模型是儿童心理表征中的一个普遍转换，此转换也应该存在于其它估计任务中，但非数字线任务的研究并无证据支持该转换模型；其次，对于儿童所表现出的系统高估或低估模式，对数—线性表征转换模型无法提供充分解释；第三，对数—线性表征转换模型不能反映出解决数字线估计任务需要进行比例判断的特性①Barth，H. C. ，Slusser，E. B. ，Cohen，D. ，＆ Paladino，A. M. . A sense of proportion： Commentary on Opfer，Siegler and Young. Developmental Science，2011，14（5）： 1205-1206.②Barth，H. C. ，＆ Paladino，A. M. . The development of numerical estimation： Evidence against a representational shift. Developmental Science，2011，14（1）： 125-135.。因此，Barth 和Plaladino 提出了单／双循环比例幂模 型 （one- and two-cycle versions of the proportional power model）来解释个体的数字估计表现②Barth，H. C. ，＆ Paladino，A. M. . The development of numerical estimation： Evidence against a representational shift. Developmental Science，2011，14（1）： 125-135.。单循环比例幂模型是指模拟个体估计的线段准确通过被估数量范围的中点，高估了位于前50% 的数字，低估了位于后50% 的数字；双循环比例幂模型则是模拟个体估计的线段准确通过位于25% 和75% 的被估值，高估了位于前25% 和50%-75% 之间的数字，低估了位于25%- 50% 之间和后75% 的数字。

Barth 等的研究表明，5 岁儿童对0-100 数字线的估计拟合单循环比例幂模型；7-10 岁儿童对0-1000 数字线的估计、8-10 岁儿童对0-10000 数字线的估计则拟合双循环比例幂模型②Barth，H. C. ，＆ Paladino，A. M. . The development of numerical estimation： Evidence against a representational shift. Developmental Science，2011，14（1）： 125-135.③Slusser，E. B.，Santiago，R. T.，＆ Barth，H. C.. Developmental change in numerical estimation. Journal Experimtental Psychology： General，2013，142（1）：193-208.。Barth 等认为，单／双循环比例幂模型与对数模型同样为低龄幼儿数字估计表征提供了很好的解释，而与线性模型相比，单／双循环比例幂模型能为高龄儿童的数字估计表征提供更好的解释。与对数—线性表征转换不同，比例判断依据两种显著的改变来解释个体数字估计表征的变化：一为参数β 的值会随着个体年龄和经验的增长而逐渐趋向于1，从而数字估计结果会越来越准确；二为随着个体年龄和经验增长而变化的参照数字，最初参照数字只是所估计数字范围的两个端点，接着加入了位于25% 和75% 的两个数字③Slusser，E. B.，Santiago，R. T.，＆ Barth，H. C.. Developmental change in numerical estimation. Journal Experimtental Psychology： General，2013，142（1）：193-208.。

二、数字估计能力发展的相关因素研究

对于数字估计能力的相关因素，为数不多的研究者探讨了个体数字估计能力与数学认知发展之间的关系。研究表明，估计的绝对错误率与学前班至二年级儿童数学成绩之间存在显著负相关，儿童数字估计的绝对错误率越低，其数学成绩越高。儿童数字估计的线性函数拟合度与其数学成绩之间存在显著正相关，儿童数字估计的线性拟合度越高，其数学成绩越高④Siegler，R. S.，＆ Booth，J. L.. Development of numerical estimation in young children. Child Development，2004，75（2）：428-444.⑤Booth，J. L.，＆ Siegler，R. S.. Developmental and individual differences in pure numerical estimation.Developmental Psychology，2006，42（1）：189-201.。在此基础上，Siegler 等进一步考察了数字估计的线性表征对一、二年级儿童即将进行的加法学习的贡献率，结果表明，数字估计的线性拟合程度是儿童后期加法学习效果的唯一预测源⑥Booth，J.L.，＆ Siegler，R. S.. Numerical magnitude representations influence arithmetic learning. Child Development，2008，79（4）：1016-1031.。

