基于互感参数提取的多导体与多导线模型缩减方法研究

潘启军 孟庆云 张向明 薛高飞 张 磊

基于互感参数提取的多导体与多导线模型缩减方法研究

潘启军 孟庆云 张向明 薛高飞 张 磊

（海军工程大学舰船综合电力技术国防科技重点实验室 武汉 430033）

金属导体地电流通过地回路公共阻抗在不同电气电子设备之间形成电磁干扰，严重时甚至使敏感设备无法正常工作。然而，地回路公共阻抗在不同回路中表现出不同的阻抗值，因此必须对邻近效应情况下的金属导体进行深入研究。本文利用 PEEC方法对邻近效应时的金属导体进行了建模，得到了系统矩阵方程。然后，将简化等效电路和原始电路中导体与导线电流分别进行复频率 s幂级数展开匹配，得到了电阻、电感及互感参数，给出了同时考虑趋肤效应与邻近效应时独立于频率之外的简化等效电路模型，并通过算例验证了参数提取方法的正确性。

电磁兼容 矩量匹配方法 邻近效应 互感参数提取 简化等效电路

1 引言

随着电力电子设备在舰船独立系统中的广泛应用，强电系统通过壳体钢板共地耦合和磁场耦合对弱电系统形成电磁干扰（EMI），使得舰船独立系统中电磁兼容（EMC）问题日趋严重[1-3]。因此，需要对金属壳体地电流测试和金属壳体部分单元等效电路（PEEC）建模两大难点进行全面、深入的研究，形成分析大面积连续导体必需的实验测试手段和较完整的理论体系，为全系统仿真、EMI分析等奠定较好的基础。文献[4-6]利用铁心线圈对钢板地电流测量进行了研究，然而这种测量装置用于低频测量时体积较大、铁心线圈可能会改变钢板局部地电流的分布以及在任何频域范围内均不能进行时域分析。为适应舰船钢板表面地电流干扰研究的需要，文献[7-9]研制了可以测量钢板表面磁场分布的新型磁阻磁场探头，利用钢板表面切向磁场的分布来间接测量钢板中的电流分布，克服了铁心线圈测量装置的缺陷。

对金属导体建模是电磁兼容领域的一大难点，文献[10-12]利用解析方法对导体阻抗进行了计算和实验，但解析方法不能给出独立于频率之外的系统模型参数。Shizhong Mei在文献[13-14]中通过渐近波形估算矩量显式计算方法（Asymptotic Waveform Evaluation, AWE）得到了独立于频率之外金属导体的缩减模型电阻与电感参数，但 AWE等直接矩量显式计算会出现病态，当模型较大时会导致模型缩减的支路数有限[15]。为了避免矩量显示计算所出现的病态问题，文献[16-17]提出了基于Krylov子空间arnoldi和 Lanczos算法的模型缩减方法，将直接矩量显式计算转化为间接矩量隐式计算，将主导极点的抽取转化为相对应的主导特征值的抽取，避免了AWE等直接矩量显式计算方法只能提取有限几条简化支路的缺陷，极大提高了模型简化技术的有效性和普适性。然而，上述文献仅对孤立导体进行了模型缩减方法的尝试，国内外对多导体与多导线情况下模型缩减方法的深入研究未见报道。此时，对金属导体进行建模时不仅需要考虑趋肤效应，而且需要考虑邻近效应，需给出独立于频率之外的等效电路模型，便于和电路仿真软件兼容。在忽略邻近效应的情况下，可以将金属导体视为孤立元件进行处理，但当外部载流导线或导体靠近金属导体时，将会改变金属导体内部的电磁场分布，因此必须对邻近效应时导体的模型进行分析。本文采用 PEEC方法对邻近效应时的金属导体进行了建模，将复杂的电磁场计算转化为电路计算，在对孤立导体进行模型缩减的基础上，基于互感参数提取得到了多导线与多导体等效缩减电路通用模型。

2 单导体与多导线时的PEEC建模及模型缩减

在矩形截面导体长度方向放置m根导线，其长度和矩形截面导体的长度一样，并且导线两端与矩形截面导体平齐如图1所示（为简明起见，图中没有标出多根导线的激励电压），图 2所示为其对应的等效耦合电路图。令矩形截面导体的驱动电压为va，总电流为 ia；邻近导线中电流为