我国研究者李晓芹重复了Siegler 等的研究，考察了一、二、三年级儿童在0-100 数字线上的估计表现与其数学认知的关系，获得了一致的研究结果，即数字估计越准确、越符合线性函数，儿童数学成绩越高①李晓芹：《小学儿童数字线估计的发展研究》，曲阜：曲阜师范大学学位论文，2008年。Perry，M.. Explanations of mathematical concepts in Japanese，Chinese and U.S. first- and fifth-grade classrooms.Cognition and Instruction，2000，18，181-207.。Geary 对数学学习困难、数学学业成就低和正常儿童的数字估计能力的追踪研究发现，数学学习困难和低数学成绩的儿童其估计准确性显著低于正常儿童②Geary，D. C.，Hoard，M. K.，Nugent，L.，＆ Byrd-Craven，J.. Development of number line representations in children with mathematical learning disability. Developmental Neuropsychology，2008，33（3）：277-299.。Muldoon 等选取运算能力相等的中国儿童（平均4.5 岁）与苏格兰儿童（平均5.3 岁）作为被试，考察其在0-10与0-100 数字线上的估计表现，研究结果表明，虽然中国儿童年龄低于苏格兰儿童，但二者数字线估计的线性拟合度不存在显著差异，这一结果也间接说明数字估计能力与数学认知之间存在正向关系③Muldoon，K.，Simms，V.，Towse，J.，Menzies，V.，＆ Yue，G.. Cross-cultural Comparisons of 5-year-olds’estmating and mathematical ability. Cross-Cutural Psychology，2011，42（4）：669-681.。究其原因，Case 等认为心理数字线为学习其他数学知识提供了一个核心概念结构④Case，R.，＆ Okamoto，Y.. The role of conceptual structures in the development of children’s thought. Monographs of the Society for Research in Child Development，1996，61（246）： Nos.1-2.。数字估计线性程度比之前算术知识更能预测儿童后期算术学习的事实则表明，儿童对数值大小的表征可能是影响其学习新算术知识的关键因素①李晓芹：《小学儿童数字线估计的发展研究》，曲阜：曲阜师范大学学位论文，2008年。Perry，M.. Explanations of mathematical concepts in Japanese，Chinese and U.S. first- and fifth-grade classrooms.Cognition and Instruction，2000，18，181-207.。

少数研究者考察了家庭与文化背景对儿童数字心理表征发展的影响。已有研究结果表明，来自不同社会经济地位家庭的幼儿其数字估计能力存在显著差异。Siegler 与Ramani 考察了美国中产阶级家庭与低收入家庭幼儿（平均年龄4.7岁）0-10 数字线的估计表征，研究发现，与低收入家庭的幼儿相比，中产阶级家庭幼儿的估计更拟合线性函数（没有拟合对数函数的数据报告）⑤Siegler，R. S.，＆ Ramani，G. B.. Playing linear numerical board games promotes low-income children’s numerical development. Developmental Science，2008，11（5）：655-661.。跨文化比较发现，中国儿童比西方儿童更早出现线性表征。Siegler 和Mu 的研究发现，对于0-100 的数字线估计，美国学前班儿童的估计更拟合对数函数，而中国大班儿童的估计更拟合线性函数⑥Siegler，R. S.，＆ Mu，Y.. Chinese children excel on novel mathematics problems even before elementary school.Psychological Science，2008，19（8）：759-763.。许晓晖等研究发现，对于0-10 数字线，中国小班幼儿的估计呈现对数与线性表征并存的模式，中、大班幼儿呈现线性表征；对于0-100 数字线，中国大班幼儿估计的线性拟合度显著高于美国同龄幼儿，等同于美国一、二年级儿童估计的线性拟合度；对于0-1000 数字线，中国大班幼儿估计的线性拟合度远远高于美国二年级儿童的线性拟合度⑦Xu，X.，Chen，C.，Pan，M. ＆ Li，N.. Development of numerical estimation in Chinese preschool children. Journal of Experimental Child Psychology，2013，116（2）：351-366.。亚马逊地区的Mnundurucu人则是一个更为极端的案例，即使是Mnundurucu成年人，其对0-10 数字线的估计仍呈现对数表征，研究者将其归因为Mnundurucu 人没有系统的数字符号以及正式的数学教育。

其他研究者同样以教育的原因来解释东西方儿童数字估计能力及数学成就的差异。研究者认为，东亚儿童在课堂上、放学后花费更多的时间学习数学⑧Chen，C.，＆ Stevenson，H.W.. Homework： A cross-cultura examination. Child Development，1989，60，551-561.⑨Stigler，J.W.，＆ Hiebert，J.. The teaching gap： Best ideas from the world’s teachers for improving education in the classroom. New York： Free Press，1999.；相比于美国教师，东亚教师理解更多的数学基本概念，可采用更多有针对性的教学方法⑩Ma，L.. Knowing and teaching elementary mathematics：Teachers’ understanding of fundamental mathematics in China and the United States. Mahwah，NJ： Erlbaum，1999.，可提供更多实质性解释⑪李晓芹：《小学儿童数字线估计的发展研究》，曲阜：曲阜师范大学学位论文，2008年。Perry，M.. Explanations of mathematical concepts in Japanese，Chinese and U.S. first- and fifth-grade classrooms.Cognition and Instruction，2000，18，181-207.，并且可针对学生提问提供多种解答方案⑫Geary，D. C.. Children’ s mathematical development： Research and practical Applications. Washington，DC：American Psychological Association，1994.；相比于美国的家长，中国的家长更加重视子女的数学学习，且更多地参与孩子的数学学习①Huntsinger，C.S.，Jose，P.E.，Liaw，F.R.，＆ Ching，W.. Cultural differences in early mathematics learning： A comparison of Euro- American，Chinese- American，and Taiwan- Chinese families. International Journal of Behavioral Development，1997，21，371-388.②Zhou，X.，Huang，J.，Wang，Z.，Wang，B.，Zhao，Z.，Yang，L.，＆ Y，Z.. Parent- child interaction and children’s number learning. Early Child Development and Care，2006，176（7），763-775.，不同社经地位家长的投入与此同理，同时低收入父母与高收入父母还存在教育能力的差异，可为子女提供的数学经验较少。另有研究者从学习方式来解释东西方儿童数学学习的差异，认为提供多样的、同步的、冗余的学习线索可促进儿童多类型的数学学习。如中国儿童会使用数手指或者其它物体来帮助其解决算术问题或者确定集合的大小，其中包含了丰富的关于数量的触觉、视觉、听觉的信息，从而促进了其各类数学知识的学习与理解③Siegler，R. S.，＆ Mu，Y.. Chinese children excel on novel mathematics problems even before elementary school.Psychological Science，2008，19（8）：759-763.。

三、数字估计能力的干预

如上所述数字估计能力与儿童数学成就之间存在显著正相关，为此，探索促进儿童数学估计能力发展的干预措施，以间接促进其数学认知能力的发展也成为研究者着重探讨的问题。目前已有三类促进儿童数字估计能力发展的干预策略：估计数字训练、数字分类和数字棋游戏。

估计数字训练包括对所有被估数字和特定被估数字的估计反馈训练两种。Siegler 和Booth 对幼儿园大班、小学一、二年级儿童进行所有被估数字的反馈训练，即请被试将所有被估数字估计在同一条数字线上，在估计的过程中被试可以随时进行修改和调整。研究结果表明，干预训练可显著提高一、二年级儿童数字估计的线性度，但无法显著提高大班儿童数字估计的线性度④Siegler，R. S.，＆ Booth，J. L.. Development of numerical estimation in young children. Child Development，2004，75（2）：428-444.。特定被估数字的反馈训练则基于对数差异假设（log discrepancy hypothesis），该假设认为，针对线性模式与对数模式之间差异最大区域的数字进行估计反馈训练将促使儿童由对数表征转为线性表征，且这种变化是突然的、整体性的。基于此，Opfer与Siegler 对二年级儿童进行了0-1000 数字线估计的干预，确定150 周围的数字作为特定数字，研究结果显示，与5、725 和无反馈组相比，150 反馈组儿童成功地由对数表征转变为线性表征⑤Opfer，J. E.，＆ Siegler，R. S.. Representational change and children’s numerical estimation. Cognitive Psychology，2007，55（3）：169-195.。李晓芹对国内小学生的研究也得出基本一致的结论⑥李晓芹：《小学儿童数字线估计的发展研究》，曲阜：曲阜师范大学学位论文，2008年。。

数字分类是指儿童基于数量对数字形成主观的大小分类，即请被试把给定数字分别放入不同的组别中，如将0-100 的数字分为非常小至非常大五组（非常小：1-20，小：21-40，中等：41-60，大：61-80，非常大：81-100）。Laski 与Siegler采用此方案对大班儿童进行0-100 数字线估计的干预，实验组和控制组儿童同时接受一对一的数字分类训练，但只对实验组儿童给予反馈。研究结果表明，实验组儿童后测的估计线性拟合度比前测的线性拟合度显著提升，控制组儿童线性拟合度提升幅度微小，说明对儿童进行数字分类反馈训练可有效促进其表征模式的转变⑦Laski，E. V.，＆ Siegler，R. S.. Is 27 a big number？Correlational and causal connections among numerical categorization，number line estimation，and numerical magnitude comparison. Child Development，2007，78（6）：1723-1743.。究其原因，研究者认为数字分类可帮助幼儿对所有被估数字按数量大小进行主观判断，从中获得有关这些数字的新信息，以此来简化估计任务，达到分而治之的作用，从而可更准确地判断某个数字在数字线上的位置。

Siegler 与Ramani 提出，玩线性数字棋游戏可帮助儿童生成线性表征模式，因为棋盘游戏可提供排序和数量的知识，且能以实物的形式帮助儿童认识线性或是心理数字线。所谓数字棋游戏是指在呈线性排列、大小相同、标有数字的方格棋盘上，儿童通过掷骰子的点数确定需走的格数，一边走棋一边说出所走过的数字。Siegler 等人对来自低收入家庭的中班儿童进行了0-10 的数字棋干预（控制组为颜色棋），研究结果表明，玩数字棋游戏的幼儿其数字估计线性度得到显著提升，玩颜色棋游戏的幼儿其数字估计线性度反而有所下降，说明数字棋游戏可有效提升幼儿0-10 数字估计表征的线性拟合度①Siegler，R. S.，＆ Ramani，G. B.. Playing linear numerical board games promotes low-income children’s numerical development. Developmental Science，2008，11（5）：655-661.②Siegler，R. S.，＆ Ramani，G. B.. Playing linear number board games—but not circular ones—improves low-income preschoolers’ numerical understanding. Journal of Educational Psychology，2009，101（3）：545-560.。