其两端电压为当导体与导线相距很近时，邻近效应的作用显著，每个导体用自身的解耦简化等效电路来描述趋肤效应，同时使用导体各支路与导线间的互感来描述邻近效应。

图1 邻近效应时矩形截面导体Fig.1 A rectangular conductor with proximity effect

图2 邻近效应时等效耦合电路Fig.2 Equivalent coupling circuit with proximity effect

根据欧姆定律可得：式中，Mabji= Mabij（i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, N）为矩形截面导体与邻近导线的互感矩阵，ia1、ia2、…、iaN为矩形导体支路的电流。

将式（1）经过变换后用矩阵表示为

式中，EN和Em分别为N维和m维单位阵，且有

导体和导线中的总电流可分别表示为

式中，1N为N维全1列向量，0m为m维全0列向量，1m为m维全1列向量，0N为N维全0列向量。

将图 2所示的等效耦合电路进行简化，如图 3所示。比较图 3和图 2可知，图 3左半部分变为没有邻近效应时的简化等效支路，解耦电阻与电感可由 Arnoldi算法或 Lanczos算法计算得到[16,17]，简化等效支路数为n条，n＜＜N。相应的，图3中左半部分与右半部分之间的互感矩阵也和图2中不同。

图3 邻近效应时的简化电路Fig.3 The reduced circuit of the system with proximity

根据图3所示可描述趋肤与邻近效应的简化r-l等效电路，和式（3）、式（4）类似，简化电路的总电流为

式中，1n为n维全1列向量，式中En为n维单位阵，且有

要准确捕获趋肤与邻近效应，式（5）应与式（3）相等，式（6）应与式（4）相等，但这一要求太过苛刻，实际上只需令各对应式的 s幂级数的有限项相等即可。由于电压的取值任意，将上述关系进一步简化，因此只需令

和

展开成s的幂级数后的对应项相匹配，即可解出式（7）中互感矩阵M所有互感的值。

经过矩阵变换，式（7）可展开成s的麦克劳林级数为

同理，式（8）可展开成s的麦克劳林级数为

由于式（7）中矩阵M的维数为n×m维，则未知互感参数有nm个，因此只需令式（9）和式（10）中的si的nm个系数相等得到nm个方程，就可以求得nm个互感参数，其中可取i=1,2,3,…,nm。

令式（10）中si的系数为yi，则有

由式（12）可得

将式（13）代入式（11）可得

设

则式（14）可写为

则由式（17）可得

将式（18）中矩阵M的各互感参数提取出来可得

取i=1,2,3,…,nm，可得nm个方程。

式（13）、式（14）、式（16）及式（20）中使用了广义逆矩阵，式（20）所求解为极小最小二乘解。

3 多导体情况

对于多导体情况，可采用与2类似的方法求取互感参数，但互感参数求取过程更为复杂。设导体总数为m个，每个导体的剖分数分别为N1,N2,…,Nm，每个导体的解耦简化等效支路数分别为n1,n2,…,nm。

设

其中 R1,R2,…,Rm分别为各导体解耦简化电路的对角电阻矩阵，其维数分别为L1,L2,…,Lm分别为各导体解耦简化电路的对角电感矩阵，其维数分别为；Mkj为第k个导体简化等效支路与第 j个导体简化等效支路间的互感矩阵，其维数为。

经过矩阵变换可以得到

其中

将式（23）写成矩阵形式为

其中 Mequ为所有互感参数组成的维列向量，即所需求取的列向量；H为维矩阵；Z为由原始矩阵计算得到的维列向量，求解方法和第2部分类似。

对于m个导体和n根导线情况，将n根导线的集合看成不解耦的第（m+1）个导体，则此时互感的求取方法和多个导体情况基本相同，只需将 A0对角线上的第（m+1）个分块矩阵略做修改即可。对于磁性导体，首先根据磁性部分元等效电路（MagPEEC）建立系统方程，然后按照第2和第3部分介绍的方法来研究。

4 邻近效应时互感算例

4.1 单导体与双导线

金属导体长20μm，宽10μm，厚1μm，两邻近导线位于宽度正中且平行于长度方向，线径为0.1μm，两导线与导体的距离为分别为 0.1μm 和1μm，导线圆截面的几何平均距离为半径的 0.778 8倍，频率范围为 100MHz～30GHz。表 1为不同支路数的互感值及对应的展开系数，表中互感矩阵的行对应于导体简化支路，列对应于第1和第2根导线。由模型缩减方法得到的导体简化等效电路各支路的电阻与电感见表 2。

表2 导体简化电路各支路的电阻与电感Tab.2 Resistance and inductance values in the reduced RL circuits of a conductor

根据表1可知，简化电路与原电路的s展开系数误差随幂次数的增加而增加，当幂次数小于 10时，两者的相对误差小于10%，当幂次数为12时，最大相对误差约为22%。

4.2 双导体

两金属导体均长 20μm，厚 1μm，第 1个金属导体宽5μm，第2个金属导体宽7μm，两金属导体在宽度方向距离0.5μm，在厚度与长度方向上对齐，频率范围为 100MHz～30GHz。表 3为不同支路数的互感值及对应的展开系数，表4为由模型缩减方法得到的导体简化等效电路各支路的电阻与电感，表中互感矩阵的行对应于第1个导体，列对应于第2个导体。

表3 不同支路数时的互感值及对应的展开系数Tab.3 Mutual inductance values between the reduced RL circuits and the wire and the corresponding expanded coefficients

表4 导体简化电路各支路的电阻与电感Tab.4 Resistance and inductance values in the reduced RL circuits of a conductor

根据表3可知，简化电路与原电路的s展开系数随幂次数的增加而增加，当幂次数小于20时，两者的相对误差小于 10%，当幂次数为 32时，最大相对误差约为 15.5%。当幂次数继续增加时，由于计算得到的系数太小，因此全为 0。由此可见，使用本文介绍的方法，s幂次数不能取得过高。为降低s幂次数的值，可只考虑导体主导简化支路之间、导体主导简化支路和导线之间和互感，降低所求解方程的维数，也降低了所需s幂次数的值。另外，可基于矩阵变换的概念来求解互感，从而避免求解s幂级数系数的值。

5 结论

在孤立导体PEEC建模基础上，本文建立了邻近效应时金属导体的PEEC模型。首先利用模型缩减技术得到金属导体简化等效电路的电阻及电感参数后，然后提取出简化等效电路各支路和邻近导线或导体之间的互感参数，并通过算例验证了该缩减方法的正确性。本文建立的简化等效模型和计算得到的电阻、电感及互感参数独立于频率之外，为全系统仿真、EMI分析等奠定了较好的基础。

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A Model Reduction Study of Multiple Conductors and Multiple Wires Based on Extraction of Mutual Inductance Parameters

Pan Qijun Meng Qingyun Zhang Xiangming Xue Gaofei Zhang Lei

（National Key Laboratory for Vessel Integrated Power System Technology Naval University of Engineering Wuhan 430033 China）

The Electromagnetic Interference(EMI) among various electrical and electronic equipment can be formed by ground current in metal plate via common ground loop impedance. It will even result in the malfunction of the sensitive devices under some serious conditions. However, the common impedance has different value in different loops. Therefore, it is necessary to analyze and study a conductor with proximity. This paper adopts partial element equivalent circuit(PEEC) to model a conductor with proximity, and to obtain the system matrix equation. After matching the corresponding current coefficients expanded in powers of s between the reduced circuit and the original circuit, the resistance, inductance, and mutual inductances of the reduced circuit are provided. And then, the reduced equivalent circuit model regarding of skin and proximity effects is presented independent of frequency. Furthermore, the mutual inductance between the reduced branches and the proximity wires are obtained, which is validated by examples.

Electromagnetic compatibility(EMC), moment matching method, proximity effect, extraction of mutual inductance parameters, reduced equivalent circuit

TM53

潘启军 男，1972年生，博士，副教授，研究方向为电力电子应用与电磁兼容性研究。

国家重点基础研究发展计划（2013CB035601）和国家自然科学基金（51077129）资助项目。

2013-06-25 改稿日期 2013-08-26

孟庆云 男，1979年生，讲师，研究方向为电力电子大容量电能变换技术。