四、启示

综上所述，研究者已对数字估计的模型、数字估计与数学认知发展的关系、数字估计的家庭与文化影响因素及数字估计的干预进行了深入的探索，获得了丰富的研究结果，但仍有一些问题值得进一步探讨。在借鉴已有研究成果的基础上，我们将提出对今后研究方向与思路的初步思考：

（一）进一步验证模型之争。首先，研究者提出了五个数字估计模型，并都力证自己所提模型的科学与准确。但已有研究分别针对不同被试进行考察得出了不同模型，国外尚无采用同一批被试数据模拟五个模型以直接比较模型拟合程度的研究结果，为此，无法获得确定五个模型优劣的直接证据。许晓晖等采用0-100 和0-1000 数字线任务对中国大班城市儿童进行了考察，对其估计结果分别拟合了五个不同的模型，结果显示，中国大班城市儿童的数字估计更加拟合双线性模型与线性模型③Xu，X.，Chen，C.，Pan，M. ＆ Li，N.. Development of numerical estimation in Chinese preschool children. Journal of Experimental Child Psychology，2013，116（2）：351-366.。但是，许晓晖的研究也仅是针对平均年龄为6 岁的中国儿童进行了考察，仍缺乏来自低龄幼儿的研究证据，应进一步扩大被试的年龄范围，如对3-5 岁中国儿童的数字估计能力进行深入探讨，以进一步验证不同估计模型对中国儿童的适宜性，同时验证模型拟合的优劣程度。其次，对数—线性表征转换模型意在清晰刻画儿童估计表征的发展，但已有研究仅采用横断研究数据来证明此转换的存在，仍存在一些不足，如可采用追踪研究数据来进行验证则更为科学严谨。此外，当前研究所考察最小年龄的被试为平均4岁的儿童，迄今仍无幼儿数字估计拟合对数表征优于线性表征的研究结果，应对更低龄如3 岁的幼儿进行考察，以揭示在接受正式数学教育前，个体的数字估计是否更符合对数表征。

（二）深刻揭示数字估计能力与数学认知发展的关系。研究者采用横断研究数据表明，儿童数字估计能力与当前数学成绩之间存在显著正相关，即数字估计线性度越高，数学认知发展水平越高。正如前文提及，数字心理表征参与了测量、空间几何、有理数、坐标系统、真实数字线等一系列的学习，是个体数学认知能力深入发展的基础。为此，是否前期个体数字估计能力的线性拟合度可预测其后期数学认知能力的发展，鲜有追踪研究说明该问题，因此，今后应尝试运用追踪研究以更深入揭示数字估计能力与数学认知发展二者之间的预测关系。同时，应进一步细致分析数字估计能力与数学认知各维度之间的特异关系。

（三）深入探讨个体数字估计能力发展的影响因素及其作用机制。已有研究表明，家庭社会经济地位是儿童数字估计能力发展的重要影响因素。低收入家庭幼儿数字估计能力的线性拟合度显著低于中产阶级家庭的幼儿，但当前对低收入家庭幼儿的研究甚少，只有来自Siegler 等的一篇研究。为此，应针对性选取低收入家庭幼儿，如我国的流动（低收入家庭）儿童作为被试，深入探讨3-6 岁流动儿童数字估计能力的发展，比较其与城市（高收入家庭）儿童数字估计能力发展的差异。同时，进入到流动儿童的家庭和幼儿园，通过现场观察，分析流动儿童家庭、幼儿园的数学教育环境，家长、幼儿园教师与流动儿童进行数学游戏的互动质量等，以深入揭示家庭、幼儿园影响流动儿童数字估计能力发展的具体因素及其作用机制。

（四）开发促进中国儿童数字估计能力发展的干预措施。国外研究者已针对不同数量情境的数字线开发了3 类干预措施，并通过实践检验证明其可有效提升儿童数字估计的线性表征拟合度。但是，此三类措施是否适用于中国儿童，仍需通过本土化研究进行验证。同时，针对中国儿童数字估计能力与数学认知发展水平显著高于西方儿童的现状，我们需在借鉴国外研究者思路的基础上，进一步开发适用于中国各年龄段儿童的干预策略，以更好地促进中国儿童数字心理表征与数学认知的有效发展。